丘成桐（美國哈佛大學(xué)）
（在中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院的演講2005年11月12日）
遠(yuǎn)古時代
在古代的社會，人類已經(jīng)懂得丈量土地，觀察星體的運(yùn)行，和感嘆時間的消逝，因此產(chǎn)生了時空的概念。
中國哲學(xué)家
易經(jīng)：“太極生兩儀，兩儀生四象。”
莊子：“天地雖大，其化均也。”
孔子：“逝者如斯夫，不舍晝夜。”
屈原：“日月安屬，列星安陳？”
李白：“夫天地者，萬物之逆旅，光陰者，百代之過客。”
可見古人不斷地在探討時空。我現(xiàn)在從幾何學(xué)的觀點(diǎn)來看時空的歷史。
希臘哲學(xué)家
柏拉圖和古希臘諸賢視幾何為大自然的一部份，幾何成為描述大自然的主要工具。但是他們認(rèn)為空間是靜止不動，平坦而無起伏的。這種見解持續(xù)了二十多個世紀(jì)，大致與幾何認(rèn)知上的局限性有關(guān)。
希臘哲學(xué)家崇尚推理，希望從數(shù)學(xué)的美中找到自然界的真理，所以他們對時空的了解比任何古文化都來得先進(jìn)。
Elie Cartan(1869-1951，偉大的幾何學(xué)家)
“對比其它科學(xué)而言，數(shù)學(xué)的發(fā)展更依賴于一層復(fù)一層的抽象。為了避免犯錯，數(shù)學(xué)家必須抓住問題和對象的精義，并把它們篩選出來。”
“正確的推理無疑非常要緊，但更關(guān)鍵的是找到骨節(jié)眼上的問題。必須具有正確的直覺，才能夠選對最根本的問題。解決這些問題，對科學(xué)的整體發(fā)展，具有舉足輕重的作用。”
幾何學(xué)
基本的問題來自大自然，并由問題本身的和諧典麗所啟迪。
希臘幾何學(xué)家最先利用公理化來處理數(shù)學(xué)。
只有引入一系列公理，我們才能對大自然的規(guī)律有清晰的了解，并為其奧妙而贊嘆。
歐幾里得幾何學(xué)
歐幾里得（公元前330年-前275年）系統(tǒng)地研究了有關(guān)直線、平面、圓和球的幾何性質(zhì)。
最基本的定理：
1. 畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）；
2. 任一三角形的內(nèi)角和皆為180?。
歐氏幾何對后世的影響
后人稱頌畢達(dá)哥拉斯定理，說它是平面幾何中最重要的定理。迄今為止，在大部分有意義的幾何空間中，都要求這條定理在無窮小的情形下成立。
三角形內(nèi)角和為180?，本質(zhì)上是說平面是平坦不具有曲率的。Legendre首先指出它等價于下面所給出的命題。
歐氏第五公理
一直線與其它二直線相交后，假設(shè)其同側(cè)二內(nèi)角和少于二直角，則沿此側(cè)面延長此二直線，它們必會在某處相交。
第五公理證明的失敗
下面是一些嘗試用歐氏其它公理去證明第五公理的人：
Ptolemy (90-168)，Prolos (410-485)，Nasir al din al Tusi(1201-1274)，Levi ben Gerson (1288-1344)，Cataldi (1548-1626)，GiovanniAlfonso Borelli (1608-1679)，Giordano Vitale (1633-1711)，John Wallis(1616-1703)，Gerolamo Saccheri (1667-1733)，Johann Heinrich Lambert(1728-1777)，Adrien Marie Legendre (1752-1833)。
雙曲幾何
最后，高斯、Bolyai和羅巴切夫斯基不約而同地發(fā)明了雙曲幾何-曲率為負(fù)常數(shù)的空間。相傳高斯曾測量在Harz山脈中由Inselberg、Brocken和Hoher三地形成的三角形，看看其內(nèi)角和是否等于180?。
Klein模型和非歐幾何的產(chǎn)生
F. Klein創(chuàng)造了一種解析的方法，通過賦予在單位圓盤上任意兩點(diǎn)的某種距離，給出雙曲幾何的一個模型，后人稱之為Klein模型。至此，人們終于證明了歐氏第五公理不可以由其它公理推導(dǎo)出來。
雙曲幾何給出第一個抽象而與歐氏不一樣的空間，影響到黎曼的工作。
陳氏類
高斯發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和減去180?后與曲率和三角形面積的乘積相等，高斯把這個性質(zhì)推廣成為一條有關(guān)曲率的積分公式。高斯-Bonnet公式在現(xiàn)代幾何和拓?fù)鋵W(xué)中非常重要。我的老師陳省身先生將它推廣到高維空間，而最后發(fā)展成陳氏類，這個發(fā)展為近代時空創(chuàng)造了宏觀的看法。
在近代的弦學(xué)中，時空的質(zhì)子數(shù)目與陳氏類有關(guān)。
微積分之始
如果幾何的對象僅僅是平面和球面，那便太局限了。當(dāng)人們了解到如何利用無窮近似的方法去構(gòu)造彎曲的幾何對象時，情況便大大不同了。阿基米德（公元前287-前212）首先用這種方法來計算界于拋物線和直線之間的區(qū)域的面積。這種做法為多個世紀(jì)后，牛頓和萊布尼茲發(fā)明微積分埋下種子。
事實上，阿基米德幾乎已經(jīng)創(chuàng)立了微積分，但是當(dāng)時的物理和天文背景尚未成熟，所以沒有迫切的需要去建立這項巨大的工作。
圓錐截面理論
Apollonius提出圓錐截面的理論，Hipparchus和托勒密利用了這套理論來發(fā)展行星運(yùn)動的本輪模型。雖然這個模型并不正確，但圓錐曲面的理論卻對后世開普勒著名的行星運(yùn)動定律具有深遠(yuǎn)的影響。我們必須注意到，是Hipparchus首先利用幾何學(xué)及三角學(xué)，把天文學(xué)從一大堆雜亂無章的數(shù)據(jù)資料，轉(zhuǎn)化成一門精確的觀測科學(xué)，而托勒密則創(chuàng)建了太陽系的地心說。
開普勒定律
開普勒和伽利略均對行星運(yùn)動的資料深深著迷。利用Brahe多年來收集的大量精確資料,并通過巨細(xì)無遺的數(shù)據(jù)分析，開普勒終于算出行星的軌道是橢圓的。
Brahe的觀測是以地球為參考點(diǎn)的一大堆數(shù)字。開普勒為了要將它們改換成為以太陽為參考中心的運(yùn)動軌跡，長年累月地用到算術(shù)及三角。
解析幾何
要等到費(fèi)馬（1629）和笛卡兒（1637）引入坐標(biāo)系統(tǒng)后，人們才能用代數(shù)的方式來表示運(yùn)動軌跡。
笛卡兒（1596-1650）：“我已鐵定了心，揚(yáng)棄抽象的幾何學(xué)，它探討的問題，除了能夠鍛煉頭腦外，就沒有什么用處。代而之我要研究那些以解釋大自然現(xiàn)象為目標(biāo)的幾何。”
由此可見，笛卡兒的解析幾何研究受到物理學(xué)的影響。
解析幾何的應(yīng)用
在笛卡兒的坐標(biāo)系統(tǒng)中，直線是由線性函數(shù)定義的，而圓錐截面則由二次函數(shù)決定。利用這種代數(shù)的方式，開普勒的行星運(yùn)動定律就變得一清二楚了。
坐標(biāo)系統(tǒng)
開普勒第二定律
笛卡兒發(fā)明了解析幾何，可說是幾何學(xué)上的一大突破。他引進(jìn)坐標(biāo)系統(tǒng)來描述幾何圖形，幾何和代數(shù)因此結(jié)合起來了。坐標(biāo)系統(tǒng)讓我們繞過歐氏公理來研究幾何圖形，它也領(lǐng)導(dǎo)我們進(jìn)入了高維空間。
微積分
萊布尼茲(1646-1716)和牛頓(1642-1727)各自獨(dú)立地發(fā)明了微積分。
萊布尼茲：“上帝算，天地生。”
萊布尼茲
萊布尼茲的工作既是代數(shù)的也是分析的。他利用圖像的辦法，并引入優(yōu)越的符號，他為微積分創(chuàng)造了一個完整的數(shù)學(xué)架構(gòu)。
萊布尼茲于1677發(fā)表了他的結(jié)果，比牛頓發(fā)明微積分晚了整整十年。但牛頓的工作，只在少數(shù)數(shù)學(xué)家及科學(xué)家中流傳。兩者不同的做法最后導(dǎo)致優(yōu)先權(quán)的大爭辯。
牛頓
利用解析幾何和微積分，牛頓及其他天文學(xué)家對天體的運(yùn)動進(jìn)行了巨細(xì)無遺的計算。天體的運(yùn)動是透過歐氏空間的整體坐標(biāo)系統(tǒng)來描述的，在那里空間是靜止的，而時間則獨(dú)立于空間之外。
太陽系
牛頓力學(xué)
物理的真實性屬于經(jīng)驗的范疇。科學(xué)的目的是尋找這種真實性背后的規(guī)律及合理性。
牛頓把大量的物理現(xiàn)象用同一個理論框架統(tǒng)一起來。牛頓定律是有關(guān)運(yùn)動的。但運(yùn)動在哪里進(jìn)行呢？那便是空間。
絕對空間
牛頓宣稱他的時空是絕對的、靜止的。它為宇宙提供一個剛性的、永恒不變的舞臺。
牛頓：“對內(nèi)對外而言，絕對空間都是相似及不動的。”
牛頓利用一個旋轉(zhuǎn)水桶的實驗，來說明絕對空間的存在性，而慣性坐標(biāo)便是在絕對空間中靜止的坐標(biāo)。
微積分的豐收時期
萊布尼茲對牛頓絕對空間的概念提出異議。
微積分和牛頓力學(xué)的偉大勝利，使物理學(xué)家及數(shù)學(xué)家忙于利用微積分這個新的工具去發(fā)展新的學(xué)問，直到十九世紀(jì)才對時空有基本性的改變。在這時期中，對幾何學(xué)有重大貢獻(xiàn)的是歐拉（1707-1783），他是絕對空間概念的忠實信徒。
高斯與黎曼幾何
古典的幾何學(xué)者在討論三維空間中的曲面時，他們留意到曲面上每一點(diǎn)的曲率，都有兩個不同的選擇。比如在一個圓柱面上，一個方向是沿其橫切的圓，另一個則是沿垂直線。
高斯在1827年發(fā)現(xiàn)這兩個曲率的乘積具有驚人的屬性。當(dāng)我們令曲面在空間變型，只要它沒有拉長縮短，這個積是不變的！后世稱這個積為高斯曲率。
內(nèi)蘊(yùn)幾何
高斯把這條定理寫入《曲面通論》一書中。他指出必須把曲面的內(nèi)在性質(zhì)，即身處曲面內(nèi)扁小甲蟲所經(jīng)驗的屬性，與其外在的，即依賴于曲面如何置于空間的性質(zhì)區(qū)分開來，而只有內(nèi)在性質(zhì)，才值得“幾何學(xué)家焚膏繼晷，兀兀窮年地上下求索”。后世稱研究這些性質(zhì)的學(xué)問為內(nèi)蘊(yùn)幾何。
高斯曲率決定曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何
從球面剪取一片曲面，其高斯曲率為正常數(shù)。反過來說，局部而言，任何具正常曲率的曲面都可以等距地映射成球面的一部分。
類似地，從雙曲曲面剪取的一片，其高斯曲率恒等于―1，而反過來說曲率等于―1的曲面與雙面曲面局部相等。雙曲曲面曾在討論歐氏第五公理時論及。
高斯對幾何的深思
高斯顯然因他的定理興奮不已。但他并沒有認(rèn)為人們對空間已認(rèn)識透徹。
高斯：“我愈來愈相信，人類的理性并不能證明或理解幾何的必要性。也許后世能對空間的本質(zhì)有新的洞見，但目前這卻是不可能的事。”
物理學(xué)的影響
高斯：“當(dāng)下我們不能把幾何與本質(zhì)是先驗的算術(shù)相提并論，只適宜將它與力學(xué)并列。”
抽象空間（現(xiàn)代幾何學(xué)的誕生）
高斯研究的是二維曲面內(nèi)的幾何，高維流形的內(nèi)蘊(yùn)幾何是由黎曼提出的。他在他的教授就職演說《建構(gòu)幾何學(xué)的假設(shè)》中，利用尺度的無限小形式，引入了抽象空間，在那里高斯曲率有了明確的涵義。這是一個重要的時刻，人們終于擺脫了平坦的歐氏（線性）空間，而成功創(chuàng)造一個自我生存的“內(nèi)蘊(yùn)”空間了。
黎曼在1852年的就職演說
在無窮小區(qū)域內(nèi)幾何諸假設(shè)是否真確，與空間尺度關(guān)系的本質(zhì)有關(guān) …。
要回答這個問題，就必須從這些現(xiàn)象的有關(guān)概念入手。這些源于經(jīng)驗的概念，是先由牛頓所奠基，并且透過它們所不能解釋的事實而改動，漸臻完備 …。
如此這般，我們便離開了幾何，進(jìn)入另一門科學(xué)，即物理的領(lǐng)域了。
黎曼幾何
黎曼的新發(fā)現(xiàn)從根本上改變了數(shù)學(xué)家對幾何的看法。從此以后，幾何學(xué)家研究的空間不再依賴于歐氏空間，我們獨(dú)立地討論抽象空間的幾何了。他的后繼者Christoffel、Ricci、Levi-Civita和Beltrami開拓了流形上的微積分和張量分析等研究。不過對絕大多數(shù)人而言，這些高維抽象空間要不是枯燥無味，就是跟大自然風(fēng)馬牛不相及。
狹義相對論的背景
第一個對牛頓絕對空間提出具建設(shè)性質(zhì)疑的是奧地利學(xué)者馬赫。他認(rèn)為慣性坐標(biāo)受到地球和其它天體的影響。這項假設(shè)被稱為馬赫原理。
一個極為重要的事實卻是麥克斯韋發(fā)現(xiàn)光乃是電磁波，其速度與慣性坐標(biāo)無關(guān)，恒為常數(shù)。不久又發(fā)現(xiàn)了麥?zhǔn)想姶欧匠倘菁{洛倫茲變換為對稱群。
時空一體
愛因斯坦于1905年提出狹義相對論。其中一個重要的環(huán)節(jié)乃是：空間和時間藉著洛倫茲變換融合起來了。
Minkowski（1908）：“從今以后，單獨(dú)的空間和單獨(dú)的時間都將逐漸消失在陰影之中，唯有兩者的融合才能保持獨(dú)立的存在。”
廣義相對論：愛因斯坦的時空
狹義相對論認(rèn)為，任何信息的傳遞不能超過光速，這與牛頓力學(xué)“兩個物體之間的引力作用在瞬間傳遞，即以無窮大的速度傳遞”的觀點(diǎn)相矛盾。
愛因斯坦寫信給Sommerfeld：“我現(xiàn)在正全身心地投入到引力問題的研究 …，有一點(diǎn)是肯定的，我這一生從未如此煩惱過。”
引力場、加速度和幾何學(xué)
引力是力場的一種，它使物體加速。由于狹義相對論的要求，在與速度平行的方向，速度加快使長度加長，在與速度垂直的方向，長度不變。測量長度的尺規(guī)會在不同的方向和點(diǎn)改變正是黎曼幾何的特點(diǎn)。
等價原理
在1907年，愛因斯坦首次提出引力的等價原理。
愛因斯坦花了十年的功夫,才把狹義相對論和牛頓的引力理論結(jié)合起來。之所以花了這么多時間,理由之一是他對數(shù)學(xué)上的抽象空間不大了解。只有當(dāng)他的友人Grossmann指出后,他才明白黎曼張量滿足等價原理,黎曼曲率的大小可以讓度量拉長或收縮,這正符合他的需要。
能量守恒定律和Bianchi等式
物理學(xué)中的等價原理要求引力的定律與坐標(biāo)的選取無關(guān)，黎曼的曲率正具有這種特性。曲率張量的某種組合稱為Ricci張量（由Ricci引入），愛因斯坦發(fā)現(xiàn)正是這個量適合古典的質(zhì)量守恒定律。（Bianchi首先發(fā)現(xiàn)由Ricci張量導(dǎo)出的量滿足守恒律，愛因斯坦方程要用到這個事實。）
總而言之，黎曼的抽象空間，確是可以用于描述引力。Ricci張量描述物質(zhì)分布而黎曼曲率本身描述引力場。
廣義相對論的誕生
水星近日點(diǎn)的進(jìn)動
引力場可以用具有十個分量的黎曼時空尺度來表示。愛因斯坦在1915年向普魯士科學(xué)學(xué)會提出的一系列文章中，給出了水星近日點(diǎn)進(jìn)動的理論解釋，并預(yù)言引力場使光線發(fā)生偏移。這些結(jié)果最后總結(jié)于1916年《物理年報》上的“廣義相對論基礎(chǔ)”一文中。
廣義相對論的實驗證明
1919年，Eddington在英國皇家學(xué)會宣稱愛氏提出的光線偏移被證實。
《倫敦泰晤士報》頭條新聞：科學(xué)上的革命--新的宇宙理論--牛頓的觀念被推翻。
幾何和引力場之不可分
時空的概念以黎曼幾何為框架表現(xiàn)出來，可謂天衣無縫。幾何與引力渾然一體，如膠似漆。引力驅(qū)動整個宇宙，瞬息萬變，時空不再是一潭靜寂的死水了。
當(dāng)天體變動時，時空的幾何和拓?fù)湟怨獾乃俣茸兓?，這也解決了牛頓引力學(xué)和狹義相對論的矛盾。
對稱在物理和幾何學(xué)的重要性
除了受到哲學(xué)家馬赫對相對時空看法的影響外，愛氏還看出對稱觀念的重要性。
麥克斯韋方程具有洛倫茲對稱性，給了愛因斯坦創(chuàng)造狹義相對論的靈感。愛氏可說是第一個看到對稱群在物理學(xué)有舉足輕重地位的物理學(xué)家。狹義相對論使人們對洛倫茲群另眼相看。運(yùn)動方程離不開對稱群，比如說，各種守恒律便來自于物理系統(tǒng)容納各種連續(xù)群為其對稱群。
等價原理要求物理定律與坐標(biāo)的選取無關(guān)，因此它需要一個更大的對稱群。為了要容納這樣的對稱性，導(dǎo)致愛氏提出他的廣義相對論。
整體對稱和局部對稱
與物理學(xué)相比較，黎曼在創(chuàng)立他的幾何時，就已經(jīng)要求有意義的幾何性質(zhì)必須與坐標(biāo)選取無關(guān)了。
其實數(shù)學(xué)家(S. Lie, F.Klein)早就曉得對稱性對幾何學(xué)基本結(jié)構(gòu)的重要性。1887年，Klein在有名的Erlangen綱領(lǐng)中便指出，不同的對稱群會引出不同的幾何。沒多久，Cartan便將Klein的觀點(diǎn)與黎曼幾何結(jié)合，創(chuàng)造了在纖維叢上的聯(lián)絡(luò)理論，它把Klein的整體對稱理論和黎曼幾何融為一體。
這種規(guī)范對稱性在幾何和物理中同樣重要。在過去一個世紀(jì)，人們對時空的結(jié)構(gòu)，都是通過這種局部對稱性來研究的。
量子力學(xué)
二十世紀(jì)初量子力學(xué)的偉大發(fā)現(xiàn)，促進(jìn)了我們對高能物理中基本粒子的了解，也因此對時空的結(jié)構(gòu)有了更深入的認(rèn)識。為了理解這些自然界力量的基本建構(gòu)單位，我們要利用旋子及規(guī)范場論。這些概念早已由Cartan從群表示理論和幾何的研究中發(fā)現(xiàn)。事實上，規(guī)范場論源于纖維叢（扭曲空間）的研究，那時物理學(xué)家還未對它產(chǎn)生興趣呢。
Dirac方程用洛倫茲群為對稱，Hermann Weyl則研究電磁場中的可交換規(guī)范場。到1954年，楊振寧和Mills發(fā)展了非交換的規(guī)范場，所有粒子都由對稱群來控制了。
量子場論對幾何的影響
量子場論的種種成就也改變了我們對時空幾何的認(rèn)識。舉例來說，Dirac的旋子，Seiberg -Witten的理論都是量子物理的一部分，它們是研究幾何的重要工具，到如今我們?nèi)匀惑@異于它們對幾何結(jié)構(gòu)的威力。
但是，當(dāng)空間半徑小于普朗克尺度時，量子力學(xué)和光滑的時空不能兼容，我們茫然毫無頭緒?？臻g是如何構(gòu)成的，還是不甚了了。把引力場量子化是艱巨的任務(wù)，物理學(xué)家為此建立了不少模型。愛因斯坦生前夢想把自然界所有力量統(tǒng)一起來，現(xiàn)在我們正在沿著這個方向邁進(jìn)。
弦學(xué)的源起
物理學(xué)家Veneziano發(fā)現(xiàn)，歐拉在二百多年前發(fā)現(xiàn)的某些函數(shù)，可以用來描述很多強(qiáng)核力產(chǎn)生的現(xiàn)象。不久之后，Nambu，Nielson和Susskind建議，假如基本粒子是弦而非點(diǎn)時，我們的確可以從強(qiáng)粒子理論找到歐拉函數(shù)?？墒菑?qiáng)力的理論以后并不循這個方向發(fā)展，所謂標(biāo)準(zhǔn)模型已經(jīng)足夠描述強(qiáng)粒子了。
弦學(xué)的第一次革命
在好長一段日子里，弦學(xué)幾乎銷聲匿跡，只有Scherk和Schwarz勇敢地提出弦學(xué)應(yīng)該包括強(qiáng)粒子和引力子在內(nèi)。但是真正引起理論物理學(xué)家注意的是，Green和Schwarz在1984年發(fā)現(xiàn)，當(dāng)弦與引力場相互作用，在包含超對稱的量子化過程中，規(guī)范群只能在兩個李群中發(fā)生，時空的維數(shù)必須為十，而在這時，弦學(xué)的量子場論在擾動的架構(gòu)下頭幾項是收斂的。
弦學(xué)中時空的奇異點(diǎn)
值得興奮的是：由弦學(xué)所產(chǎn)生的時空量子化理論，甚至可以“醫(yī)治”時空的某些奇異點(diǎn)（這些奇異點(diǎn)的產(chǎn)生是無可奈何的事實，我們在解愛氏方程時發(fā)現(xiàn)它存在的必然性。但是，一般的物理定律在這些點(diǎn)不再有意義。）舉例來說，黑洞是一種奇異點(diǎn)，但是Greene-Strominger-Morrison所提供的黑洞模型中，證明甚至當(dāng)時空出現(xiàn)這種奇性點(diǎn)時，弦理論還是有意義的。
高維時空
我們觀察到的現(xiàn)實世界是四維的。故此，我們需要有一個機(jī)制，把十維減少到四維。這類機(jī)制濫觴于Kaluza-Klein的理論，當(dāng)廣義相對論剛剛面世時便提出了。當(dāng)時考慮的，是把四維時空用圓環(huán)加厚成為五維空間。
Kaluza-Klein模型
一個好例子是把直線加厚成為圓柱面。當(dāng)柱的橫切面變得很小時，柱面便變回直線。
Kaluza-Klein考慮在一個加厚后成為五維時空的真空狀態(tài)的愛因斯坦方程。他們指出，這個五維真空的愛氏方程等價于某些四維時空（帶一個數(shù)量場）上的引力和麥?zhǔn)戏匠?。利用這個辦法，引力場和電磁力便由純引力場統(tǒng)一起來了。愛因斯坦相當(dāng)喜歡這個模型，但這個附加的數(shù)量場始終沒有完好的解釋，只得作罷。
時空的超對稱結(jié)構(gòu)
在弦理論中，時空是十維的。仿效Kaluza-Klein的做法，我們把時空加厚，添進(jìn)內(nèi)在的六個維數(shù)。為了與現(xiàn)實世界相容，這些附加的六維空間必須十分細(xì)?。ㄐ陆霈F(xiàn)的膜理論可以容許這個內(nèi)蘊(yùn)空間不用太?。?。
弦理論學(xué)者相信當(dāng)能量極高時，玻色子與費(fèi)米子具有某種一一對應(yīng)的關(guān)系，這便是所謂“超對稱”。
時空中要容許這種超對稱，這個內(nèi)在的六維空間必須滿足某些嚴(yán)苛的條件。
弦論中的(Kaluza-Klein)模型
根據(jù)Candelas、Horowitz、Strominger和Witten的提議，這個空間可以由有復(fù)結(jié)構(gòu)的真空方程來構(gòu)造。在1984年，他們發(fā)現(xiàn)這類空間就是我在1976年構(gòu)造的流形。今天，這類空間被稱為卡拉比-丘空間。由于弦學(xué)家的需求，這廿年來對卡-丘空間的研究有長足的進(jìn)展，人們從而獲得了不少有關(guān)弦理論及數(shù)學(xué)的有趣結(jié)果。
卡拉比-丘空間
卡拉比-丘空間有不少的模型。從數(shù)學(xué)上來說，我們對它們的認(rèn)知頗深。有朝一日，我們希望能透過這些空間，來算出某些物理的基本常數(shù)（如質(zhì)量和電荷）。利用這些空間的連續(xù)演化，我們希望能構(gòu)造出新的宇宙模型或黑洞。這類動力學(xué)所提供的古典和量子力學(xué)信息，是當(dāng)前熱門的研究課題。
T-對偶
卡拉比-丘空間乃是弦理論中真空狀態(tài)的基石，但它不見得是時空微觀結(jié)構(gòu)的終極形式?？ɡ?丘空間中的T-對偶是一種重要的對稱性，它顯示時空的微觀結(jié)構(gòu)是極度復(fù)雜的。這種對偶指出，有關(guān)半徑為R的圓周上的量子場論與在半徑為1/R的圓周上的量子場論是相同的。這就是說極小的空間和極大的空間同構(gòu)。
這個對稱引起鏡對稱的觀念，在代數(shù)幾何學(xué)上有極重要的貢獻(xiàn)，事實上，弦學(xué)中有很多不同種類的對偶，它們是弦學(xué)中最重要的工具。
弦學(xué)的第二次革命
從1984到1995年間，弦學(xué)家發(fā)現(xiàn)了五種不同的弦學(xué)模型，而它們通過對偶有一定的聯(lián)系。到1995年，Witten建議一個全新的理論叫做M-理論，它要求時空為11維，同時可以包括所有已知的弦學(xué)模型在內(nèi)。接著，Polchinski提出了膜的理論，弦學(xué)逐漸進(jìn)入更深一層，而幾何性質(zhì)更為美妙。
在量子深淵中的時空
我們對時空的看法還在不斷的演化之中。我們看到矩陣模式的創(chuàng)造，也看到Vafa量子時空泡沫的觀念。也許在量子深淵中，時空的觀念不再是我們現(xiàn)在想象的形式。無論如何，幾何與物理的結(jié)合，渾然天成，實在能激動人心。
Schwarz：“弦學(xué)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是如此的美妙，又有這么多神奇的性質(zhì)，它必定會導(dǎo)出某種深刻的東西。”
時空的奇異點(diǎn)
物理學(xué)家和幾何學(xué)家都想了解由愛氏方程出現(xiàn)的時空奇異點(diǎn)問題，大爆炸和黑洞都是奇異點(diǎn)。奇異點(diǎn)可以定義為：在無論用多大的尺度去放大這些點(diǎn)的鄰近領(lǐng)域，它與歐氏空間都不一樣。
物理學(xué)家企圖從量子化的觀點(diǎn)來處理奇異點(diǎn)。幾何學(xué)家則從方程入手，希望了解量子化前的時空?，F(xiàn)在來談?wù)勥@幾年來幾何學(xué)最重要的進(jìn)展。
三維空間的結(jié)構(gòu)
從幾何的觀點(diǎn)來了解時空，我們可以說它的進(jìn)展一日千里，我們對三維和四維空間的了解已經(jīng)今非昔比。在三維空間的工作尤其劃時代的，是我的朋友Hamilton先生在廿五年前提出的方程式，它提供一個變動幾何結(jié)構(gòu)的機(jī)制。在這個機(jī)制下，我們也看到空間拓?fù)涞淖兓瑥亩o出三維空間的全部結(jié)構(gòu)，我們也逐漸了解奇異點(diǎn)在三維空間的結(jié)構(gòu)。
四維空間和幾何學(xué)
最近，Perelman可能將Hamilton的工作全部完成，我的朋友、學(xué)生和我在整個發(fā)展過程中有相當(dāng)?shù)呢暙I(xiàn)，可謂與有榮焉。四維空間的結(jié)構(gòu)比三維空間復(fù)雜得多，Donaldson的工作只釋出其中一部份的信息。幾何學(xué)中新的想法生生不息，這是一個值得幾何學(xué)家興奮的時代。
結(jié)語
莊子：“天地與我并生，萬物與我為一。”
龐加萊（1854-1912）：“創(chuàng)思雖是漫漫長夜中的靈光一閃，但，這便是一切。”
時 空 統(tǒng) 一 頌
時乎時乎 逝何如此 物乎物乎 繁何如斯
弱水三千 豈非同源 時空一體 心物互存
時兮時兮 時不再歟 天兮天兮 天何多容
亙古恒遷 黑洞冥冥 時空一體 其無盡耶
大哉大哉 宇宙之謎 美哉美哉 真理之源
時空量化 智者無何 管測大塊 學(xué)也洋洋
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