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直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

 

. 課標(biāo)要求:

1. 通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;

2. 掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題。

 

. 命題走向:

近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置,且選擇、填空也有涉及,有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等。分析這類問題,往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法,對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理等。

預(yù)測(cè)高考:

1. 會(huì)出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題;

2. 與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題,等軸雙曲線基本不出題,坐標(biāo)軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一般不出解答題,大多是以選擇題形式出現(xiàn)。

 

【教學(xué)過程】

基本知識(shí)要點(diǎn)回顧:

1. 點(diǎn)Mx0,y0)與圓錐曲線Cfx,y)=0的位置關(guān)系

2. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,從幾何角度可分為三類:無公共點(diǎn),僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為:相交、相切、相離。對(duì)于拋物線來說,平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn),但并不是相切;對(duì)于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),但并不相切。這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為:

注意:直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件。

3. 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式

設(shè)直線lykxn,圓錐曲線:Fx,y)=0,它們的交點(diǎn)為P1x1,y1),P2x2,y2),

且由

,消去yax2bxc0a0),Δ=b24ac。

則弦長(zhǎng)公式為:

d

 

【典型例題】

1. 已知橢圓:

,過左焦點(diǎn)F作傾斜角為
的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),求弦AB的長(zhǎng)。

解:a3b1,c2

,則F-2
,0)。

由題意知:

聯(lián)立消去y得:
。

設(shè)A

、B
,則
是上面方程的二實(shí)根,由韋達(dá)定理,
,
,
又因?yàn)?/span>A、B、F都是直線
上的點(diǎn),

所以|AB|

點(diǎn)評(píng):弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用。

 

2. 中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為F10

)的橢圓截直線
所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
,求橢圓的方程。

解:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

,由F10,
)得

把直線方程

代入橢圓方程整理得:

設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為

,則由根與系數(shù)的關(guān)系得:

,又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為
,

,與方程
聯(lián)立可解出

故所求橢圓的方程為:

。

點(diǎn)評(píng):根據(jù)題意,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,與直線方程聯(lián)立解方程組,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo),再由F10,

)知,c
,
,最后解關(guān)于a、b的方程組即可。

 

3. 06遼寧卷)直線

與曲線
 
的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(   

A. 1                     B. 2                      C. 3                     D. 4

解:

代入
得:
。

,顯然該關(guān)于
的方程有兩正解,即x有四解,所以交點(diǎn)有4個(gè),故選擇答案D。

點(diǎn)評(píng):本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對(duì)值的變換技巧,同時(shí)對(duì)二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡(jiǎn)單的考查。也可數(shù)形結(jié)合。

 

4. 2000上海,17)已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1

0)和F22
,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,設(shè)直線yx2交橢圓CAB兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。

解:設(shè)橢圓C的方程為

,

由題意a3c2

,于是b1。

∴橢圓C的方程為

y21

10x236x270,

因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式Δ0,所以直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

設(shè)Ax1y1),Bx2,y2),

x1x2

故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

)。

點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

 

5. 1過點(diǎn)

與雙曲線
有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有幾條,分別求出它們的方程。

2)直線

與雙曲線
相交于A、B兩點(diǎn),當(dāng)
為何值時(shí),A、B在雙曲線的同一支上?當(dāng)
為何值時(shí),A、B分別在雙曲線的兩支上?

解:1)解:若直線的斜率不存在時(shí),則

,此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)
,滿足條件;

若直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為

,

, 
,

當(dāng)

時(shí),方程無解,不滿足條件;

當(dāng)

時(shí),
方程有一解,滿足條件;

當(dāng)

時(shí),令
,

化簡(jiǎn)得:

無解,所以不滿足條件;

所以滿足條件的直線有兩條

。

2)把

代入
整理得:
  1

當(dāng)

時(shí),

>0
時(shí),方程組有兩解,直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)。

AB在雙曲線的同一支,須

>0 ,所以
。

故當(dāng)

時(shí),A、B兩點(diǎn)在同一支上;當(dāng)
時(shí),AB兩點(diǎn)在雙曲線的兩支上。

點(diǎn)評(píng):與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。

 

6. 1)求直線

被雙曲線
截得的弦長(zhǎng);

2)求過定點(diǎn)

的直線被雙曲線
截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。

解:1)由

*

設(shè)方程(*)的解為

,則有
  
得,

2)方法一:若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn),則設(shè)直線的方程為

,它被雙曲線截得的弦為
對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為

*

設(shè)方程(*)的解為

,則

,

,

。

方法二:設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為

,弦中點(diǎn)為
,則

得:
,

,   
,    
(圖象的一部分)

點(diǎn)評(píng):1)弦長(zhǎng)公式

;(2)有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種處理方法。

 

7. 過雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線,且與雙曲線的兩支相交,求該雙曲線離心率的范圍。

解:設(shè)雙曲線的方程為

,
,漸近線
,則過
的直線方程為
,則
,

代入得

即得
,

,即得到
。

點(diǎn)評(píng):直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系,取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。

 

8. 已知拋物線方程為

,直線
過拋物線的焦點(diǎn)F且被拋物線截得的弦長(zhǎng)為3,求p的值。

解:設(shè)

與拋物線交于

由距離公式|AB|

從而

由于p>0,解得

點(diǎn)評(píng):方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交;有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切;無實(shí)數(shù)解則相離。

 

9. 2003上海春,4)直線yx1被拋物線y24x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_____。

答案:(32

解一:設(shè)直線yx1與拋物線y24x交于Ax1,y1),Bx2,y2),其中點(diǎn)為Px0,y0)。

由題意得

,(x124x,x26x10。

x0

3.y0x012.P32)。

解二:y224x2,y124x1,y22y124x24x1,

4.y1y24,即y02,x0y013

故中點(diǎn)為P32)。

點(diǎn)評(píng):本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。

 

10. 1997上海)拋物線方程為y2px1)(p0),直線xymx軸的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的右邊。

1)求證:直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn);

2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為Q、R,OQOR,求p關(guān)于m的函數(shù)fm)的表達(dá)式;

3)(文)在(2)的條件下,若拋物線焦點(diǎn)F到直線xym的距離為

,求此直線的方程;

解:1)拋物線y2px1)的準(zhǔn)線方程是x=-1

,直線xymx軸的交點(diǎn)為(m,0),由題設(shè)交點(diǎn)在準(zhǔn)線右邊,得m>-1
,即4mp40。

x2-(2mpx+(m2p)=0.

而判別式Δ=(2mp24m2p)=p4mp4.

p04mp40,可知Δ0.

因此,直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn);

2)設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1y1)、(x2y2),由(1)知,x1、x2是方程x2-(2mpxm2p0的兩根,

x1x22mp,x1·x2m2p.

OQOR,得kOQ·kOR=-1,

即有x1x2y1y20.

QR為直線xym上的點(diǎn),

因而y1=-x1m,y2=-x2m.

于是x1x2y1y22x1x2mx1x2)+m22m2p)-m2mp)+m20

pfm)=

,

m>-2,m0;

3)(文)由于拋物線y2px1)的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(-1

,0),于是有

,即|p4m4|4.

p

       |
|
4.

解得m10m2=-

m3=-4,m4=-
.

m0m>-2,因而舍去m1、m2、m3,故所求直線方程為3x3y40。

點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的性質(zhì)與方程,拋物線與直線的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離,函數(shù)與不等式的知識(shí),以及解決綜合問題的能力。

 

11. 06山東卷)已知拋物線y24x,過點(diǎn)P40)的直線與拋物線相交于Ax1,y1),Bx2,y2兩點(diǎn),則y12y22的最小值是          。

解:顯然

30,又
4
38
,當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)取等號(hào),所以所求的值為32

點(diǎn)評(píng):該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問題,結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。

 

12. 07浙江文)如圖,直線ykxb與橢圓

交于A、B兩點(diǎn),記△AOB的面積為S。

I)求在k0,0b1的條件下,S的最大值;

(Ⅱ)當(dāng)|AB|=2,S1時(shí),求直線AB的方程

解:I)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為

,點(diǎn)B的坐標(biāo)為

,解得

所以

當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí),S取到最大值1。

(Ⅱ)由

                   ?、?/span>

AB|=

       

又因?yàn)?/span>OAB的距離

  所以

③代入②并整理,得

解得,

,代入①式檢驗(yàn),△>0

故直線AB的方程是 

點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。

 

[思維小結(jié)]

1. 加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí)

由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問題,因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。用設(shè)不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查;

2. 關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)xy,間接把它們聯(lián)系起來,減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系,利用平面幾何知識(shí)會(huì)化難為易,化繁為簡(jiǎn),收到意想不到的解題效果;

3. 直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題,實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題,此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法;

4. 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí):涉及弦長(zhǎng)問題,常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式);涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題,常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍。

 

【模擬試題】

一、選擇題

1、如果

表示焦點(diǎn)在
軸上的橢圓,那么實(shí)數(shù)
的取值范圍是(   

A.

           B.
              C.
           D.

2

  以橢圓
的頂點(diǎn)為頂點(diǎn),離心率為
的雙曲線方程為(    

A.

                         B.
      

C.

       D. 以上都不對(duì)

3、過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)

作垂直于實(shí)軸的弦
,
是另一焦點(diǎn),若∠
,則雙曲線的離心率
等于(    

A.

           B.
               C.
           D.

4、

是橢圓
的兩個(gè)焦點(diǎn),
為橢圓上一點(diǎn),且∠
,則Δ
的面積為(     

A.

                  B.
                   C.
                  D.

5、以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過圓

的圓心的拋物線的方程是(   

A.

                B.
   

C.

               D.

6、設(shè)

為過拋物線
的焦點(diǎn)的弦,則
的最小值為(   

A.

                  B.
                   C.
              D. 無法確定

 

二、填空題

1、橢圓

的離心率為
,則
的值為______________。

2、雙曲線

的一個(gè)焦點(diǎn)為
,則
的值為______________。

3、若直線

與拋物線
交于
兩點(diǎn),則線段
的中點(diǎn)坐標(biāo)是______

4、對(duì)于拋物線

上任意一點(diǎn)
,點(diǎn)
都滿足
,則
的取值范圍是___________。

5、若雙曲線

的漸近線方程為
,則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是________。

6、設(shè)

是橢圓
的不垂直于對(duì)稱軸的弦,
的中點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),則
____________。

 

三、解答題

1、已知定點(diǎn)

,
是橢圓
的右焦點(diǎn),在橢圓上求一點(diǎn)
,使
取得最小值。

2

代表實(shí)數(shù),討論方程
所表示的曲線

3、雙曲線與橢圓

有相同焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)
,求其方程。

4、已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在

軸上的拋物線被直線
截得的弦長(zhǎng)為
,求拋物線的方程。

 


【試題答案】

一、選擇題

1、焦點(diǎn)在

軸上,則

2當(dāng)頂點(diǎn)為

時(shí),
;

當(dāng)頂點(diǎn)為

時(shí),

3、Δ

是等腰直角三角形,

4

5、圓心為

,設(shè)

設(shè)

6、垂直于對(duì)稱軸的通徑時(shí)最短,即當(dāng)

 

二、填空題

1、4

  當(dāng)
時(shí),
;

當(dāng)

時(shí),

2、

   焦點(diǎn)在
軸上,則

3

  

中點(diǎn)坐標(biāo)為

4、

  設(shè)
,由

   

恒成立,則

5、

  漸近線方程為
,得
,且焦點(diǎn)在
軸上

6、

  設(shè)
,則中點(diǎn)
,得

,

 

三、解答題

1、解:顯然橢圓

,記點(diǎn)
到右準(zhǔn)線的距離為

,即

當(dāng)

同時(shí)在垂直于右準(zhǔn)線的一條直線上時(shí),
取得最小值,

此時(shí)

,代入到

而點(diǎn)

在第一象限,

2、解:當(dāng)

時(shí),曲線
為焦點(diǎn)在
軸的雙曲線;

當(dāng)

時(shí),曲線
為兩條平行的垂直于
軸的直線;

當(dāng)

時(shí),曲線
為焦點(diǎn)在
軸的橢圓;

當(dāng)

時(shí),曲線
為一個(gè)圓;

當(dāng)

時(shí),曲線
為焦點(diǎn)在
軸的橢圓
 

3、解:橢圓

的焦點(diǎn)為
,設(shè)雙曲線方程為

過點(diǎn)

,則
,得a2436,而

,雙曲線方程為
 

4、解:設(shè)拋物線的方程為

,則
消去

 

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