勾股定理是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一。也許在數(shù)學(xué)中還找不到這樣一個(gè)定理，其證明方法之多能夠超過勾股定理。它有四百多種證明！盧米斯（Loomis）在他的《畢達(dá)哥拉斯定理》一書的第二版中，收集了這個(gè)定理的37O種證明并對它們進(jìn)行了分類。
關(guān)于這個(gè)定理，雖然號(hào)稱畢達(dá)哥拉斯定理，但人們在遺留下來的古希臘手稿或譯文中并沒有找到畢達(dá)哥拉斯本人及其學(xué)派的有關(guān)證明，所以人們只能對他可能用的方法進(jìn)行一些揣測。有據(jù)可查的最早證明見于歐幾里得的《幾何原本》（公元前3世紀(jì)）之中。歐幾里得用幾何的方法，作出了一個(gè)巧妙的證明，有興趣的讀者不妨查閱一下。
中國古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進(jìn)行證明的，是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合的方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長得到正方形ABDE是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化簡后便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，極富創(chuàng)新意識(shí)。他用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)來證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性，又具直觀性，為中國古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合、互不可分的獨(dú)特風(fēng)格樹立了一個(gè)典范。以后的數(shù)學(xué)家大多繼承了這一風(fēng)格并且有所發(fā)展。
印度的數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家婆什迦羅，也給出了與趙爽相同的幾何圖形。但是婆什迦羅在畫出這個(gè)圖形之后，并沒有進(jìn)一步解釋和證明，只是說：“正好！”婆什迦羅還給出了這個(gè)定理的另外一個(gè)證明，即畫出斜邊上的高，由圖中給出的兩個(gè)相似三角形，我們有
c/b=b/m和c/a=a/n
即
cm=b2和cn=a2
相加便得：
a 2 +b2=c(m+n)=c2
中國的數(shù)學(xué)家劉徽在證明勾股定理時(shí)也是用的以形證數(shù)的方法，只是具體圖形的分合移補(bǔ)略有不同而已。劉徽對這組公式進(jìn)行了嚴(yán)格的論證。這是迄今為止用于勾股數(shù)的最完美的表達(dá)形式之一。
漢朝的數(shù)學(xué)家趙君卿，在注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)，附了一個(gè)圖來證明勾股定理。這個(gè)證明是四百多種勾股定理的說明中最簡單和最巧妙的。您能想出趙老先生是怎樣證明這個(gè)定理的嗎？
中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨(dú)特的貢獻(xiàn)和地位。尤其是其中體現(xiàn)出來的“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法，更具有科學(xué)創(chuàng)新的重大意義。事實(shí)上，“形數(shù)統(tǒng)一”的思想方法正是數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)極其重要的條件。正如當(dāng)代中國數(shù)學(xué)家吳文俊所說：“在中國的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，數(shù)量關(guān)系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著的......十七世紀(jì)笛卡兒解析幾何的發(fā)明，正是中國這種傳統(tǒng)思想與方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)與繼續(xù)。”
