［學習目標］
1. 直線為，⊙O的半徑為r，圓心到直線的距離為d。
（1）直線與⊙O相離無公共點；
（2）直線與⊙O相切，
唯一公共點；
（3）直線與⊙O相交，兩公共點。
注意：①由直線與圓的位置關系數量關系
反之，數量關系位置關系；
②直線與圓的位置關系，d，r數量關系，公共點個數三者互相轉化。
2. 重要公式：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB邊上的高，則：
即：AC·BC＝AB·CD（是求斜邊上高的常用方法）
3. 切線的判定方法
①定義法（不常用），即：唯一公共點；
②數量關系推理法，即；
③判定定理：垂直于過切點的半徑的直線是圓的切線。
4. 切線的性質：
①與判定均為互逆定理；
②其中性質定理及推論要熟練掌握。
實際上①垂直于切線；②經過切點；③經過圓心；任意知道兩個就能推出第三個。
5. 作圖：作和已知三角形各邊都相切的圓。
關鍵找內心，（各內角平分線交點）和半徑。
6. 與三角形各邊都相切的圓叫三角形內切圓，這個三角形叫圓的外切三角形。
與多邊形各邊都相切的圓叫多邊形的內切圓，多邊形叫圓的外切多邊形。
7. 三角形的內切圓、圓心是角平分線交點，半徑是圓心到三邊的距離。
三角形的外接圓，圓心是三邊中垂線交點，半徑是圓心到三個頂點的距離。
【典型例題】
例1. 已知半徑為3的⊙O上一點P和圓外一點Q，如果OQ＝5，PQ＝4，則PQ和圓的位置關系是（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相離 D. 位置不定
解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，
∴，
∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，
∴PQ⊥OP。
即圓心O到PQ的距離等于圓的半徑。
∴PQ和圓的位置關系相切，故選B。
點撥：在沒有明確知道圓心到直線的距離和半徑的關系時，通過已有的知識進行推證。本題也可以通過切線的判定定理求解，即通過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
例2. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O為AB上一點，AO＝m，⊙O的半徑，問m在什么范圍內取值時，AC與圓：
（1）相離；（2）相切；（3）相交。
點悟：要判定直線與圓的位置關系，只要比較圓心到直線的距離與半徑的大小。
解：如圖所示，過O作OD⊥AC垂足為D，
，
∴
（1）當，即，也即時，則AC與⊙O相離；
（2）當，即，也即時，AC與⊙O相切；
（3）當，即，也即時，AC與⊙O相交。
例3. 已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。
求證：AF＝DF；
證明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC。
∵∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE
∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴EA＝ED
∵DE是半圓C的直徑，
∴∠DFE＝90°
∴AF＝DF
例4. 已知⊙O中，AB是直徑，過B點作⊙O的切線，連結CO，若AD∥OC交⊙O于D，求證：CD是⊙O的切線。
點悟：要證CD是⊙O的切線，須證CD垂直于過切點D的半徑，由此想到連結OD。
證明：連結OD。
∵AD∥OC，
∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA
∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD
∴∠COB＝∠COD
∵CO為公用邊，OD＝OB
∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC
∵BC是切線，AB是直徑，
∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，
∴CD是⊙O的切線。
點撥：輔助線OD構造于“切線的判定定理”與“全等三角形”兩個基本圖形，先用切線的性質定理，后用判定定理。
例5. 如圖所示，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點，⊙O與腰AB相切于點D。
求證：AC與⊙O相切。
點悟：顯然AC與⊙O的公共點沒有確定，故用“d＝r”證之。而AB與⊙O切于D點，可連結OD，則OD⊥AB。
證明：連結OD、OA。過O作OE⊥AC，垂足為E。
∵AB＝AC，O為BC的中點，
∴∠BAO＝∠CAO
又∵AB切⊙O于D點，
∴OD⊥AB，又OE⊥AC，
∴OE＝OD，
∴AC與⊙O相切。
點撥：此題用了切線的性質定理，同時又用了切線的判定方法“d＝r”。
例6. 已知⊙O的半徑OA⊥OB，點P在OB的延長線上，連結AP交⊙O于D，過D作⊙O的切線CE交OP于C，求證：PC＝CD。
點悟：要證PC＝CD，可證它們所對的角等，即證∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等證題。
證明：連結OD，則OD⊥CE。
∴∠EDA＋∠ODA＝90°
∵OA⊥OB
∴∠A＋∠P＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA
∵∠EDA＝∠CDP，
∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD
點撥：在證題時，有切線可連結切點的半徑，利用切線性質定理得到垂直關系。
例7. 在△ABC中，∠A＝70°，點O是內心，求∠BOC的度數。
點悟：已知O是內心，由內心的概念可知OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的平分線。
解：在△ABC中，∠A＝70°，
∵O是△ABC的內心
∴
。
∴
∴
例8. △ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求△ABC的內切圓的半徑長。
解析：過點A作AD⊥BC于D，則AD為∠ABC的平分線。
設I為△ABC的內心，內切圓⊙I分別切三邊于D、E、F，則I在AD上，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴AD＝4
連結IE，則IE⊥AC，設⊙I半徑為x，
即
解得
例9. 任意△ABC中內切圓I和邊BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，求證：△DEF是銳角三角形。
證明：如圖所示，連結FI、EI，
∵⊙I與AB、AC切于點F、E
∴∠IFA＝∠IEA＝90°
∴
∴
∵，
∴
∴∠EDF為銳角。
同理可證∠DFE、∠DEF都是銳角。
∴△DEF是銳角三角形。
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
一、選擇題：
1. 已知⊙O的半徑，直線l與圓O的距離，則直線l與圓的位置關系（ ）
A. 相交 B. 相切
C. 相離 D. 位置不確定
2. 已知⊙O的半徑，直線l和點O距離為d，如果直線與⊙O有公共點，那么（ ）
A. B.
C. D.
3. AB是⊙O的切線，下列條件能判定AB⊥CD的是（ ）
A. AB與⊙O相切于直線CD上的點C
B. CD經過圓心O
C. CD是直線
D. AB與⊙O切于C，CD過圓心O
4. 已知AB是⊙O的直徑，CB與⊙O切于點B，AC＝2AB，則（ ）
A. ∠ACB＝60° B. ∠ACB＝30°
C. ∠ACB＝45° D. ∠BAC＝30°
5. 等邊三角形外接圓半徑、內切圓半徑及三角形高的比是（ ）
A. 2：1：3 B. 3：2：4
C. 3：2：3 D. 1：2：3
二、填空題：
6. 已知⊙O的直徑為12cm，如果圓心O到直線l的距離為5.5cm，那么直線l與⊙O有__________個公共點。
7. 過圓上一點可作圓的__________條切線，過圓外一點，可作圓的__________條切線，過__________點，不存在圓的切線。
8. 在⊙O中，AD是直徑，AB是弦，過點D作切線交AB的延長線于C，如果AB＝BC，則∠ADB＝__________。
9. 在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，則此三角形的內切圓的半徑__________。
10. I為△ABC的內心，∠A＝60°，則∠BIC＝__________。
三、解答題：
11. 已知等邊△ABC的邊長為2，以A為圓心，以r為半徑作圓，當r為何值時⊙A與BC相交？
12. 如圖，已知AD為⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點D，AB、AC分別交⊙O于E、F，求證：AE·AB＝AF·AC。
13. 如圖，在⊙O上，以O'為圓心的圓交⊙O于A、B，⊙O的弦OC交⊙O'于D，求證：D為△ABC的內心。
【試題答案】
一、選擇題：
1. A 2. B 3. D 4. B 5. A
二、填空題：
6. 兩 7. 1，2，圓內
8. 45° 9. 2 10. 120°
三、解答題：
11. 作△ABC的高AD，求出
∴當時，⊙A與BC相交
12. 證明：連結EF、ED
13. 連結O'A，O'B，AD
⊙O中，
∴點D為△ABC的內心。
