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28. AB效應和貝里幾何相
1982年，美國華盛頓大學物理學家索利斯（D.J.Thouless）等人，為了直接表征量子化霍爾電導的填充因子n，引入了一個稱為TKNN的拓撲數(shù)，并由此而對電子波函數(shù)的拓撲性質進行分類【1】。這是第一次將數(shù)學上的拓撲概念應用于與‘相’有關的凝聚態(tài)理論中。
拓撲概念如何與量子態(tài)關聯(lián)起來了呢？這還得從近幾年物理中的一個新進展，稱之為‘貝里相位’的概念說起。貝里相位又與AB效應密切相關。
所以，有必要首先簡略介紹下什么是AB效應。
量子力學中有一個著名的楊氏雙縫電子干涉實驗【2】。在楊氏雙縫實驗中，電子通過兩條狹縫后，在熒光屏上出現(xiàn)干涉條紋，從而證實了電子的波動性。如今我們不詳談這個實驗本身，而是將它借來解釋AB效應。
如圖28.1a所示，電子波同時穿過兩個狹縫后，從A點發(fā)出的子波和從B點發(fā)出的子波，假設它們到達屏幕上的C點時互相干涉而加強，便會在C點形成一個亮點。整個波的總效應則是在屏幕上出現(xiàn)明暗相間的條紋。然后，我們設想，如果將實驗稍微改變一下，成為如圖b所示：在兩個狹縫間靠近狹縫處，插入一個非常細無限長的通電螺線管。這時候，實驗結果會發(fā)生變化嗎？
圖28.1：磁AB效應
首先我們從經(jīng)典電磁場理論的觀點來分析這個問題。在理想情況下，因為通電螺線管是無限長的，圖中所示方向的電流將會在線圈之內產(chǎn)生一個從下往上的磁場。但是，緊密纏繞的螺線管將磁場完全包在了它的內部，線圈之外的磁場將處處為0。電子不會進到線圈以內，所以，經(jīng)典理論認為，電子應該感知不到磁場的存在。當然，實際上，如果將電子看作是不具有波動性的經(jīng)典粒子的話，屏幕上不會出現(xiàn)明暗相間的干涉條紋，而是按照經(jīng)典幾率的分布圖像而已【2】?？偠灾?，根據(jù)經(jīng)典電磁理論，放（或不放）這個通電螺線管，對電子的實驗結果不會產(chǎn)生任何影響。
不過，如果用量子理論來計算，卻會預期一個不同的結果，這便是1959年英國兩位理論物理學家阿哈羅諾夫（Aharonov）和波姆（Bohm）所作的工作【3】。他們認為，通電螺線管的存在會使原來的干涉條紋產(chǎn)生移動，像圖28.1c所顯示的那樣。如果通過螺線管的電流反向，干涉圖像移動的方向也會反向。
在阿哈羅諾夫和波姆的文章中，他們不僅進行了理論計算，還詳細設計了驗證的實驗。之后的近30年內，有許多人進行了與此相關的實驗，得到A和B預期的結果。但是，物理學家們卻總是對此理論及實驗結果爭論不休，一直到了1986年，日立公司的科學家Tonomura等人的實驗【4】，才終于得到了學術界的最后認可。至今，又過去了二十多年，AB效應已被物理學界完全肯定,并寫入了教科書, 成為量子力學教材中不可缺少的基本概念。
阿哈羅諾夫-波姆效應之所以引起重視，是因為它證明了在量子理論中電磁勢（包括矢量A及標量勢r）的重要性，以及與其相關的電子波函數(shù)的相位的重要性。
經(jīng)典的麥克斯韋方程是定域性質的微分方程。這種定域的描述方式是很容易得到公認的，如此描述的物質間的相互作用是由場傳遞的接觸作用。它克服了‘超距作用’的困難，將帶電粒子運動狀況的變化歸結為每一點的場對它逐點作用的結果。麥克斯韋方程表示電磁場有兩種形式：可以用場強（電場E、磁場B）來描述，也可以用電磁勢（三維矢量A、標量勢r）來表示。但是，經(jīng)典電磁理論認為，只有第一種方式使用的，空間中每一點的電磁場的強度，以及它使得運動電子經(jīng)過該點時所受到的電磁力，才是基本的，才具有可觀察的物理意義。而第二種方法中的電磁勢（A、r），不過是為了計算方便而引入的數(shù)學概念，并不代表物理實質。以規(guī)范變換為例便能說明這一點：電場和磁場是規(guī)范不變的，而電磁勢在不同的規(guī)范下則取不同的值，這是經(jīng)典理論認為電磁勢不是物理可觀察量的理由。
什么樣的量在物理學中是基本的，代表物理實質呢？舉個簡單例子讓你更深入理解這點。
幾萬伏特的高壓電線是很可怕的，但是，停在上面的鳥兒卻仍然活蹦亂跳，絲毫感受不到危險，大家都知道這是為什么。那是因為我們是站在地面上，高壓線的電壓相對于地面的數(shù)值很高。盡管如此，但在鳥兒能接觸到的局部小空間范圍內，這個值卻沒有什么物理意義。鳥兒能感受到的、對它能表現(xiàn)物理效應的，是它兩只腳兩點間的電壓差，而不是某點電壓對地的絕對數(shù)值。
因此，對鳥兒來說，完全可以作一個電壓的平移變換（V->V’），將電線上某點的電壓值設為0。這樣來研究問題，計算要簡單些。因為有物理意義的電壓差（V1-V2）是在平移變換中保持不變的，所以鳥兒感受到的物理效應在變換下將沒有任何區(qū)別。電磁理論中的規(guī)范變換呢，與此有點類似，只不過那時需要將電場磁場統(tǒng)一考慮。換言之，需要將矢量勢和標量勢一塊兒變換。也就是說，用（A、r），或者用另一組規(guī)范變換后的（A’、r’）,都表示同樣的電磁場（B、E）。規(guī)范變換當然比鳥兒問題要復雜許多，但卻同樣也能起到簡化計算，保持物理基本量不變的效果。
再回到實驗中電子運動的問題。從經(jīng)典電磁理論看，既然只有場強E和B才有物理效應，而在電子運動的路徑上，線圈外所有點的電磁場場強（E和B）都為0，線圈對電子的運動當然不會有影響。
那么，AB效應又該如何解釋呢？
從量子力學的觀點看，電子具有波粒二象性，它的運動用波函數(shù)來描述，這是量子理論與經(jīng)典理論的根本區(qū)別。任何波動，除了振幅之外，還有相位。圖28.1a中屏幕上的干涉條紋，也就是從A和B經(jīng)過兩條路徑的電子波之間的相位差而產(chǎn)生出來的。
圖28.2：磁AB效應中通電線圈引起的相位因子f
現(xiàn)在，放了通電線圈之后，實驗中觀察到干涉圖像產(chǎn)生了移動。那說明A路徑和B路徑之間的相位差發(fā)生了變化。沒錯，如果我們用量子力學的理論，分別在沒線圈和有線圈的時候進行計算，的確發(fā)現(xiàn)通電線圈的存在，在兩條路徑中引入了一個額外的相位因子。就像圖28.2中圖a和圖b的情況，相差了一個相位因子f。
你可能會說：“這不就解釋了AB效應嗎？條紋移動是由f產(chǎn)生的！”而正是這個f困惑著物理學家們，并為此爭論許多年。為什么呢？因為算出來的這個相位因子，與電子經(jīng)過路徑上的電磁場強度無關，而是與他們原來認為不是物理實在的電磁勢（A、r）有關的。實際上，它就等于矢量勢A，沿著路徑B到C，然后再從C返回B，繞線圈轉一圈的環(huán)路積分。（在這兒，我們將靠得很近的A和B算作了同一個點B。）
那么，如果認可AB效應的實驗結果，原來對電磁勢的看法就要重新考慮。電磁勢可能在某種意義上也代表了物理實在哦！換言之，僅僅用場強來描述電磁現(xiàn)象似乎還不夠，得把電磁勢加上去。但是，這兒又有問題了，剛才說了，電磁勢不是根據(jù)規(guī)范的選取而變化的嗎？選取不同的規(guī)范，可以使某些點的矢量勢變成0，這樣我們才能使運算簡化嘛。那么，到底是該用（A、r），還是（A’、r’）呢？一個連數(shù)值都不能確定的量，又該如何談到它的實在的物理意義呢？
想來想去、爭來爭去，真理總是越辯越明朗。盡管規(guī)范變換的確會使得某些點的矢量勢變?yōu)?/span>0，但事實上，只要線圈中有電流，即使線圈外每點的場強都是0，卻絕不可能使所有點的矢量勢都變成0。此外，雖然每一點的矢量勢是規(guī)范變化的，但仍然可能有一個與局部點的電場磁場無關，而只與路徑上電磁勢有關的某個東西是規(guī)范不變的。對啦，很可能就是那個矢量勢的環(huán)路積分，也就是那個相因子f，它應該是規(guī)范不變的。
因此，AB效應又使得人們重視起相位這個東西。
接著，在1984年，物理學家們尚未完全認可AB效應之時，英國布里斯托爾大學跳出來一位叫邁克爾·貝里（SirMichael Victor Berry，1941-）的數(shù)學物理學家。貝里向物理學家們發(fā)出警告：一個量子體系隨參數(shù)緩慢變化再回到原來狀態(tài)時，可能會帶來一個額外的相位因子。貝里認為這個相位因子不是由動力學產(chǎn)生的，而是由（某個）空間的幾何性質而產(chǎn)生的，因此稱之為幾何相位【5】。此外，貝里證明了這個相位因子是規(guī)范不變的，因而它很有可能具有可觀察的、不可忽視的物理意義。貝里認為，AB效應便能用這個幾何相位因子來解釋。
借用網(wǎng)上一個比喻，貝里的意思是說，在倒掉洗澡水的時候要小心哦，里面可能有小孩！
貝里洗澡水中有小孩嗎？且聽下回分解。
參考資料：
【1】Quantized Hall Conductance in aTwo-Dimensional Periodic Potential，D. J. Thouless, M.Kohmoto*, M. P. Nightingale, and M. den Nijs，Phys. Rev.Lett. 49, 405–408 (1982)。
【2】作者科學網(wǎng)博文《走近量子糾纏》- 楊氏雙縫電子干涉實驗：
http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=534092
【3】Aharonov, Y.; Bohm D. (1959)."Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". Phys.Rev. 115: 485-491.
【4】Osakabe, N., T. Matsuda, T. Kawasaki, J.Endo, A. Tonomura, S. Yano, and H. Yamada, "Experimental confirmation ofAharonov-Bohm effect using a toroidal magnetic field confined by asuperconductor." Phys Rev A. 34(2): 815-822 (1986).
【5】M. V. Berry (1984). "Quantal PhaseFactors Accompanying Adiabatic Changes". Proc. R. Soc. Lond. A 392 (1802):45–57.
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