洛倫茲變換
洛倫茲變換（Lorentz transformation）
由于愛因斯坦提出的假說否定了伽利略變換，因此需要尋找一個(gè)滿足相對論基本原理的變換式。愛因斯坦導(dǎo)出了這個(gè)變換式，一般稱它為洛倫茲變換式。
狹義相對論中關(guān)于不同慣性系之間物理事件時(shí)空坐標(biāo)變換的基本關(guān)系式。設(shè)兩個(gè)慣性系為S系和S′系，它們相應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)軸彼此平行 ，S′系相對于S系沿x方向運(yùn)動 ，速度為v，且當(dāng)t＝t′＝0時(shí)，S′系與S系的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則事件在這兩個(gè)慣性系的時(shí)空坐標(biāo)之間 的洛倫茲變換為 x′＝γ（x－vt），y′＝y，z′＝z，t′＝γ（t－vx／c2），式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c為真空中的光速 。不同慣性系中的物理定律必須在洛倫茲變換下保持形式不變。
在相對論以前，H.A.洛倫茲從存在絕對靜止以太的觀念出發(fā)，考慮物體運(yùn)動發(fā)生收縮的物質(zhì)過程得出洛倫茲變換 。在洛倫茲理論中，變換所引入的量僅僅看作是數(shù)學(xué)上的輔助手段，并不包含相對論的時(shí)空觀。愛因斯坦與洛倫茲不同 ，以觀察到的事實(shí)為依據(jù)，立足于兩條基本原理：相對性原理和光速不變原理，著眼于修改運(yùn)動、時(shí)間、空間等基本概念，重新導(dǎo)出洛倫茲變換，并賦予洛倫茲變換嶄新的物理內(nèi)容 。在狹義相對論中，洛倫茲變換是最基本的關(guān)系式，狹義相對論的運(yùn)動學(xué)結(jié)論和時(shí)空性質(zhì)，如同時(shí)性的相對性、長度收縮、時(shí)間延緩、速度變換公式、相對論多普勒效應(yīng)等都可以從洛倫茲變換中直接得出。
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事實(shí)一：相對性原理。物理定律在所有的慣性系（慣性系就是能讓牛頓第一定律成立的參考系）中都是相同的。也就是說，不同慣性系的物理方程形式是相同的。比如，在低速條件下，牛頓三定律的公式在地球慣性系中是這樣寫的，在太陽慣性系中也是一樣的寫法
事實(shí)二：光速不變。在所有慣性系中，真空中的光速等于恒定值c。光速大小與參考系之間的相對運(yùn)動無關(guān)，也與光源、觀察者的運(yùn)動無關(guān)
現(xiàn)在根據(jù)這兩個(gè)事實(shí)，推導(dǎo)坐標(biāo)的變換式
設(shè)想有兩個(gè)慣性坐標(biāo)系分別叫S系、S'系，S'系的原點(diǎn)O‘相對S系的原點(diǎn)O以速率v沿x軸正方向運(yùn)動。任意一事件在S系、S'系中的時(shí)空坐標(biāo)分別為（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'）。兩慣性系重合時(shí)，分別開始計(jì)時(shí)
若x=0，則x'+vt'=0。這是變換須滿足的一個(gè)必要條件，故猜測任意一事件的坐標(biāo)從S'系到S系的變換為
x=γ(x'+vt') (1)
式中引入了常數(shù)γ，命名為洛倫茲因子
（由于這個(gè)變換是猜測的，顯然需要對其推導(dǎo)出的結(jié)論進(jìn)行實(shí)驗(yàn)以驗(yàn)證其正確性）
在此猜測上，引入相對性原理，即不同慣性系的物理方程的形式應(yīng)相同。故上述事件坐標(biāo)從S系到S'系的變換為
x'=γ(x-vt) (2)
y與y'、z與z'的變換可以直接得出，即
y'=y (3)
z'=z (4)
把（2）代入（1），解t'得
t'=γt+(1-γ^2)x/γv (5)
在上面推導(dǎo)的基礎(chǔ)上，引入光速不變原理，以尋求γ的取值
設(shè)想由重合的原點(diǎn)O（O'）發(fā)出一束沿x軸正方向的光，設(shè)該光束的波前坐標(biāo)為（X，Y，Z，T)、(X'，Y'，Z'，T')。根據(jù)光速不變，有
X=cT (6)
X’=cT' (7)
（1）（2）相乘得
xx'=γ^2( xx'-x'vt+xvt'+v^2*tt') (8)
以波前這一事件作為對象，則（8）寫成
XX'=γ^2(XX'-X'VT+XVT'+V^2*TT') (9)
?。?/span>6）（7）代入（9），化簡得洛倫茲因子
γ=[1-(v/c) ^2]^(-1/2) (10)
（10）代入（5），化簡得
t'=γ(t-vx/c^2) (11)
把（2）、（3）、（4）、（11）放在一起，即S系到S'系的洛倫茲變換
x'=γ(x-vt)，
y'=y，
z'=z，
t'=γ(t-vx/c^2) (12)
根據(jù)相對性原理，由（12）得S'系到S系的洛倫茲變換
x=γ(x'+vt')，
y=y'，
z=z'，
t=γ(t'+vx'/c^2) (13)
下面求洛倫茲變換下的速度變換關(guān)系
考慮分別從S系和S'系觀測一質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動速度。設(shè)在S系和S'系中分別測得的速度為u(j，n，m)和u'(j'，n'，m')
由（12）對t'求導(dǎo)即得 S系到S'系的洛倫茲速度變換
j'=(j-v)/(1-vj/c^2)，
n'=n/[γ(1-vj/c^2)^-1]，
m'=m/[γ(1-vj/c^2)^-1] (14)
根據(jù)相對性原理，由（14）得S'系到S系的洛倫茲速度變換
j=(j'+v)/(1+vj'/c^2)，
n=n'/[γ(1+vj'/c^2)^-1]，
m=m'/[γ(1+vj'/c^2)^-1] (15)
洛倫茲變換結(jié)合動量定理和質(zhì)量守恒定律，可以得出狹義相對論的所有定量結(jié)論。這些結(jié)論得到實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證后，也就說明了狹義相對論的正確性
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經(jīng)典的洛倫茲變換指出：我們將求出相對論的變換公式，這些公式恰好是根據(jù)那個(gè)事件間的間隔不變的要求的。如果我們?yōu)榱吮阌谝院蟮臄⑹隼昧?/span>τ= ict，那么，正如在§1-2里所看到的二事件間的間隔可以認(rèn)為是在四度空間內(nèi)的相對應(yīng)的兩個(gè)世界點(diǎn)間的距離。因此我們可以說，所要求的變換，必須是使所有在四度空間x，y，z，τ內(nèi)的距離不變的變換。但是這些變換僅僅包括坐標(biāo)系統(tǒng)的平移與旋轉(zhuǎn)。其中，我們對于坐標(biāo)軸對自己作平行移動并無興趣，因?yàn)檫@不過是將空間坐標(biāo)的原點(diǎn)移動一下、并將時(shí)間的參考點(diǎn)改變一下而已。所以，所要求的變換，在數(shù)學(xué)上應(yīng)當(dāng)表示為四度坐標(biāo)系統(tǒng)x，y，z，τ的旋轉(zhuǎn)。四度空間內(nèi)的一切旋轉(zhuǎn)，可以分解為六個(gè)分別在六個(gè)平面xy，yz，zx，xτ，τy，τz內(nèi)的旋轉(zhuǎn)（正如在三度空間內(nèi)的一切旋轉(zhuǎn)可以分解為xy，yz，zx三個(gè)平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)一樣）。其中，前三個(gè)旋轉(zhuǎn)僅僅變換空間坐標(biāo)，它們和通常的空間旋轉(zhuǎn)相當(dāng)。我們研究在xτ平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，這時(shí)y與z坐標(biāo)是不變的。令ψ為旋轉(zhuǎn)角，那么，新舊坐標(biāo)的關(guān)系就由以下二式?jīng)Q定：
x = x’conψ –τ’sinψ，τ= x’sinψ +τ’conψ （1）
參見上圖：
我們現(xiàn)在要找出由一個(gè)慣性參考系統(tǒng)K到另一個(gè)慣性參考系統(tǒng)K’的變換公式，K’以速度V沿X軸對K作相對運(yùn)動。在這種情況下，顯然只有空間坐標(biāo)x與時(shí)間坐標(biāo)τ發(fā)生變化。所以這個(gè)變換必須有(1）式的形式?，F(xiàn)在只剩下確定旋轉(zhuǎn)角ψ的問題，而ψ又僅與相對速度V有關(guān)。我們來研究參考系統(tǒng)K’的坐標(biāo)原點(diǎn)在K內(nèi)的運(yùn)動。這時(shí)，x’ = 0，而公式(1)可寫成：
x = –τ’sinψ； τ=τ’conψ。 (2）
相除可得
x/τ= - tanψ (3）
但τ= ict，而 x/t顯然是K’ 對K的速度V。因此，
tanψ = iV/c (4)
由之得
sinψ= (iV/c)/(1-V2/c2)1/2，cosψ=1/(1-V2/c2)1/2 (5）
代入(2)，得：
x = (x’ - iVτ’)/(1-V2/c2)1/2，y = y’，z = z’，
τ= (τ’ + iVx’/c)/(1-V2/c2)1/2 (6）
再將τ= ict，τ’ = ict’代入，最后得
x = (x’ + Vt’)/(1-V2/c2)1/2，y = y’， z = z’，
t = (t’+ Vx’/c2)/(1-V2/c2)1/2 (7)
這就是所要求的變換公式。它們被稱為洛倫茲變換式，是今后討論的基礎(chǔ)。（參見《場論》，Л.Л.朗道、Е.М.栗弗席茲著，任朗、袁炳南譯，人民教育出版社1958年8月第一版，第14—15頁）
正如所知，這一組關(guān)系式就是著名的“洛倫茲變換公式”，也是愛因斯坦狹義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。的確，按照這一組關(guān)系式，只能得出：運(yùn)動系上的時(shí)間坐標(biāo)（r’）和空間坐標(biāo)（t’），在運(yùn)動中會產(chǎn)生“鐘慢尺縮”效應(yīng)
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狹義相對論
special relativity
適用于慣性系，從時(shí)間、空間等基本概念出發(fā)將力學(xué)和電磁學(xué)統(tǒng)一起來的物理理論。1905年由A.愛因斯坦創(chuàng)建 。這個(gè)理論在涉及高速運(yùn)動現(xiàn)象時(shí)，同經(jīng)典物理理論顯示出重要的區(qū)別。
產(chǎn)生 到19世紀(jì)末，經(jīng)典物理理論已經(jīng)相當(dāng)完善，當(dāng)時(shí)物理學(xué)界較為普遍地認(rèn)為物理理論已大功告成，剩下的不過是提高計(jì)算和測量的精度而已。然而某些涉及高速運(yùn)動的物理現(xiàn)象顯示了與經(jīng)典理論的沖突，而且整個(gè)經(jīng)典物理理論顯得很不和諧：①電磁理論按照經(jīng)典的伽利略變換不滿足相對性原理，表明存在絕對靜止的參考系，而探測絕對靜止參考系的種種努力均告失敗。②似乎存在著經(jīng)典力學(xué)無法說明的極限速度。③電子的質(zhì)量依賴于它的速度。在這種形勢下，有見地的物理學(xué)家預(yù)感到物理學(xué)中正孕育著一場深刻的革命。愛因斯坦立足于物理概念要以觀察到的事實(shí)為依據(jù)，而不能以先驗(yàn)的概念強(qiáng)加于客觀事實(shí)，他考察了一些普遍的物理事實(shí)和經(jīng)典物理學(xué)中如運(yùn)動、時(shí)間、空間等基本概念，看出以下兩點(diǎn)具有根本的重要性，并把它們作為建立新理論的基本原理：①狹義相對性原理，不僅力學(xué)實(shí)驗(yàn)，而且電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)也無法確定自身慣性系的運(yùn)動狀態(tài)，也就是說，在一切慣性系中的物理定律都具有相同的形式。②光速不變原理，真空中的光速對不同慣性系的觀察者來說都是c。承認(rèn)這兩條原理，牛頓的絕對時(shí)間、絕對空間觀念必須修改，異地同時(shí)概念只具有相對意義。在此基礎(chǔ)上，愛因斯坦建立了狹義相對論。
內(nèi)容 洛倫茲變換 根據(jù)相對性原理和光速不變原理，可導(dǎo)出兩個(gè)慣性系之間時(shí)空坐標(biāo)之間的洛倫茲變換。當(dāng)兩個(gè)慣性系S和S′相應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)軸彼此平行，S′系相對于S系的運(yùn)動速度v僅在x軸方向上，且當(dāng)t＝t′＝0時(shí)，S′系和S系坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則事件在S系和S′系中時(shí)空坐標(biāo)的洛倫茲變換為
x′＝γ（x－vt），y′＝y，z′＝z，t′＝γ（t－vx／c2）式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c為真空中的光速。洛倫茲變換是狹義相對論中最基本的關(guān)系，狹義相對論的許多新的效應(yīng)和結(jié)論都可從洛倫茲變換中直接得出，它表明時(shí)間和空間具有不可分割的聯(lián)系。當(dāng)速度遠(yuǎn)小于光速 ，即v玞時(shí)，洛倫茲變換退化為伽利略變換，經(jīng)典力學(xué)是相對論力學(xué)的低速近似。
同時(shí)性的相對性 在某個(gè)慣性系中看來異地發(fā)生的兩個(gè)事件是同時(shí)的，那末在相對于這一慣性系運(yùn)動的其他慣性系看來就不是同時(shí)的，因此在狹義相對論中，同時(shí)性概念不再具有絕對的意義，只具有相對的意義。不僅如此，在不同慣性系看來，兩異地事件的時(shí)間順序還可能發(fā)生顛倒；但是具有因果聯(lián)系的兩事件的時(shí)間順序不會發(fā)生顛倒。同時(shí)性的相對性是狹義相對論中非常基本的概念，時(shí)間和空間的許多新特性都與此有關(guān)。
長度收縮 狹義相對論預(yù)言，一根沿其長度方向運(yùn)動速度為v的桿子的長度l比它靜止時(shí)的長度l0要短，
l＝l0
。
長度收縮不是物質(zhì)的動力學(xué)過程，而是屬于空間的性質(zhì)。它是由于測量一根運(yùn)動桿子的長度須同時(shí)測量其兩端，在不同慣性系中，同時(shí)性具有相對性，因而不同慣性系中得出的結(jié)果不同，只具有相對的意義。
時(shí)間延緩 狹義相對論預(yù)言，運(yùn)動時(shí)鐘的時(shí)率比時(shí)鐘靜止時(shí)的時(shí)率要慢。設(shè)在S¢系中靜止的時(shí)鐘測得某地先后發(fā)生兩事件的時(shí)間間隔為Äô，在S系中，這兩個(gè)事件不是發(fā)生在同一地點(diǎn)，須用校準(zhǔn)好的同步鐘測量，測得它們先后發(fā)生的時(shí)間間隔為Ät，Δτ＝Δt
速度變換公式 按照狹義相對論，當(dāng)S′系和S系相應(yīng)坐標(biāo)軸彼此平行，S′系相對于S系的速度v沿x方向，則質(zhì)點(diǎn)相對于S系的速度 u＝｛ux，uy，uz｝和相對于S¢系的速度u'＝｛u'x，u'y，u'z｝之間的變換關(guān)系為
當(dāng)u玞時(shí)，相對論速度變換公式退化為伽利略速度變換公式。
相對論多普勒頻移 設(shè)光源相對靜止時(shí)發(fā)射光的頻率為v0，當(dāng)光源以速度u運(yùn)動時(shí)，接收到光波頻率為v＝0，狹義相對論預(yù)言，
質(zhì)速關(guān)系 狹義相對論預(yù)言，與經(jīng)典力學(xué)不同，物體的質(zhì)量不再是與其運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)的量，它依賴于物體的運(yùn)動速度。運(yùn)動物體速度為v時(shí)的質(zhì)量為
關(guān)于狹義相對論中的質(zhì)量，還存在另一種觀點(diǎn)，認(rèn)為只有一種不變的質(zhì)量，即物體的靜質(zhì)量，無法明確定義運(yùn)動質(zhì)量。兩種觀點(diǎn)對于狹義相對論的基本看法上沒有分歧，只是對質(zhì)量概念的引入上存在分歧。后一種觀點(diǎn)在概念引入的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性上更為可取，而前一種觀點(diǎn)對于某些物理現(xiàn)象，如回旋加速器的加速限制、康普頓效應(yīng)以及光線的引力偏折等，作淺顯說明頗為有效。
質(zhì)能關(guān)系 狹義相對論最重要的預(yù)言是物體的能量E和質(zhì)量m有當(dāng)量關(guān)系，E＝mc2。與物體靜質(zhì)量m0相聯(lián)系的能量E0＝m
能量動量關(guān)系 狹義相對論中動量定義為
極限速度與光子的靜質(zhì)量 真空中的光速c是一個(gè)絕對量，是一切物體運(yùn)動速度的極限，也是一切實(shí)在的物理作用傳遞速度的極限。從質(zhì)速關(guān)系可以看出一切以光速c運(yùn)動的物質(zhì)的靜質(zhì)量必為零，光子的靜質(zhì)量為零。
在狹義相對論中，牛頓定律f＝ma的形式不再成立，它在洛倫茲變換下不能保持形式不變，因而它不滿足相對性原理而必須修改，代替的力學(xué)規(guī)律的形式是f＝dp／dt，式中p為物體的動量。電磁場的麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式f＝q（E＋u×B）在洛倫茲變換下形式保持不變，它們是狹義相對論的電磁規(guī)律。在狹義相對論中，動量守恒、能量守恒定律仍然成立，能量守恒包括了質(zhì)量守恒。
在經(jīng)典物理學(xué)中，物理定律總是表述為把時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)分開來，洛倫茲變換表明時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)應(yīng)作統(tǒng)一處理。H.閔可夫斯基發(fā)展了狹義相對論的形式體系，采用在四
時(shí)空中表述物理定律和公式。這樣的表述，相對論的協(xié)變性質(zhì)表達(dá)得更為明晰，物理定律的形式更為簡潔，許多問題的求解也更為簡便。
意義 狹義相對論經(jīng)受了廣泛的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，所有的實(shí)驗(yàn)都沒有檢測到同狹義相對論有什么不一致的結(jié)果。狹義相對論是基礎(chǔ)牢靠、邏輯結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)和形式完美的物理理論。廣泛應(yīng)用于許多學(xué)科，和量子力學(xué)成為近代物理學(xué)的兩大理論支柱。在現(xiàn)代物理學(xué)中，成為檢驗(yàn)基本粒子相互作用的各種可能形式的試金石，只有符合狹義相對論的那些理論才有考慮的必要，這就嚴(yán)格限制了各種理論成立的可能性。
洛倫茲變換
Lorentz transformation
狹義相對論中關(guān)于不同慣性系之間物理事件時(shí)空坐標(biāo)變換的基本關(guān)系式。設(shè)兩個(gè)慣性系為S系和S′系，它們相應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)軸彼此平行，S′系相對于S系沿x方向運(yùn)動，速度為v，且當(dāng)t＝t′＝0時(shí)，S′系與S系的坐標(biāo)原點(diǎn)重合，則事件在這兩個(gè)慣性系的時(shí)空坐標(biāo)之間的洛倫茲變換為x′＝γ（x－vt），y′＝y，z′＝z，t′＝γ（t－vx／c2），式中γ＝（1－v2／c2）-1/2；c為真空中的光速 。不同慣性系中的物理定律必須在洛倫茲變換下保持形式不變。
在相對論以前，H.A.洛倫茲從存在絕對靜止以太的觀念出發(fā)，考慮物體運(yùn)動發(fā)生收縮的物質(zhì)過程得出洛倫茲變換。在洛倫茲理論中，變換所引入的量僅僅看作是數(shù)學(xué)上的輔助手段，并不包含相對論的時(shí)空觀。愛因斯坦與洛倫茲不同，以觀察到的事實(shí)為依據(jù)，立足于兩條基本原理：相對性原理和光速不變原理，著眼于修改運(yùn)動、時(shí)間、空間等基本概念，重新導(dǎo)出洛倫茲變換，并賦予洛倫茲變換嶄新的物理內(nèi)容。在狹義相對論中，洛倫茲變換是最基本的關(guān)系式，狹義相對論的運(yùn)動學(xué)結(jié)論和時(shí)空性質(zhì)，如同時(shí)性的相對性、長度收縮、時(shí)間延緩、速度變換公式、相對論多普勒效應(yīng)等都可以從洛倫茲變換中直接得出
質(zhì)能關(guān)系
mass-energy relation
質(zhì)量與能量之間的當(dāng)量關(guān)系。在經(jīng)典物理學(xué)中，質(zhì)量和能量是兩個(gè)完全不同的概念，它們之間沒有確定的當(dāng)量關(guān)系，一定質(zhì)量的物體可以具有不同的能量；能量概念也比較局限，力學(xué)中有動能、勢能等。在狹義相對論中，能量概念有了推廣，質(zhì)量和能量有確定的當(dāng)量關(guān)系
，物體的質(zhì)量為m
，則相應(yīng)的能量為 E=mc2，相應(yīng)于能量為E的物體質(zhì)量為 E/c2
；特別是靜止的物體，靜質(zhì)量為m0，具有的能量為E0=m
，這一減小量則明顯地表現(xiàn)出來。在裂變反應(yīng)和聚變反應(yīng)中，系統(tǒng)的靜質(zhì)量可觀地改變，反應(yīng)釋放巨大能量。質(zhì)能關(guān)系是核能釋放的理論基礎(chǔ)。
廣義相對論
general relativity
將僅適用于慣性系的狹義相對論推廣到適用于任意參考系，且包括引力，闡明時(shí)間、空間性質(zhì)與物質(zhì)分布及運(yùn)動之間相互依賴關(guān)系的相對性理論。它是A.愛因斯坦1915年對其建立作出杰出貢獻(xiàn)的物理領(lǐng)域。
狹義相對論將力學(xué)和電磁學(xué)統(tǒng)一起來，將時(shí)間和空間統(tǒng)一起來，帶來了時(shí)空觀念的根本變革。在狹義相對論中，速度只具有相對的意義，所有的慣性系都是平權(quán)的，沒有那一個(gè)慣性系更優(yōu)越，從而排除了慣性系的絕對運(yùn)動；另一方面，物理作用傳播的極限速度是真空中的光速c，從而在整個(gè)物理學(xué)中排除了超距作用觀念。然而也正是在這兩方面狹義相對論尚存在理論上的疑難，有待于進(jìn)一步發(fā)展。其一，引力現(xiàn)象是物理學(xué)研究的廣泛課題，而牛頓萬有引力定律的表述是超距作用的，它與狹義相對論相抵觸，狹義相對論不能處理涉及引力的問題，需要將引力問題納入而發(fā)展相對論的引力論；其二，狹義相對論在否定絕對運(yùn)動上還不夠徹底，它否定了一個(gè)絕對靜止的慣性系，但卻肯定了所有慣性系比起其他參考系更優(yōu)越的地位，而且在究竟什么是慣性系的問題上還存在邏輯循環(huán)。結(jié)果造成已知物理定律卻不知定律賴以成立的參考系的困難局面，整個(gè)物理學(xué)猶如建筑在沙灘上。
愛因斯坦思考了這些問題，發(fā)展為廣義相對論。其突破口是早在16世紀(jì)伽利略已經(jīng)知道、而長期不能解釋且未加重視的事實(shí)：物體的重力加速度為恒量，它是物體的引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量相等的結(jié)果，以后又被厄缶實(shí)驗(yàn)等精確證實(shí)。愛因斯坦從這一事實(shí)引出引力場與慣性力場等效的等效原理。根據(jù)等效原理，物體在無引力的非慣性系中的運(yùn)動與它在存在引力的慣性系中的運(yùn)動等效，慣性系與非慣性系沒有原則的區(qū)別，它們都同樣好地可用來描述物體的運(yùn)動，沒有哪一個(gè)更優(yōu)越。愛因斯坦將狹義相對性原理推廣為廣義相對性原理：一切參考系都是平權(quán)的，物理定律應(yīng)該在廣義的時(shí)空坐標(biāo)變換下形式不變。它是廣義相對論的另一條基本原理。另一方面，引力作用可以用加速系來抵消，在這一加速系中引力作用不復(fù)存在，例如在重力場中自由下落的參考系中，物體因“失重”而消除了重力。廣義相對論把這一自由下落的參考系稱為局部慣性系。于是前述慣性系概念上的邏輯循環(huán)不復(fù)存在，而且在此局部落體系中的物理定律就是狹義相對論的物理定律。知道了局部慣性系內(nèi)的物理定律，可通過廣義的時(shí)空坐標(biāo)變換獲得任意參考系內(nèi)的物理定律。
按照廣義相對論，在局部慣性系內(nèi)，不存在引力，一維時(shí)間和三維空間組成四維平坦的歐幾里得空間；在任意參考系內(nèi)，存在引力，引力引起時(shí)空彎曲，因而時(shí)空是四維彎曲的非歐黎曼空間。愛因斯坦找到了物質(zhì)分布影響時(shí)空幾何的引力場方程。時(shí)間空間的彎曲結(jié)構(gòu)取決于物質(zhì)能量密度、動量密度在時(shí)間空間中的分布，而時(shí)間空間的彎曲結(jié)構(gòu)又反過來決定物體的運(yùn)動軌道。在引力不強(qiáng)、時(shí)間空間彎曲很小情況下，廣義相對論的預(yù)言同牛頓萬有引力定律和牛頓運(yùn)動定律的預(yù)言趨于一致；而引力較強(qiáng)、時(shí)間空間彎曲較大情況下，兩者有區(qū)別。廣義相對論提出以來，預(yù)言了水星近日點(diǎn)反常進(jìn)動、光頻引力紅移、光線引力偏折以及雷達(dá)回波延遲，都被天文觀測或?qū)嶒?yàn)所證實(shí)。近年來，關(guān)于脈沖雙星的觀測也提供了有關(guān)廣義相對論預(yù)言存在引力波的有力證據(jù)。
廣義相對論由于它被令人驚嘆地證實(shí)以及其理論上的優(yōu)美，很快得到人們的承認(rèn)和贊賞。然而由于牛頓引力理論對于絕大部分引力現(xiàn)象已經(jīng)足夠精確，廣義相對論只提供了一個(gè)極小的修正，人們在實(shí)用上并不需要它，因此，廣義相對論建立以后的半個(gè)世紀(jì)，并沒有受到充分重視，也沒有得到迅速發(fā)展。到20世紀(jì)60年代，情況發(fā)生變化，發(fā)現(xiàn)強(qiáng)引力天體（中子星）和3K宇宙背景輻射，使廣義相對論的研究蓬勃發(fā)展起來。廣義相對論對于研究天體結(jié)構(gòu)和演化以及宇宙的結(jié)構(gòu)和演化具有重要意義。中子星的形成和結(jié)構(gòu)、黑洞物理和黑洞探測、引力輻射理論和引力波探測、大爆炸宇宙學(xué)、量子引力以及大尺度時(shí)空的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等問題的研究正在深入，廣義相對論成為物理研究的重要理論基礎(chǔ)。
等效原理
equivalence，principle of
建立在引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量相等實(shí)驗(yàn)事實(shí)（見厄缶實(shí)驗(yàn)）之上的基本原理。廣義相對論的基礎(chǔ)之一。引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量嚴(yán)格相等的直接推論是任何物體的引力加速度是相等的，它表明引力場區(qū)別于如電場、磁場等其他類型的力場，引力場與慣性力場等效。A.愛因斯坦用升降機(jī)的假想實(shí)驗(yàn)來說明。在這個(gè)密閉的升降機(jī)內(nèi)的觀察者所做的物理實(shí)驗(yàn)都無法斷定他所在的參考系究竟是有重力作用的慣性系，還是并無重力而只是相對于某個(gè)慣性系以加速度 g上升的非慣性系，在這兩種情形，他測得物體釋放后自由下落的加速度都是 g，這表明物體在重力場中的運(yùn)動等效于物體在非慣性系中的運(yùn)動，或者說引力場與慣性力場等效。由于引力與重力不同，空間各點(diǎn)的引力作用不等，引力場與慣性力場只是在局部的小區(qū)域內(nèi)等效。愛因斯坦在等效原理和廣義相對性原理的基礎(chǔ)上建立了廣義相對論
厄缶實(shí)驗(yàn)
Etvs experiment
精確檢驗(yàn)物體的引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量相等的著名實(shí)驗(yàn)。引力質(zhì)量取決于物體的引力性質(zhì)，出現(xiàn)在牛頓萬有引力定律中；慣性質(zhì)量描述物體的慣性，出現(xiàn)在牛頓第二定律中。早在I.牛頓以前，伽利略已經(jīng)知道任何物體的重力加速度值相同，這是物體的引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量相等的結(jié)果。牛頓曾測量不同物體單擺的周期以檢驗(yàn)兩者是否相等，得到在10-3精度范圍內(nèi)兩者相等。1890年L.von厄缶持續(xù)做了25年的實(shí)驗(yàn)，證明在10-8精度范圍內(nèi)兩者相等。厄缶將兩個(gè)不同質(zhì)料、質(zhì)量相等的球懸系在扭秤的兩臂上使扭秤平衡，并指向東西。物體受地心引力和地球自轉(zhuǎn)的慣性離心力作用。若物體的引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量不等，引力和慣性離心力之和將產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，此轉(zhuǎn)矩可被懸絲的扭力矩所平衡。將整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置轉(zhuǎn)180°，使兩球的位置互換，轉(zhuǎn)矩取向相反，而扭力矩不變，則應(yīng)觀察到扭秤偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度。實(shí)驗(yàn)在10-8精度內(nèi)未觀察到這一效應(yīng)。類似的實(shí)驗(yàn)以后又多次為其他人更精確地做過，精度提高到9×10-13，表明引力質(zhì)量和慣性質(zhì)量精確相等。
引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量相等，在牛頓力學(xué)中是一種巧合，沒有重要意義；A.愛因斯坦挖掘其深刻的含義，提出等效原理，作為廣義相對論的基礎(chǔ)之一。
水星近日點(diǎn)反常進(jìn)動
advance of Mercury's perihelicn，problem of
依據(jù)牛頓萬有引力定律計(jì)算所得的水星近日點(diǎn)進(jìn)動理論值與實(shí)際觀測所得到的觀測值之間的差異所產(chǎn)生的分歧問題。1859年，法國天文學(xué)家U.J.J.勒威耶根據(jù)多次觀測發(fā)現(xiàn)所得到的水星近日點(diǎn)進(jìn)動值要比按照牛頓萬有引力定律計(jì)算所得的理論值每世紀(jì)快38秒出現(xiàn)水星近日點(diǎn)反常進(jìn)動他的這一發(fā)現(xiàn)引起了眾多天文學(xué)家的注意很多人對這一問題進(jìn)行了研究和修正。進(jìn)一步測定水星近日點(diǎn)進(jìn)動的觀測值與理論值之差為每世紀(jì)43秒，于是有人懷疑牛頓萬有引力定律是否普遍適用。但長期得不到完滿的解釋。直至1915年A.愛因斯坦根據(jù)他創(chuàng)立的廣義相對論原理對水星近日點(diǎn)的進(jìn)動進(jìn)行了計(jì)算他的計(jì)算值與按照牛頓萬有引力定律計(jì)算得到的值之差值為每世紀(jì)43″03。這個(gè)值與觀測值十分接近，從而成功地解釋了水星近日點(diǎn)反常進(jìn)動。
進(jìn)動值的分歧問題，成為天文學(xué)對廣義相對論的最有力的驗(yàn)證之一。影響水星近日點(diǎn)進(jìn)動的因素很多，任何微小的變動都會影響到對廣義相對論的驗(yàn)證，因此，這個(gè)問題尚需要繼續(xù)研究。
光線引力偏折
light in gravitational field，deflection of
廣義相對論的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)之一。根據(jù)廣義相對論，光和物體的運(yùn)動一樣，受到引力場的作用，會偏向引力源。A.愛因斯坦1915年計(jì)算了星光從太陽近旁通過時(shí)的偏折角為1.75″。雖然把牛頓力學(xué)用于光子，光線也會偏折，但偏折只及相對論預(yù)言值的一半。
雷達(dá)回波延遲
radar echoes，delay of
廣義相對論實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)之一 。1964年I.I.夏皮羅提出一項(xiàng)新的廣義相對論檢驗(yàn)，利用雷達(dá)發(fā)射一束電磁波脈沖，經(jīng)其他行星反射回地球被接收。當(dāng)來回的路徑遠(yuǎn)離太陽，太陽的影響可忽略不計(jì)；當(dāng)來回路徑經(jīng)過太陽近旁，太陽引力場造成傳播時(shí)間加長，此稱為雷達(dá)回波延遲。這一觀測也可以以人造天體作為雷達(dá)信號的反射靶進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。觀測的結(jié)果和理論計(jì)算之間在1％的精度內(nèi)符合
四維時(shí)空
four dimensional spacetime
三維空間加一維時(shí)間構(gòu)成的統(tǒng)一體。在經(jīng)典物理學(xué)中，時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)之間劃出了一條鮮明的界線，時(shí)間坐標(biāo)總是在其本身中變換，這是因?yàn)榻?jīng)典力學(xué)中時(shí)間間隔被看成是不變的、絕對的。洛倫茲變換表明時(shí)間坐標(biāo)和空間坐標(biāo)總是合在一起實(shí)行變換的，因此在狹義相對論中，時(shí)間和空間不再是絕對的和彼此獨(dú)立的東西，而是緊密聯(lián)系在一起而不可分割了。1907年H.閔可夫斯基在形式上發(fā)展了狹義相對論，采用空間坐標(biāo)x、y、z和時(shí)間坐標(biāo)ict（其中i為虛數(shù)，c為真空光速）的虛時(shí)四維時(shí)空，洛倫茲變換相當(dāng)于四維時(shí)空中的旋轉(zhuǎn)，相對論的協(xié)變性質(zhì)表達(dá)得更為明晰，物理定律的形式更為簡潔，許多問題的求解也更為簡便。在廣義相對論中，用四維形式表示物理定律更是必需的，但不是用閔可夫斯基的虛時(shí)四維時(shí)空。
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洛倫茲變換(轉(zhuǎn)）
在推導(dǎo)洛倫茲坐標(biāo)變換之前，作為一條公設(shè)，認(rèn)為時(shí)間和空間都是均勻的，因此，它們之間的變換關(guān)系必將是線性關(guān)系。如果方程式不是線性的，那么，對兩個(gè)特定事件的空間間隔與時(shí)間間隔的測量結(jié)果就會出現(xiàn)與該間隔在坐標(biāo)系中的位置與時(shí)間發(fā)生關(guān)系，從而破壞了時(shí)空的均勻性。例如，設(shè)x'與x的平方有關(guān)，即 x' = axx ，于是兩個(gè)點(diǎn)在 K' 系中的距離和它們在K系中的坐標(biāo)之間的關(guān)系將由x'2-x'1 = a(x2x2-x1x1) 表示?，F(xiàn)在我們設(shè)K系中有一單位長度的棒，其端點(diǎn)落在 x2 =
x = +vt x' （1）
x' = x - vt （2）
而寫出如下變換：
x = k（x' + vt） （3）
x' = k'（x - vt） （4）
根據(jù)狹義相對論的相對性原理，k和k'是等價(jià)的，上面兩個(gè)等式的形式就應(yīng)該相同（除正負(fù)號外），所以兩式中的比例常數(shù)k和k'應(yīng)該相等，即有
k = k'
這樣一來
x' = k（x - vt） （5）
為了獲得確定的變化法則，必須求出常數(shù)k 。根據(jù)光速不變原理，假設(shè)光信號在O與O'重合的瞬時(shí)（t = t' = 0）就由重合點(diǎn)沿Ox軸前進(jìn)，那么在任一瞬時(shí) t （由坐標(biāo)K'度量則是t'），光信號到達(dá)點(diǎn)的坐標(biāo)對兩個(gè)坐標(biāo)系來說，分別是
x = ct ， x' =
ct' (6 )
把（3）和（5）相乘，再把式（6）代入，得
xx' = kk(x - vt)(x' + vt' ) (7)
cctt' = kktt'(c-v)(c+v) (8)
由此求得：
k = c /[cc-vv]1/2 = 1 / [1- vv/cc]1/2
k值求得后，（3）（5）兩式即可寫成
x = (x' +vt' ) / [1- vv/cc]1/2 （9）
x' = (x-vt) / [1- vv/cc]1/2 （10）
從這兩個(gè)式子中消去 x 或 x' ，便得到關(guān)于時(shí)間的變換式。消去 x' 得
x [1- vv/cc]1/2 = (x- vt) / [1- vv/cc]1/2 + vt'
由此求得 t' 如下：
t' = ( t- vx/cc ) / [1- vv/cc]1/2
同樣，消去 x 后求得 t 如下：
t = ( t' - vx'/cc) / [1- vv/cc]1/2
洛倫茲變換(轉(zhuǎn)）
| 在推導(dǎo)洛倫茲坐標(biāo)變換之前，作為一條公設(shè)，認(rèn)為時(shí)間和空間都是均勻的，因此，它們之間的變換關(guān)系必將是線性關(guān)系。如果方程式不是線性的，那么，對兩個(gè)特定事件的空間間隔與時(shí)間間隔的測量結(jié)果就會出現(xiàn)與該間隔在坐標(biāo)系中的位置與時(shí)間發(fā)生關(guān)系，從而破壞了時(shí)空的均勻 性。例如，設(shè)x'與x的平方有關(guān)，即 x' = axx ，于是兩個(gè)點(diǎn)在 K' 系中的距離和它們在K系中的坐標(biāo)之間的關(guān)系將由x'2-x'1 = a(x2x2-x1x1) 表示。現(xiàn)在我們設(shè)K系中有一單位長度的棒，其端點(diǎn)落在 x2 = |
