直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
二. 課標(biāo)要求:
1. 通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;
2. 掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題。
三. 命題走向:
近幾年來直線與圓錐曲線的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置,且選擇、填空也有涉及,有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及線段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等。分析這類問題,往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法,對(duì)稱的方法及韋達(dá)定理等。
預(yù)測(cè)高考:
1. 會(huì)出現(xiàn)1道關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的解答題;
2. 與直線、圓錐曲線相結(jié)合的綜合型考題,等軸雙曲線基本不出題,坐標(biāo)軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一般不出解答題,大多是以選擇題形式出現(xiàn)。
【教學(xué)過程】
基本知識(shí)要點(diǎn)回顧:
1. 點(diǎn)M(x0,y0)與圓錐曲線C:f(x,y)=0的位置關(guān)系
2. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,從幾何角度可分為三類:無公共點(diǎn),僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究方法可通過代數(shù)方法即解方程組的辦法來研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系可分為:相交、相切、相離。對(duì)于拋物線來說,平行于對(duì)稱軸的直線與拋物線相交于一點(diǎn),但并不是相切;對(duì)于雙曲線來說,平行于漸近線的直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),但并不相切。這三種位置關(guān)系的判定條件可歸納為:
注意:直線與拋物線、雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線、雙曲線相切的必要條件,但不是充分條件。
3. 直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式
設(shè)直線l:y=kx+n,圓錐曲線:F(x,y)=0,它們的交點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),
且由
則弦長(zhǎng)公式為:
d=
【典型例題】
例1. 已知橢圓:
解:a=3,b=1,c=2
由題意知:
設(shè)A(
所以|AB|=
點(diǎn)評(píng):弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用。
例2. 中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為F1(0,
解:設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
把直線方程
設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為
故所求橢圓的方程為:
點(diǎn)評(píng):根據(jù)題意,可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,與直線方程聯(lián)立解方程組,利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo),再由F1(0,
例3. (06遼寧卷)直線
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解:將
點(diǎn)評(píng):本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對(duì)值的變換技巧,同時(shí)對(duì)二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡(jiǎn)單的考查。也可數(shù)形結(jié)合。
例4. (2000上海,17)已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1(
解:設(shè)橢圓C的方程為
由題意a=3,c=2
∴橢圓C的方程為
由
因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式Δ>0,所以直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=
故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系及線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。
例5. (1)過點(diǎn)
(2)直線
解:(1)解:若直線的斜率不存在時(shí),則
若直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
化簡(jiǎn)得:
所以滿足條件的直線有兩條
(2)把
當(dāng)
由
若A、B在雙曲線的同一支,須
故當(dāng)
點(diǎn)評(píng):與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種。一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線。另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。
例6. (1)求直線
(2)求過定點(diǎn)
解:(1)由
設(shè)方程(*)的解為
(2)方法一:若該直線的斜率不存在時(shí)與雙曲線無交點(diǎn),則設(shè)直線的方程為
由
設(shè)方程(*)的解為
∴
且
∴
得
方法二:設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為
∴
點(diǎn)評(píng):(1)弦長(zhǎng)公式
例7. 過雙曲線的一焦點(diǎn)的直線垂直于一漸近線,且與雙曲線的兩支相交,求該雙曲線離心率的范圍。
解:設(shè)雙曲線的方程為
代入得
∴
∴
點(diǎn)評(píng):直線與圓錐曲線的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系,取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。
例8. 已知拋物線方程為
解:設(shè)
由距離公式|AB|=
由
從而
點(diǎn)評(píng):方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交;有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切;無實(shí)數(shù)解則相離。
例9. (2003上海春,4)直線y=x-1被拋物線y2=4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_____。
答案:(3,2)
解一:設(shè)直線y=x-1與拋物線y2=4x交于A(x1,y1),B(x2,y2),其中點(diǎn)為P(x0,y0)。
由題意得
∴x0=
解二:y22=4x2,y12=4x1,y22-y12=4x2-4x1,
故中點(diǎn)為P(3,2)。
點(diǎn)評(píng):本題考查曲線的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。
例10. (1997上海)拋物線方程為y2=p(x+1)(p>0),直線x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線的右邊。
(1)求證:直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為Q、R,OQ⊥OR,求p關(guān)于m的函數(shù)f(m)的表達(dá)式;
(3)(文)在(2)的條件下,若拋物線焦點(diǎn)F到直線x+y=m的距離為
解:(1)拋物線y2=p(x+1)的準(zhǔn)線方程是x=-1-
由
得x2-(2m+p)x+(m2-p)=0.
而判別式Δ=(2m+p)2-4(m2-p)=p(4m+p+4).
又p>0及4m+p+4>0,可知Δ>0.
因此,直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn);
(2)設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),由(1)知,x1、x2是方程x2-(2m+p)x+m2-p=0的兩根,
∴x1+x2=2m+p,x1·x2=m2-p.
由OQ⊥OR,得kOQ·kOR=-1,
即有x1x2+y1y2=0.
又Q、R為直線x+y=m上的點(diǎn),
因而y1=-x1+m,y2=-x2+m.
于是x1x2+y1y2=2x1x2-m(x1+x2)+m2=2(m2-p)-m(2m+p)+m2=0,
∴p=f(m)=
由
(3)(文)由于拋物線y2=p(x+1)的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(-1+
又p=
解得m1=0,m2=-
但m≠0且m>-2,因而舍去m1、m2、m3,故所求直線方程為3x+3y+4=0。
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的性質(zhì)與方程,拋物線與直線的位置關(guān)系,點(diǎn)到直線的距離,函數(shù)與不等式的知識(shí),以及解決綜合問題的能力。
例11. (06山東卷)已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則y12+y22的最小值是 。
解:顯然
點(diǎn)評(píng):該題考查直線與拋物線位置關(guān)系下的部分求值問題,結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。
例12. (07浙江文)如圖,直線y=kx+b與橢圓
(I)求在k=0,0<b<1的條件下,S的最大值;
(Ⅱ)當(dāng)|AB|=2,S=1時(shí),求直線AB的方程
解:(I)設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為
由
所以
當(dāng)且僅當(dāng)
(Ⅱ)由
|AB|=
又因?yàn)?/span>O到AB的距離
③代入②并整理,得
解得,
故直線AB的方程是
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。
[思維小結(jié)]
1. 加強(qiáng)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復(fù)習(xí)
由于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)、線段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問題,因此分析問題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來設(shè)。用設(shè)不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查;
2. 關(guān)于直線與圓錐曲線相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y,間接把它們聯(lián)系起來,減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系,利用平面幾何知識(shí)會(huì)化難為易,化繁為簡(jiǎn),收到意想不到的解題效果;
3. 直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題,實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解或?qū)崝?shù)解的個(gè)數(shù)問題,此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法;
4. 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí):涉及弦長(zhǎng)問題,常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式);涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題,常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求,將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來,相互轉(zhuǎn)化。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件,尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化,往往就能事半功倍。
【模擬試題】
一、選擇題
1、如果
A.
2
A.
C.
3、過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)
A.
4、
A.
5、以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸,以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過圓
A.
C.
6、設(shè)
A.
二、填空題
1、橢圓
2、雙曲線
3、若直線
4、對(duì)于拋物線
5、若雙曲線
6、設(shè)
三、解答題
1、已知定點(diǎn)
2、
3、雙曲線與橢圓
4、已知頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在
【試題答案】
一、選擇題
1、D 焦點(diǎn)在
2、C 當(dāng)頂點(diǎn)為
當(dāng)頂點(diǎn)為
3、C Δ
4、C
5、D 圓心為
設(shè)
6、C 垂直于對(duì)稱軸的通徑時(shí)最短,即當(dāng)
二、填空題
1、4或
當(dāng)
2、
3、
中點(diǎn)坐標(biāo)為
4、
5、
6、
三、解答題
1、解:顯然橢圓
則
當(dāng)
此時(shí)
而點(diǎn)
2、解:當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
當(dāng)
3、解:橢圓
過點(diǎn)
4、解:設(shè)拋物線的方程為
則
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