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A為n階矩陣，若數(shù)λ和n維非0列向量x滿足Ax=λx，那么數(shù)λ稱為A的特征值，x稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。

它的物理意義是：

一個(gè)矩陣A乘以一個(gè)向量x，

就相當(dāng)于做了一個(gè)線性變換λx。

方向仍然保持不變，

只是拉伸或者壓縮一定倍數(shù)λ。

特征向量和特征值的幾何本質(zhì)，其實(shí)就是：

空間矢量的旋轉(zhuǎn)和縮放。

線性變換 A 對(duì)于特征空間只起到“擴(kuò)張(或者壓縮)”的作用（擴(kuò)張后還是同樣的特征空間）

求解特征向量

△三位物理學(xué)家分別是：張西寧、Peter Denton和Stephen Parke。

這個(gè)公式看起來(lái)好得令人難以置信。

我完全沒(méi)想過(guò)，子矩陣的特征值編碼了原矩陣特征向量的隱藏信息。

這么短、這么簡(jiǎn)單的東西，早就應(yīng)該出現(xiàn)在教科書(shū)里了?。。?/section>

新方法怎么來(lái)的？

但三位物理學(xué)家在計(jì)算中微子振蕩概率的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：

特征向量和特征值的幾何本質(zhì)，其實(shí)就是空間矢量的旋轉(zhuǎn)和縮放。而中微子的三個(gè)味（電子，μ子，τ子），不就相當(dāng)于空間中的三個(gè)向量之間的變換嗎？

中微子振蕩是一種量子力學(xué)現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，電子中微子、μ子中微子和τ子中微子這三種中微子之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，而這就是中微子振蕩現(xiàn)象。

△圖源：Quantamagazine

三個(gè)物理學(xué)家意識(shí)到，特征向量和特征值之間，可能存在更普遍的規(guī)律。

于是，教科書(shū)級(jí)別的公式被發(fā)現(xiàn)了：

通過(guò)刪除原始矩陣的行和列，創(chuàng)建子矩陣。

子矩陣和原始矩陣的特征值組合在一起，就可以計(jì)算原始矩陣的特征向量。

簡(jiǎn)而言之，已知特征值，一個(gè)方程式就可以求得特征向量。

△圖源：Quantamagazine

這個(gè)新公式有多牛？

數(shù)學(xué)天才、菲爾茲獎(jiǎng)得主陶哲軒評(píng)價(jià)道：

新公式的非凡之處是，在任何情況下，你不需要知道矩陣中的任何元素，就可以計(jì)算出你想要的任何東西。

別被上面的話嚇著了，其實(shí)很簡(jiǎn)單，我們用一個(gè)naive的二階對(duì)稱矩陣試一試就知道：

先用傳統(tǒng)的方法求解特征值：

可以得到：

然后使用這個(gè)公式可以算得：

證明過(guò)程

陶哲軒和Peter Denton、Stephen Parke、張西寧三位物理學(xué)家一起發(fā)表了論文，論文給出了兩種解法，

一種給出一個(gè)Cauchy-Binet類型的行列式公式作為引理，構(gòu)造式證明方法比較巧妙；

第二種證明是借用了伴隨矩陣的思路。

ps：小編還在啃論文，希望能給出一個(gè)通俗的過(guò)程解釋。

這一發(fā)現(xiàn)的意義：

在現(xiàn)實(shí)世界中，無(wú)論是在數(shù)學(xué)、物理學(xué)還是工程學(xué)中，許許多多的問(wèn)題都涉及到特征向量和特征值的計(jì)算。

圖像處理中的PCA方法，選取特征值最高的k個(gè)特征向量來(lái)表示一個(gè)矩陣，從而達(dá)到降維分析+特征顯示的方法，還有圖像壓縮的K-L變換。

再比如很多人臉識(shí)別，數(shù)據(jù)流模式挖掘分析等方面。在力學(xué)中，慣量的特征向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)鍵數(shù)據(jù)。

在譜系圖論中，一個(gè)圖的特征值定義為圖的鄰接矩陣A的特征值，或者（更多的是）圖的拉普拉斯算子矩陣， Google的PageRank算法就是一個(gè)例子。

在量子力學(xué)中，特別是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理論下，原子軌道和分子軌道可以定義為Fock算子的特征向量。相應(yīng)的特征值通過(guò)Koopmans定理可以解釋為電離勢(shì)能。在這個(gè)情況下，特征向量一詞可以用于更廣泛的意義，因?yàn)镕ock算子顯式地依賴于軌道和它們的特征值。

在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身可以看成是一種對(duì)特征向量空間的轉(zhuǎn)換過(guò)程。因此是否可以在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)每次作轉(zhuǎn)換的時(shí)候，根據(jù)特征值（奇異值）大小來(lái)表示每一維特征的重要性大小，從而調(diào)整相應(yīng)權(quán)重的大小，這樣是否會(huì)使得訓(xùn)練過(guò)程更加高效。

論文地址：

https://arxiv.org/abs/1908.03795

https://arxiv.org/abs/1907.02534