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等比數(shù)列、數(shù)列求和

等比數(shù)列、數(shù)列求和

 

. 重點(diǎn)、難點(diǎn):

1. 理解等比數(shù)列的有關(guān)概念;掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前

項(xiàng)和公式,并能運(yùn)用這些知識解決一些簡單的實(shí)際問題。

2. 通過觀察數(shù)列通項(xiàng)公式的特點(diǎn)選擇合適的方法,求數(shù)列的前

項(xiàng)和。

 

【典型例題】

[1] 在等比數(shù)列

中,
,
,求
。

解:

是等比數(shù)列,故
,結(jié)合
,可知
是方程
的兩根,解方程,得

,

當(dāng)

時(shí),
,得

又因?yàn)?/span>

,
,故

當(dāng)

,
時(shí),

又因?yàn)?/span>

綜上所述,

,公比

 

[2] 已知數(shù)列

為等差數(shù)列,公差
的部分項(xiàng)組成下列數(shù)列:
,恰為等比數(shù)列,其中
,
,求

解:設(shè)

的首項(xiàng)為
   
成等比數(shù)列

,又

                 

 

[3] 設(shè)

為等差數(shù)列,
為等比數(shù)列,
,
,分別求出
,
的前10項(xiàng)的和

解:

為等差數(shù)列,
為等比數(shù)列   

由已知

,得

    
   
   

的公差為

   

     

 

[4] 設(shè)等比數(shù)列

的各項(xiàng)均為正數(shù),項(xiàng)數(shù)是偶數(shù),它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍,且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍,問數(shù)列
的前多少項(xiàng)和最大?(
,

解:方法一:設(shè)公比為

,項(xiàng)數(shù)為
,
,依題意有

化簡得
解得

設(shè)數(shù)列

項(xiàng)和為
,則

 

  

可見,當(dāng)

時(shí),
最大

,

的前5項(xiàng)和最大

方法二:接前,

于是

數(shù)列

是以
為首項(xiàng),以
為公差的等差數(shù)列,令
,得

由于

  
的前5項(xiàng)和最大

 

[5] 求數(shù)列的前

項(xiàng)和:
,…

解:設(shè)

            

    當(dāng)
時(shí),

當(dāng)

時(shí),

 

[6] 在數(shù)列

中,
,又
,求數(shù)列
的前
項(xiàng)的和。

解:

    

數(shù)列

的前
項(xiàng)和

  

 

[7]

的值。

解:設(shè)

   

將①式右邊反序得

 

+②得

         

 

[8] 已知數(shù)列

滿足

,
是首項(xiàng)為1,公比為
的等比數(shù)列。

1)求

的表達(dá)式;

2)如果

,求
的前
項(xiàng)和

解:

1

,當(dāng)
時(shí),

     

因而

2

        

①-②得

   1+3+5++

 

[9] 已知數(shù)列

的前
項(xiàng)和為
,且滿足
),

1)求證:

是等差數(shù)列;

2)求

的表達(dá)式;

3)若

時(shí),求證:

解:

1證明:

    

  

   
是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列

2)由(1

   

當(dāng)

時(shí),
[
時(shí),
]

當(dāng)

時(shí),
    

3證明:由(2)知,

 

【模擬試題】

. 選擇題:

1. 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列

中,首項(xiàng)
,前三項(xiàng)和為21,則
等于(   

    A. 33    B. 72    C. 84    D. 189

2. 若等比數(shù)列

的公比
,前
項(xiàng)和為
,則
的大小關(guān)系是(   

A.

       B.
    C.
          D. 不確定

3. 已知數(shù)列

滿足
,
),則當(dāng)
時(shí),
等于(   

    A.

    B.
    C.
    D.

4. 在數(shù)列

中,若
,則
等于(   

A.

               B.
    C.
           D.

5. 化簡

)的結(jié)果是(   

A.

    B.
    C.
    D.

6. 數(shù)列

的前
項(xiàng)和為
,則
等于(   

    A. 1003    B.

    C. 2006    D.

7.

等于(   

A.

B.

C.

D.

8. 某工廠第一年年產(chǎn)量為A,第二年的增長率為

,第三年的增長率為
,這兩年的平均增長率為
,則下列關(guān)系正確的是(   

A.

    B.
    C.
           D.

 

. 解答題:

1. 等比數(shù)列

的各項(xiàng)均為正數(shù),其前
項(xiàng)中,數(shù)值最大的一項(xiàng)是54,若該數(shù)列的前
項(xiàng)之和為
,且
=80,
,求:

1)前100項(xiàng)之和

;

2)通項(xiàng)公式

。

2. 已知數(shù)列1

,
,…,
),求數(shù)列的前
項(xiàng)和。

3. 已知

1)當(dāng)

時(shí),求數(shù)列
的前
項(xiàng)和
;

2)求

  4. 設(shè)數(shù)列

是公差為
,且首項(xiàng)為
的等差數(shù)列,求和:

 


【試題答案】

.

1. C

解析:

,
 
(舍)

2. A

解析:由等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前

項(xiàng)和公式得

  
,

,

3. C

解析:由已知

得到

,
,

    由此猜想出

4. D

解析:

,得
),當(dāng)
時(shí),
不適合,所以

5. B

解析:

6. A

    解析:

(共1003個)=1003

7. D

解析:原式

8. B

解析:設(shè)平均增長率為

,則第三年產(chǎn)量為
,所以應(yīng)該有

  

從而

 

.

1. 解:設(shè)公比為

  

,則最大項(xiàng)是
(∵

 

由①②③解得

,則

1)前100項(xiàng)之和

2)通項(xiàng)公式為

2. 解:由題意可知,

的通項(xiàng)是等差數(shù)列
的通項(xiàng)與等比數(shù)列
的通項(xiàng)之積,設(shè)

 ②(設(shè)置錯位)

①-②得

(錯位相減)

當(dāng)

時(shí),利用等比數(shù)列的求和公式,得

當(dāng)

時(shí),

3. 解析:

    1)當(dāng)

時(shí),
,這時(shí)數(shù)列
的前
項(xiàng)和

++

 

①式兩邊同乘以

,得
  

①式減去②式,得

2)由(1),當(dāng)

時(shí),

當(dāng)

時(shí),

     此時(shí),

,

,

4. 解析:

    

 

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