| 求二次函數(shù)解析式變式探索 |
| 2007年11月17日 04:23 青少年報 |
求二次函數(shù)的解析式,除了用三種基本的形式外,還 有下列變化的形式: 一、頂點在直線上求解析式 例1 已知二次函數(shù)y=(m2－2)x2－4mx+n的圖象 的對稱軸是x=2,且最高點在直線y=12x+1上,求這個 二次函數(shù)的表達(dá)式. 解∵二次函數(shù)的對稱軸x=2,此圖象頂點的橫坐 標(biāo)為2,此點在直線y=12x+1上. ∴y=12×2+1=2. ∴y=(m2－2)x2－4mx+n的圖象頂點坐標(biāo)為(2,2). ∴－b2a=2.∴－-4m2(m2－2)=2. 解得m=-1或m=2. ∵最高點在直線上,∴a<0, ∴m=-1. ∴y=－x2+4x+n.∵頂點為(2,2). ∴2=－4+8+n.∴n=－2. ∴這個二次函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=－x2+4x-2. 變式練習(xí)將上例中其它條件不變,"最高點"改 為"頂點"求二次函數(shù)解析式(分a＞0和a＜0兩種情). 二、巧用對稱性求解析式 例2 已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(0,3),對稱軸 方程是x-1=0,拋物線與x軸兩交點的距離為4,求這個 二次函數(shù)的解析式. 分析∵對稱軸方程是x-1=0,拋物線與x軸兩 交點的距離為4, 由拋物線的對稱性知,拋物線與x軸的兩個交點分別為(-1,0),(3,0). 由拋物線的交點式:y=a(x－x1)(x－x2)求出解析式. 變式練習(xí)1 將經(jīng)過的點與對稱軸方程改為頂點坐標(biāo). 已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是(3,2),且圖象與x軸 的兩個交點間距離是4.求這個二次函數(shù)的解析式. 變式練習(xí)2 將與x軸兩交點的距離改為已知一交點坐標(biāo). 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸分別交于A(3,0),B兩點,與y軸交于(0,3)點,對稱軸是x=1,求二次函數(shù)的解析式. 變式練習(xí)3 將對稱性在等腰三角形中體現(xiàn). 已知:拋物線y=mx2-(3m+43)x+4與x軸交于兩點A,B,與y軸交于C點,若△ABC是等腰三角形,求拋物線的解析式. 三、利用兩個函數(shù)之間的關(guān)系求解析式 例3 已知二次函數(shù)y1=ax2-2bx+c和y2=(a+1)x2-2(b+2)x+c+3在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖. (1)哪個函數(shù)圖象經(jīng)過B,C,D三點； (2)若BO＝AO,BC＝DC,求二個函數(shù)的解析式. 解由圖象可知,a與a＋1一定是異號的又.∵a＋1＞a, ∴a＋1＞0,a＜0. ∴-1＜a＜0. ∴y2經(jīng)B,C,D三點. (2)∵BO＝AO,∴y1的對稱軸是y軸,即--2b2a=0.∴b=0.∵y1與y2有兩個交點,設(shè)交點為(x0,y0). ∴y0=ax02+c ①y0=(a+1)x02-4x0+c+3! ②②-①得:0=x02-4x0+3,∴x0=1或3.∴B(1,0),C點橫坐標(biāo)3. ∵BC＝DC,∴C為頂點.∴D(5,0). ∵點B在y1上,點D在y2上, ∴0=a+c 0=25a+25-20+c+3! . ∴a=-13 b=13"$#$%. ∴y1=-13x2+13,y2=23x2-4x+103.變式練習(xí)已知拋物線y=ax2+bx+c與拋物線y=-x2-3x+7的形狀相同,頂點在直線x=1上,且頂點到x軸的距離為5,求此拋物線的解析式.(提醒:需要討論)(同學(xué)們可以思考一下) |
