云南教育·中學(xué)教師2009·6
美國康奈爾大學(xué)Joseph．D．Novak
教授等人于20世紀(jì)60年代最早提出
概念圖這一概念，并將概念圖運用到
教學(xué)中，取得了較好的效果．概念圖
的研究在國外已經(jīng)比較成熟、豐富，
研究內(nèi)容涉及概念圖的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)和
特征、分類及其編制過程、評價標(biāo)準(zhǔn)
等諸多方面．我國現(xiàn)在還處于介紹引
進階段，數(shù)學(xué)教育對概念圖的專題研
究還不多見，本文將從概念圖的內(nèi)
涵，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用概念圖的意義
以及應(yīng)用的注意事項、局限性幾方面
做初步探討．
一、概念圖的界定
概念圖是用來組織與表征知識
的工具．它通常是將有關(guān)某一主題不
同級別的概念或命題置于方框或圓
圈中，再以各種連線將相關(guān)的概念和
命題連接，形成關(guān)于該主題的形象的
概念或命題網(wǎng)絡(luò)(圖1).
概念圖由三部分構(gòu)成：節(jié)點、連
線和連接詞．其中，節(jié)點是置于方框
或圓圈中的概念；連線表示兩個概念
之間的意義聯(lián)系，連線可以沒有方
向，也可以是單向或雙向；連接詞是
置于連線上的兩個概念之間形成命
題的聯(lián)系詞，比如“是”“、包括”“，表
示”等．概念、命題、交叉連接和層級
結(jié)構(gòu)是概念圖的四個圖表特征．在概
念圖中命題是兩個概念之間通過某
個連接詞而形成的意義關(guān)系；交叉連
接是不同領(lǐng)域或分支間概念的連線，
又稱橫向聯(lián)系；層級結(jié)構(gòu)是概念的展
現(xiàn)方式，一般情況下，最概括的概念
置于概念圖的最上層，從屬的概念安
排在下層．概念圖是表示概念之間相
互關(guān)系的空間網(wǎng)絡(luò)知識結(jié)構(gòu)圖．
概念圖在教學(xué)中可以得到廣泛
的應(yīng)用，概念圖的形式?jīng)]有定例，可
根據(jù)需要制成層次狀、放射狀、框圖
狀和羅列狀等．至于概念圖的類型，
根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以有多種分類．
第一，限定條件可分為封閉型概
念圖和開放型概念圖．其中封閉型概
念圖指的是教師先給出隨機排列的
一些概念，要求學(xué)生使用這些全部或
部分概念建構(gòu)概念圖．開放型概念圖
指的是教師給出一個核心概念，要求
學(xué)生圍繞這一概念，聯(lián)系有關(guān)知識、
概念，開放性地構(gòu)圖．
第二，按內(nèi)容可分為點概念圖、
章節(jié)概念圖和主題概念圖．點概念圖
指給出某一知識點，畫出其相關(guān)的概
念圖．比如，零向量、平行向量、相等
向量以及向量間的夾角等概念都是
關(guān)于“向量”這一知識點的相關(guān)概念．
章節(jié)概念圖指在學(xué)習(xí)某一章節(jié)內(nèi)容
后，畫出這一章節(jié)知識的概念圖．每
章后的小結(jié)可看做是未完成的概念
圖，師生對其進行補充、調(diào)整和完善，
再加上連接詞和實例就是章節(jié)概念
圖．主題概念圖指給出某一主題，構(gòu)
建其概念圖．譬如，給出“函數(shù)”這一
主題概念，要將方程、不等式及函數(shù)
等相關(guān)知識引入概念圖，共同構(gòu)成函
數(shù)主題概念圖．
二、重視概念圖的意義
在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效地運用概念
圖，可以收到提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的功
效，在數(shù)學(xué)教學(xué)中對概念圖重視的具
體意義是多方面的．
1.促進學(xué)生進行有意義學(xué)習(xí)
奧蘇貝爾的“先行組織者”策略
主張在呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容本身之前介紹
適當(dāng)相關(guān)的引導(dǎo)性材料，在新學(xué)習(xí)的
知識和舊知識之間建立聯(lián)系，通過同
化和順化過程實現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展．
因為制作概念圖可以將新舊知識的
聯(lián)系清晰地展現(xiàn)出來，能促進學(xué)生的
有意義的學(xué)習(xí)．比如在“函數(shù)定義”一
節(jié)的教學(xué)中，為了加強學(xué)生對關(guān)鍵概
念“函數(shù)”的理解，不妨先引入函數(shù)的
上位概念———映射，并將相關(guān)概念及
其間聯(lián)系繪制成概念圖(圖2)．這樣，
不僅加深了學(xué)生對函數(shù)概念的理解，
還建立了數(shù)學(xué)知識間的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)．
圖2函數(shù)與映射概念圖
2.促進學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)
知結(jié)構(gòu)
數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)習(xí)者頭腦中
的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)知識通過內(nèi)
概念圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
□康玥媛王光明
17云南教育·中學(xué)教師2009·6
ZJ
化在學(xué)習(xí)者的頭腦中所形成的觀念
的內(nèi)容和組織．所謂數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，
就是數(shù)學(xué)學(xué)科知識內(nèi)部的聯(lián)系和規(guī)
律，即數(shù)學(xué)的基本概念、公理、定理、
方法相互滲透而形成的梯級結(jié)構(gòu)和
網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)．孤立、零散的數(shù)學(xué)概念的
教學(xué)不能幫助學(xué)生建立良好的數(shù)學(xué)
認(rèn)知結(jié)構(gòu)，概念圖作為一種有效的能
夠促進概念間知識聯(lián)系、加強概念理
解的教學(xué)工具，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)“好”的
概念圖，能夠在很大程度上幫助學(xué)生
梳理和理清知識間的關(guān)系，防止以偏
概全或有所遺漏，形成一種數(shù)學(xué)概念
和命題的整體性知識網(wǎng)絡(luò)，從而有助
于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．
3.促進學(xué)生主動思考與反思
在制作概念圖的過程中，學(xué)習(xí)者
必須搞清楚哪些是已知概念，哪些是
新概念以及這些概念之間有什么關(guān)
系且相關(guān)到什么程度等問題，然后用
清晰語詞來說明和描述這些關(guān)系．在
數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)運用概念圖，有利于
促使學(xué)習(xí)者主動思考概念之間的區(qū)
別和聯(lián)系．比如，要準(zhǔn)確地繪制出函
數(shù)與映射的概念圖，就促使學(xué)生了解
函數(shù)的上位概念映射、一一映射的意
義，以及一一映射與單射、滿射之間
的區(qū)別和聯(lián)系．這個過程就是學(xué)生主
動思考的過程．同時，教師和學(xué)生的
成長都離不開積極的自我意識和自
我反思．師生要經(jīng)過制作、修改、反
思、再設(shè)計往復(fù)循環(huán)的過程來不斷完
善概念圖．概念圖不僅能夠讓學(xué)習(xí)者
不斷修正、充分發(fā)展自己的知識結(jié)
構(gòu)，而且能夠隨時讓學(xué)生對自己的學(xué)
習(xí)進行自我調(diào)節(jié)和控制，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)
學(xué)學(xué)習(xí)的自我意識、自我監(jiān)控能力．
教師通過學(xué)生繪制的概念圖可以發(fā)
現(xiàn)教學(xué)的薄弱環(huán)節(jié)，反思教學(xué)過程．
三、運用概念圖要注意的事項
概念圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義是十
分重要的，運用概念圖要注意以下幾點：
1.制圖嚴(yán)謹(jǐn)
制圖嚴(yán)謹(jǐn)，就是制作概念圖時，
形式上要滿足概念圖的結(jié)構(gòu)特征，內(nèi)
容上要準(zhǔn)確、精簡．從某種程度上講，
任何概念之間都有聯(lián)系，所以一定要
精選出要連接的概念并慎重考慮連
接詞．嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的一大特
點，用詞力求用詞準(zhǔn)確與精練．另外，
還要避免在概念圖中使用句子，否則
會使人誤認(rèn)為整個概念圖的下級結(jié)
構(gòu)是根據(jù)這一陳述建立的，而不是另
一層概念群．簡言之，在制作概念圖
的過程中，無論是節(jié)點的選擇、概念
間聯(lián)系的建立，還是層次的劃分、連
線方向的確定，都要嚴(yán)謹(jǐn)、慎重．
2.建立概念圖不是目的
制圖嚴(yán)謹(jǐn)并不意味要束縛學(xué)生
的思維，運用概念圖教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生
的發(fā)散思維的過程，然而如果在制圖
過程中過于程序化、教條化則會適得
其反．對于數(shù)學(xué)教學(xué)來說，要鼓勵學(xué)
習(xí)者以數(shù)學(xué)式、圖形、命題等作為節(jié)
點來表征知識，目的在于做到圖形、
符號、抽象知識的相互詮釋以及建立
相關(guān)知識的密切聯(lián)系，就是說建立
“概念圖”不是目的，是為了促進理
解，促使學(xué)生良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的建立．
3“.自主”不等于“放任”
由于個體差異的存在，不同層次
學(xué)生的思維方式、邏輯推理水平各不
相同，個體對概念圖的理解、制作肯
定是各不相同、各有千秋．概念圖是促
進學(xué)生自主學(xué)習(xí)的一個工具，但學(xué)生
自主運用概念圖并不等于教師放任
自流，讓學(xué)生自己絕對獨立地隨意完
成．教師要對學(xué)生的概念圖作業(yè)予以
評價，引導(dǎo)他們構(gòu)建“更好”的概念圖．
四、概念圖運用的局限性
在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于一些抽象、
復(fù)雜的代數(shù)概念，恰當(dāng)運用概念圖可
以達到較好的教學(xué)效果．然而對于一
些幾何知識、函數(shù)圖象的教學(xué)，概念
圖的運用則受到了一些限制．
1．在平面幾何教學(xué)中的局限
在平面幾何的教學(xué)中，要使學(xué)生
更清楚地理解幾何概念，只給出確切
的定義顯然是不夠的，還需要結(jié)合具
體圖示，這就使運用概念圖教學(xué)受到
了限制．比如，要繪制關(guān)于四邊形的
概念圖，如果只作出任意四邊形、平
行四邊形、梯形等節(jié)點，以及“兩組對
邊分別平行”“、有且僅有一組對邊平
行”等連接語和有方向的連線(圖3)，
并不能在學(xué)生頭腦中很快形成清晰
的意象，必須還要畫出具體圖形或?qū)?br>概念置于具體圖形中來輔助教學(xué)(圖
4)．又比如，對于“圓的切線”、“兩圓內(nèi)
切”“、兩圓外切”的教學(xué)，概念圖的教
學(xué)同樣受到了限制．總之，概念圖在
平面幾何教學(xué)中的運用是有局限的．
2.在立體幾何教學(xué)中的局限
在立體幾何中，無論是數(shù)學(xué)概念
還是定理、命題的教學(xué)都會涉及空間
圖形．在立體幾何教學(xué)中運用概念
圖，如果也像制作平面幾何概念圖那
樣添加圖示，會使立體幾何概念圖復(fù)
雜、繁冗．比如，在講到棱柱這一節(jié)
時，要繪制出棱柱、直棱柱、斜棱柱、
正棱柱等相關(guān)概念概念圖，既表明清
晰的概念，又要配以空間圖形，還要
二者的結(jié)合得互不干擾、相得益彰是
比較困難的．
3.在函數(shù)教學(xué)中的局限
函數(shù)的教學(xué)要注重數(shù)形結(jié)合，如
何將函數(shù)圖象以恰當(dāng)?shù)姆绞皆诟拍顖D
中恰當(dāng)?shù)奈恢帽硎境鰜硪簿统闪诉\用
概念圖教學(xué)的一大難題，尤其是對于
像二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等章
節(jié)，運用概念圖會受到一定的限制．
總之，概念圖教學(xué)是重要的，要
予以重視，但不要對其頂禮膜拜，作
為提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的萬金油，而要
做到靈活、有效和恰當(dāng)運用．
（摘自《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2007.4）
教學(xué)方圓
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