幾何：復(fù)習(xí)矩形、菱形、正方形
二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1. 重點(diǎn)：
代數(shù)：根的判別式的正用與逆用；韋達(dá)定理的應(yīng)用。
幾何：矩形、菱形、正方形的性質(zhì)及判定。
2. 難點(diǎn)：
代數(shù)：根的判別式的逆用；韋達(dá)定理的應(yīng)用。
幾何：矩形、菱形、正方形性質(zhì)的區(qū)別及判定。
［知識要點(diǎn)］
代數(shù)：
1. 一元二次方程的判別式
有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
有兩個相等的實(shí)數(shù)根
沒有實(shí)數(shù)根
2. 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
（1）韋達(dá)定理：
如果的兩個根是
，那么。
注意：①一元二次方程，；②有兩個根。
（2）如果方程的兩個根是，那么，。
（3）以兩個數(shù)為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是。
幾何：
1.
名稱 | 邊 | 角 | 對角線 | 面積 |
矩形 | 對邊 | 4個角都是直角 | 對角線相等且互相平分 | 鄰邊乘積 |
菱形 | 4條邊相等 | 對角相等，鄰角互補(bǔ) | 對角線垂直且互相平分，每條對角線平分一組對角 | 對角線乘積的一半 |
正方形 | 4條邊相等 | 4個角都是直角 | 對角線相等，互相垂直平分，每條對角線平分一組對角 | 邊長的平方 |
2. 判定：
判定矩形的方法：
（1）有一個角是直角的平行四邊形。
（2）有3個角是直角的四邊形。
（3）對角線相等的平行四邊形。
判定菱形的方法：
（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形。
（2）四條邊都相等的四邊形。
（3）對角線互相垂直的平行四邊形。
判定正方形的方法：
（1）有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形。
（2）有一組鄰邊相等的矩形。
（3）有一個角是直角的菱形。
（4）既是矩形又是菱形的四邊形。
3. 平行四邊形、菱形、矩形、正方形之間的關(guān)系
【典型例題】
例1. 不解方程，判別下列方程根的情況：
（1）；（2）
解：（1）
即△＞0
∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根
（2）
即△＝0
∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根
例2. （2004，上海）關(guān)于x的一元二次方程，其根的判別式的值為1，求m的值及該方程的根。
解：根的判別式
又△＝1
，即
或
由題意知：為一元二次方程
即為
即原方程的根為
例3. （2004，廣東）已知實(shí)數(shù)a，b分別滿足，求的值。
解：由知a、b是方程的兩個根
由得：
由韋達(dá)定理，得：
即
又
例4. （2004，重慶）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點(diǎn)F，E為垂足，連結(jié)DF，則∠CDF等于（ ）
A. 80° B. 70° C. 65° D. 60°
解：連結(jié)FB
∵EF垂直平分AB
∴FA＝FB
又△CDF≌△CBF（SAS）
在等腰△FAD中，
又
∴選D
例5. （2004，河北）如圖，將四根木條釘成的矩形木框變形為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最小內(nèi)角的值等于________。
解：過點(diǎn)A作AE⊥BC于E
∵矩形A’BCD’變形為平行四邊形ABCD
又
即
在中，∠B＝30°
∴平行四邊形ABCD的一個最小內(nèi)角為30°
例6. （2004年，四川）已知：如圖，D是△ABC的BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別是E，F且BF＝CE。
求證：（1）△ABC是等腰三角形。
（2）當(dāng)∠A＝90°時，試判斷四邊形AFDE是怎樣的四邊形，證明你的結(jié)論。
證明：（1）在和中
即△ABC是等腰三角形
（2）若∠A＝90°，則四邊形AFDE為矩形（三個角是直角的四邊形為矩形）
又由，設(shè)DF＝DE
∴四邊形AFDE為正方形（有一組鄰邊相等的矩形為正方形）
【模擬試題】（答題時間：25分鐘）
1. 不解方程，判斷下列方程根的情況：
（1）
（2）
2. 不解方程判斷根的情況。
3. 若方程有兩個實(shí)根，求正整數(shù)k的值。
4. 若關(guān)于x的方程的兩根之和與兩根之積相等，求m的值。
5. 在矩形ABCD中，M是BC的中點(diǎn)，且MA⊥MD，若矩形的周長為48cm，則矩形ABCD的面積為__________。
6. 如圖，在正方形ABCD中，截去∠A和∠C后，∠1＋∠2＋∠3＋∠4等于________。
【試題答案】
1. （1）有兩個不等的實(shí)根；
（2）無實(shí)根
2. 提示：，∴無實(shí)根
3. 提示：（1）由△≥0得：k≤2
（2）由k為正整數(shù)，得：k＝1或2
（3）由得：
4. 由韋達(dá)定理，得：
5. 128
6. 540°
