數(shù)列（二）等比數(shù)列
二. 知識(shí)講解：
1. 判定
（1）定義法（
）（
）
（2）等比中項(xiàng)法（
）
（3）通項(xiàng)法
（4）前項(xiàng)和法（）
2. 性質(zhì)為等比
（1）若，則（）
（2）為的子數(shù)列，，若為等差，則為等比
如
則仍為等比數(shù)列；公比
（3）中依次項(xiàng)和仍成等比，公比
如仍為等比數(shù)列；公比
（4）中依次項(xiàng)積仍為等比，公比
（5）
由
（6）
左式
【典型例題】
[例1] 若等比數(shù)列前項(xiàng)和，則常數(shù)的值是（ ）
A. B. 1 C. D. 2
解：，故
[例2] 等比數(shù)列中，已知，求
解：由成等比且公比為可求
[例3] 數(shù)列的前項(xiàng)和記為，已知（），求的和。
解：當(dāng)時(shí)，
由已知
于是
故
由
故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列
是以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列
[例4]（96全國文）設(shè)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，若，求數(shù)列的公比
解：若，則有，但，即得，故
又依題意，可得
即
由即
∵ ∴ ∴
[例5] 已知數(shù)列滿足條件，（），且是公比為（）的等比數(shù)列，設(shè)（）
（1）求出使不等式（）成立的的取值范圍；
（2）求；
（3）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值。
解：
（1）由題意，由
上式，又，故
（2）∵ ∴
，故是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，從而
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
（3）由
故
記從上式可知，當(dāng)
即（）時(shí)，隨的增大而減小，故
當(dāng)，即（）時(shí)，也隨的增大而減小，故
綜上知，對(duì)任意正整數(shù)，有
故的最大項(xiàng)，最小項(xiàng)
注：設(shè)，此函數(shù)圖象是將的圖象向右移20.2個(gè)單位，向上移一個(gè)單位而得的。
[例6] 設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，證明
證法1：設(shè)的公比為，由題設(shè)知
（1）當(dāng)時(shí)，，從而
（2）當(dāng)時(shí)，，從而
由（1）和（2）得，又根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，
得
即
證法2：設(shè)的公比為，由題設(shè)知，
∵
∴
即
[例7] 已知數(shù)列是首項(xiàng)為，且公比不等于1的等比數(shù)列，是其前項(xiàng)和，成等差數(shù)列。
（1）證明：成等比數(shù)列；
（2）求和：
證明：由成A.P
或（舍去）
由
即，所以成G.P
（2）
①
①得：②
①－②有：
故
[例8] 如圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)裝置示意圖，，是數(shù)據(jù)輸入口，C是計(jì)算結(jié)果的輸出口，計(jì)算過程是由分別輸入正整數(shù)和，經(jīng)計(jì)算得正整數(shù)，然后由C輸出，即，此種裝置完成的計(jì)算滿足以下三個(gè)性質(zhì)：
① 若分別輸入1，則輸出結(jié)果為2，即；
② 若輸入1，的輸入由變?yōu)?/span>，則輸出比原來大2，即
+2
③ 若輸入，的輸入由變?yōu)?/span>，則輸出結(jié)果為原來的3倍，即
試回答下列問題：
（1）若J1輸入2，J2輸入3，則輸出的結(jié)果為多少？
（2）若J1輸入1，J2輸入，則輸出的結(jié)果為多少？
（3）由C能輸出多少個(gè)不同的兩位數(shù)？
解：
（1）由
則
（2）數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列
其輸出結(jié)果為
（3）是關(guān)于的等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比3
當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)組成了以10為首項(xiàng)，98為末項(xiàng)的偶數(shù)數(shù)列共45項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，所表示的兩位數(shù)已在上述數(shù)列中
綜上，由C能輸出45個(gè)不同的兩位數(shù)。
【模擬試題】
一、選擇題。
1. 無窮數(shù)列為等比數(shù)列的充要條件是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列敘述中正確的是（ ）
A.等比數(shù)列的首項(xiàng)不能為零，但公比可以為零
B.等比數(shù)列的公比q＞0時(shí)，是遞增數(shù)列
C.若數(shù)列{an}為常數(shù)列，則此數(shù)列為等比數(shù)列
D.已知等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an= （－2）n，則它的公比q=－2
3. 一個(gè)等比數(shù)列的第三、第四項(xiàng)分別是4和8，那么它的第一、第五項(xiàng)分別是（ ）
A. 2，12 B. 1，12 C. 2，16 D. 1，16
4. 已知{an}是等比數(shù)列，則在下列數(shù)列①{}②{c－an}，c為常數(shù) ③{an2} ④{a2n}⑤{an+an－1} ⑥{lgan}中，成等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
5. 已知數(shù)列a，a（a－1），a（1－a）2，…是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a滿足（ ）
A.a≠1 B.a≠1或a≠0 C.a≠0 D.a≠1且a≠0
6. 某林場計(jì)劃第一年造林a畝，以后每年比前一年多造林20%，那么第五年造林的畝數(shù)是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在8和5832之間插入5個(gè)實(shí)數(shù)，使它們構(gòu)成以8為首項(xiàng)的等比數(shù)列，則此數(shù)列的第5項(xiàng)是（ ）
A. 1168 B. 846 C. 832 D. 648
8. ，則數(shù)列a，b，c（ ）
A. 是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列 B. 是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列
C. 是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 D. 既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列
9. 等比數(shù)列，若，那么這個(gè)等比數(shù)列的公比等于（ ）
A. B. 2 C. D.
二、填空題。
10. 在等比數(shù)列中，已知首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公比為，則項(xiàng)數(shù)____________。
11. 已知數(shù)列{an}中，a1=2，=（n∈N*），則數(shù)列{an}的第20項(xiàng)a20=__________.
12. 已知五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則________，________，________或________，________，________。
13. 已知等比數(shù)列{an}中，a3=－4，a6=54，則a9=__________.
三、解答題。
14. 有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求這四個(gè)數(shù)。
15. 在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，已知a1=b1=1，a2=b2≠1，a8=b3.
（1）求數(shù)列{an}的公差和數(shù)列{bn}的公比.
（2）是否存在常數(shù)x、y，使得對(duì)于一切正整數(shù)n，都有an=logxbn+y成立?若存在，求出x和y；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【試題答案】
一、
1. C 2.D 3. D 4.B 5.D 6. B 7. D 8. A 9. D
二、
10. 4
11. 220
12.
13. －729
三、
14. 設(shè)四個(gè)數(shù)依次為
依題意有
由<2>得：代入<1>
整理得：
解得：
從而
故這四個(gè)數(shù)為0，4，8，6或15，9，3，1。
15. 解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，
則或
（2）假設(shè)存在x、y，使得an=logxbn+y成立（n∈N*），
即1+（n－1）×5=logx6n－1+y，
所以5n－4=（n－1）logx6+y，
（5－logx6）n－（4+y－logx6）=0對(duì)一切正整數(shù)n都成立.
所以
即存在常數(shù)x=，y=1，使得對(duì)于一切正整數(shù)n，都有an=logxbn+y成立.
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