印度人的概念向東延伸到了中國就如同向西到了伊斯蘭等國家。在公元一千二百四十七年中國的數(shù)字家 Ch‘in Chiu-Shao 所寫的數(shù)學(xué)專論在討論九分里就使用了 O 這個符號來代表零。稍后，在公元一千三百零三年， Chu Shih-Chieh 所寫的 Jade mirror of the four elements 專論里又再次使用這個符號來表示零。
Fibonacci 是將有關(guān)數(shù)字系統(tǒng)的新觀念帶進歐洲的主要人物。
在印度─阿拉伯?dāng)?shù)字系統(tǒng)與歐洲數(shù)學(xué)之間的很重要的聯(lián)結(jié)由意大利的數(shù)學(xué)家 Fibonacci 所建立的。
在公元一千二百年左右， Liber Abaci 為歐洲人介紹了印度的這九個數(shù)字連同 0 這個符號，但是卻有很長的時間未被廣范的使用。有件意義深遠的事就是 Fibonacci 他并不夠勇敢的將 0 與其它數(shù)字 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 視為一般，因為他把零讀做"符號"零，而卻稱其它的叫做"數(shù)字"。顯見的是，雖然將印度數(shù)字介紹給歐洲人是他的最主要的貢獻，但是他對零的見解并沒有達到印度數(shù)學(xué)家 Brahmagupta, Mahavira 和 Bhaskara 及像是 al-Samawal 等阿拉伯或伊斯蘭數(shù)學(xué)家們的復(fù)雜程度。
你可能會認為數(shù)系的進步是普遍的而零卻是特殊的，從現(xiàn)在起將變的穩(wěn)固。然而，情形卻不是這樣。Cardan 在沒有使用到零的情形下解決了三次及四次的方程式。如果他那個時候就有零的概念的話，在公元一千五百年左右，他會較容易的發(fā)現(xiàn)這些問題的解答。但這不是他的數(shù)學(xué)成就的一部份。在一千六百年左右的時候，零已經(jīng)廣為人所使用了，但是卻是經(jīng)歷釵h的反抗之后才有的成果。
當(dāng)然仍舊有因為零產(chǎn)生的問題。最近全世界到處都在公元二千年一月一日的時候慶助新的千禧年到來。當(dāng)然他們慶助的是已經(jīng)過去的一千九百九十九年，因為當(dāng)有日歷的時候，它是沒有零年的。盡管人們將原諒這個根本的錯誤，但是有點令人驚奇的是大部份的人們似乎不能了解為什么第三個千禧年及第二十一世紀是從公元二千零一年一月一日才開始的事實。零仍舊引起釵h問題！
整 數(shù)
在自然數(shù)集N之外，再引入新的元素0，-1，-2，-3，…，-n，…。稱N中的元素為正整數(shù)，稱0為零，稱1，-2，-3，…，-n，…。為負整數(shù)。正整數(shù)、零與負整數(shù)構(gòu)成整數(shù)系。
零不僅表示"無"它在命數(shù)法中還個有特殊的意義：表示空位的符號。中國古代用算籌計數(shù)并進行運算，空位不放算籌，雖無空位記號，但仍能為位值記數(shù)與四則運算創(chuàng)造良好條件。印度--阿拉伯命數(shù)法中的零來自印度的零（sunya）字，其原意也是"空"或"空白"。
中國最早引入了負數(shù)?！毒磐阈g(shù)·方程》中論述的"正負術(shù)"，就是整法的加減法。減法運算可看作求解方程a+x=b，如果 a，b是自然數(shù)，則方程未必有自然數(shù)解。為了使它恒有解，就有必要把自然數(shù)系擴大為整數(shù)系。
關(guān)于整數(shù)系的嚴格理論，可用下述方法建立。在N×N（即自然數(shù)有序?qū)Φ募┥隙x如下的等價關(guān)系：對于自然有序?qū)Γ╝1，b1），（a2，b2），如果a1+b2= a2+b1，就說（a1，b1）～（a2，b2），N×N，關(guān)于上述等價關(guān)系的等價類，稱為整數(shù)。一切整數(shù)的集記為Z。
有 理 數(shù)
古埃及人約于公元前17世紀已使用分數(shù)，中國《九童算術(shù)》中也載有分數(shù)的各種運算。分數(shù)的使用是由于除法運算的需要。除法運算可以看作求解方程px=q（p≠0），如果p，q是整數(shù)，則方程不一定有整數(shù)解。為了使它恒有解，就必須把整數(shù)系擴大成為有理系。
關(guān)于有理數(shù)系的嚴格理論，可用如下方法建立。在Z×（Z -{0}）即整數(shù)有序?qū)Γǖ诙坏扔诹悖┑募隙x的如下等價關(guān)系：設(shè) p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。則稱（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z -{0}）關(guān)于這個等價關(guān)系的等價類，稱為有理數(shù)。（p，q）所在的有理數(shù)，記為 。一切有理數(shù)所成之集記為Q。令整數(shù)p對應(yīng)一于 ，即（p，1）所在的等價類，就把整數(shù)集嵌入到有理數(shù)的集中。因此，有理數(shù)系可說是由整數(shù)系擴大后的數(shù)系。
引 起 數(shù) 學(xué) 危 機 的 無 理 數(shù)
無理數(shù)，顧名思義，與有理數(shù)相對。那么它就是不能表示為整數(shù)或兩整數(shù)之比的實數(shù)，比如 等等。如果不作數(shù)學(xué)計算，在實際生活中，我們是不會碰到這些數(shù)的。無論是度量長度，重量，還是計時。
第一個被發(fā)現(xiàn)的無理數(shù) ，當(dāng)時，畢達哥拉斯學(xué)派的一個名叫希帕索斯的學(xué)生，在研究1和2的比例中項時（若1：X=X：2，那么X叫1和2的比例中項），怎么也想不出這個比例中項值。后來，他畫一邊長為1的正方形，設(shè)對角線為X，于是 。他想，X代表對角線長，而 ，那么X必定是確定的數(shù)。但它是整數(shù)還是分數(shù)呢？顯然，2是1和4之間的數(shù)，因而X應(yīng)是1和2之間的數(shù)，因而不是整數(shù)。那么X會不會是分數(shù)呢？畢達哥拉斯學(xué)派用歸謬法證明了，這個數(shù)不是有理數(shù)，它就是無理數(shù) 。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，對以整數(shù)為基礎(chǔ)的畢氏哲學(xué)，是一次致命的打擊，以至于有一段時間，他們費了很大的精力，將此事保密，不準外傳，并且將希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。但是，人們很快發(fā)現(xiàn)了 等更多的無理數(shù)，隨著時間的推移，無理數(shù)的存在已成為人所共知的事實。
無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，是畢氏學(xué)派最偉大成就之一，也是數(shù)學(xué)史上的重要里程碑。
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