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Matlab概率統(tǒng)計(jì)編程指南
第4章 概率統(tǒng)計(jì)
本章介紹MATLAB在概率統(tǒng)計(jì)中的若干命令和使用格式,這些命令存放于MatlabR12\Toolbox\Stats中.
4.1 隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
4.1.1 二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生
命令 參數(shù)為N,P的二項(xiàng)隨機(jī)數(shù)據(jù)
函數(shù) binornd
格式 R = binornd(N,P) %N,P為二項(xiàng)分布的兩個(gè)參數(shù),返回服從參數(shù)為N,P的二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù),N,P大小相同.
R = binornd(N,P,m) %m指定隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù),與R同維數(shù).
R = binornd(N,P,m,n) %m,n分別表示R的行數(shù)和列數(shù)
例4-1
>> R=binornd(10,0.5)
R =
3
>> R=binornd(10,0.5,1,6)
R =
8 1 3 7 6 4
>> R=binornd(10,0.5,[1,10])
R =
6 8 4 6 7 5 3 5 6 2
>> R=binornd(10,0.5,[2,3])
R =
7 5 8
6 5 6
>>n = 10:10:60;
>>r1 = binornd(n,1./n)
r1 =
2 1 0 1 1 2
>>r2 = binornd(n,1./n,[1 6])
r2 =
0 1 2 1 3 1
4.1.2 正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)的產(chǎn)生
命令 參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)
函數(shù) normrnd
格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值為MU,標(biāo)準(zhǔn)差為SIGMA的正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù),R可以是向量或矩陣.
R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m指定隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù),與R同維數(shù).
R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n分別表示R的行數(shù)和列數(shù)
例4-2
>>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6))
n1 =
2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827
>>n2 = normrnd(0,1,[1 5])
n2 =
0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462
>>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu為均值矩陣
n3 =
0.9299 1.9361 2.9640
4.1246 5.0577 5.9864
>> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu為10,sigma為0.5的2行3列個(gè)正態(tài)隨機(jī)數(shù)
R =
9.7837 10.0627 9.4268
9.1672 10.1438 10.5955
4.1.3 常見(jiàn)分布的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生
常見(jiàn)分布的隨機(jī)數(shù)的使用格式與上面相同
表4-1 隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)表
函數(shù)名
調(diào)用形式
注 釋
Unifrnd
unifrnd ( A,B,m,n)
[A,B]上均勻分布(連續(xù)) 隨機(jī)數(shù)
Unidrnd
unidrnd(N,m,n)
均勻分布(離散)隨機(jī)數(shù)
Exprnd
exprnd(Lambda,m,n)
參數(shù)為L(zhǎng)ambda的指數(shù)分布隨機(jī)數(shù)
Normrnd
normrnd(MU,SIGMA,m,n)
參數(shù)為MU,SIGMA的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)
chi2rnd
chi2rnd(N,m,n)
自由度為N的卡方分布隨機(jī)數(shù)
Trnd
trnd(N,m,n)
自由度為N的t分布隨機(jī)數(shù)
Frnd
frnd(N1, N2,m,n)
第一自由度為N1,第二自由度為N2的F分布隨機(jī)數(shù)
gamrnd
gamrnd(A, B,m,n)
參數(shù)為A, B的分布隨機(jī)數(shù)
betarnd
betarnd(A, B,m,n)
參數(shù)為A, B的分布隨機(jī)數(shù)
lognrnd
lognrnd(MU, SIGMA,m,n)
參數(shù)為MU, SIGMA的對(duì)數(shù)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)
nbinrnd
nbinrnd(R, P,m,n)
參數(shù)為R,P的負(fù)二項(xiàng)式分布隨機(jī)數(shù)
ncfrnd
ncfrnd(N1, N2, delta,m,n)
參數(shù)為N1,N2,delta的非中心F分布隨機(jī)數(shù)
nctrnd
nctrnd(N, delta,m,n)
參數(shù)為N,delta的非中心t分布隨機(jī)數(shù)
ncx2rnd
ncx2rnd(N, delta,m,n)
參數(shù)為N,delta的非中心卡方分布隨機(jī)數(shù)
raylrnd
raylrnd(B,m,n)
參數(shù)為B的瑞利分布隨機(jī)數(shù)
weibrnd
weibrnd(A, B,m,n)
參數(shù)為A, B的韋伯分布隨機(jī)數(shù)
binornd
binornd(N,P,m,n)
參數(shù)為N, p的二項(xiàng)分布隨機(jī)數(shù)
geornd
geornd(P,m,n)
參數(shù)為 p的幾何分布隨機(jī)數(shù)
hygernd
hygernd(M,K,N,m,n)
參數(shù)為 M,K,N的超幾何分布隨機(jī)數(shù)
Poissrnd
poissrnd(Lambda,m,n)
參數(shù)為L(zhǎng)ambda的泊松分布隨機(jī)數(shù)
4.1.4 通用函數(shù)求各分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)
命令 求指定分布的隨機(jī)數(shù)
函數(shù) random
格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name的取值見(jiàn)表4-2;A1,A2,A3為分布的參數(shù);m,n指定隨機(jī)數(shù)的行和列
例4-3 產(chǎn)生12(3行4列)個(gè)均值為2,標(biāo)準(zhǔn)差為0.3的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)
>> y=random('norm',2,0.3,3,4)
y =
2.3567 2.0524 1.8235 2.0342
1.9887 1.9440 2.6550 2.3200
2.0982 2.2177 1.9591 2.0178
4.2 隨機(jī)變量的概率密度計(jì)算
4.2.1 通用函數(shù)計(jì)算概率密度函數(shù)值
命令 通用函數(shù)計(jì)算概率密度函數(shù)值
函數(shù) pdf
格式 Y=pdf(name,K,A)
Y=pdf(name,K,A,B)
Y=pdf(name,K,A,B,C)
說(shuō)明返回在X=K處,參數(shù)為A,B,C的概率密度值,對(duì)于不同的分布,參數(shù)個(gè)數(shù)是不同;name為分布函數(shù)名,其取值如表4-2.
表4-2 常見(jiàn)分布函數(shù)表
name的取值
函數(shù)說(shuō)明
'beta'
或
'Beta'
Beta分布
'bino'
或
'Binomial'
二項(xiàng)分布
'chi2'
或
'Chisquare'
卡方分布
'exp'
或
'Exponential'
指數(shù)分布
'f'
或
'F'
F分布
'gam'
或
'Gamma'
GAMMA分布
'geo'
或
'Geometric'
幾何分布
'hyge'
或
'Hypergeometric'
超幾何分布
'logn'
或
'Lognormal'
對(duì)數(shù)正態(tài)分布
'nbin'
或
'Negative Binomial'
負(fù)二項(xiàng)式分布
'ncf'
或
'Noncentral F'
非中心F分布
'nct'
或
'Noncentral t'
非中心t分布
'ncx2'
或
'Noncentral Chi-square'
非中心卡方分布
'norm'
或
'Normal'
正態(tài)分布
'poiss'
或
'Poisson'
泊松分布
'rayl'
或
'Rayleigh'
瑞利分布
't'
或
'T'
T分布
'unif'
或
'Uniform'
均勻分布
'unid'
或
'Discrete Uniform'
離散均勻分布
'weib'
或
'Weibull'
Weibull分布
例如二項(xiàng)分布:設(shè)一次試驗(yàn),事件A發(fā)生的概率為p,那么,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生K次的概率P_K為:P_K=P{X=K}=pdf('bino',K,n,p)
例4-4 計(jì)算正態(tài)分布N(0,1)的隨機(jī)變量X在點(diǎn)0.6578的密度函數(shù)值.
解:>> pdf('norm',0.6578,0,1)
ans =
0.3213
例4-5 自由度為8的卡方分布,在點(diǎn)2.18處的密度函數(shù)值.
解:>> pdf('chi2',2.18,8)
ans =
0.0363
4.2.2 專(zhuān)用函數(shù)計(jì)算概率密度函數(shù)值
命令 二項(xiàng)分布的概率值
函數(shù) binopdf
格式 binopdf (k, n, p) %等同于, p — 每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率;K—事件A發(fā)生K次;n—試驗(yàn)總次數(shù)
命令 泊松分布的概率值
函數(shù) poisspdf
格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于
命令 正態(tài)分布的概率值
函數(shù) normpdf(K,mu,sigma) %計(jì)算參數(shù)為μ=mu,σ=sigma的正態(tài)分布密度函數(shù)在K處的值
專(zhuān)用函數(shù)計(jì)算概率密度函數(shù)列表如表4-3.
admin 2007-11-29 20:43
表4-3 專(zhuān)用函數(shù)計(jì)算概率密度函數(shù)表
函數(shù)名
調(diào)用形式
注 釋
Unifpdf
unifpdf (x, a, b)
[a,b]上均勻分布(連續(xù))概率密度在X=x處的函數(shù)值
unidpdf
Unidpdf(x,n)
均勻分布(離散)概率密度函數(shù)值
Exppdf
exppdf(x, Lambda)
參數(shù)為L(zhǎng)ambda的指數(shù)分布概率密度函數(shù)值
normpdf
normpdf(x, mu, sigma)
參數(shù)為mu,sigma的正態(tài)分布概率密度函數(shù)值
chi2pdf
chi2pdf(x, n)
自由度為n的卡方分布概率密度函數(shù)值
Tpdf
tpdf(x, n)
自由度為n的t分布概率密度函數(shù)值
Fpdf
fpdf(x, n1, n2)
第一自由度為n1,第二自由度為n2的F分布概率密度函數(shù)值
gampdf
gampdf(x, a, b)
參數(shù)為a, b的分布概率密度函數(shù)值
betapdf
betapdf(x, a, b)
參數(shù)為a, b的分布概率密度函數(shù)值
lognpdf
lognpdf(x, mu, sigma)
參數(shù)為mu, sigma的對(duì)數(shù)正態(tài)分布概率密度函數(shù)值
nbinpdf
nbinpdf(x, R, P)
參數(shù)為R,P的負(fù)二項(xiàng)式分布概率密度函數(shù)值
Ncfpdf
ncfpdf(x, n1, n2, delta)
參數(shù)為n1,n2,delta的非中心F分布概率密度函數(shù)值
Nctpdf
nctpdf(x, n, delta)
參數(shù)為n,delta的非中心t分布概率密度函數(shù)值
ncx2pdf
ncx2pdf(x, n, delta)
參數(shù)為n,delta的非中心卡方分布概率密度函數(shù)值
raylpdf
raylpdf(x, b)
參數(shù)為b的瑞利分布概率密度函數(shù)值
weibpdf
weibpdf(x, a, b)
參數(shù)為a, b的韋伯分布概率密度函數(shù)值
binopdf
binopdf(x,n,p)
參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布的概率密度函數(shù)值
geopdf
geopdf(x,p)
參數(shù)為 p的幾何分布的概率密度函數(shù)值
hygepdf
hygepdf(x,M,K,N)
參數(shù)為 M,K,N的超幾何分布的概率密度函數(shù)值
poisspdf
poisspdf(x,Lambda)
參數(shù)為L(zhǎng)ambda的泊松分布的概率密度函數(shù)值
例4-6 繪制卡方分布密度函數(shù)在自由度分別為1,5,15的圖形
>> x=0:0.1:30;
>> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':')
>> hold on
>> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+')
>> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o')
>> axis([0,30,0,0.2]) %指定顯示的圖形區(qū)域
則圖形為圖4-1.
4.2.3 常見(jiàn)分布的密度函數(shù)作圖
1.二項(xiàng)分布
例4-7
>>x = 0:10;
>>y = binopdf(x,10,0.5);
>>plot(x,y,'+')
2.卡方分布
例4-8
>> x = 0:0.2:15;
>>y = chi2pdf(x,4);
>>plot(x,y)
圖4-2
3.非中心卡方分布
例4-9
>>x = (0:0.1:10)';
>>p1 = ncx2pdf(x,4,2);
>>p = chi2pdf(x,4);
>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')
4.指數(shù)分布
例4-10
>>x = 0:0.1:10;
>>y = exppdf(x,2);
>>plot(x,y)
圖4-3
5.F分布
例4-11
>>x = 0:0.01:10;
>>y = fpdf(x,5,3);
>>plot(x,y)
6.非中心F分布
例4-12
>>x = (0.01:0.1:10.01)';
>>p1 = ncfpdf(x,5,20,10);
>>p = fpdf(x,5,20);
>>plot(x,p,'--',x,p1,'-')
圖4-4
7.Γ分布
例4-13
>>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10);
>>y = gampdf(x,100,10);
>>y1 = normpdf(x,1000,100);
>>plot(x,y,'-',x,y1,'-.')
8.對(duì)數(shù)正態(tài)分布
例4-14
>>x = (10:1000:125010)';
>>y = lognpdf(x,log(20000),1.0);
>>plot(x,y)
>>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000])
>>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',…
'$90,000','$120,000'))
圖4-5
9.負(fù)二項(xiàng)分布
例4-15
>>x = (0:10);
>>y = nbinpdf(x,3,0.5);
>>plot(x,y,'+')
10.正態(tài)分布
例4-16
>> x=-3:0.2:3;
>> y=normpdf(x,0,1);
>> plot(x,y)
圖4-6
11.泊松分布
例4-17
>>x = 0:15;
>>y = poisspdf(x,5);
>>plot(x,y,'+')
12.瑞利分布
例4-18
>>x = [0:0.01:2];
>>p = raylpdf(x,0.5);
>>plot(x,p)
圖4-7
13.T分布
例4-19
>>x = -5:0.1:5;
>>y = tpdf(x,5);
>>z = normpdf(x,0,1);
>>plot(x,y,'-',x,z,'-.')
14.威布爾分布
例4-20
>> t=0:0.1:3;
>> y=weibpdf(t,2,2);
>> plot(y)
圖4-8
admin 2007-11-29 20:43
4.3 隨機(jī)變量的累積概率值(分布函數(shù)值)
4.3.1 通用函數(shù)計(jì)算累積概率值
命令 通用函數(shù)cdf用來(lái)計(jì)算隨機(jī)變量的概率之和(累積概率值)
函數(shù) cdf
格式
說(shuō)明 返回以name為分布,隨機(jī)變量X≤K的概率之和的累積概率值,name的取值見(jiàn)表4-1 常見(jiàn)分布函數(shù)表
例4-21 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量X落在區(qū)間(-∞,0.4)內(nèi)的概率(該值就是概率統(tǒng)計(jì)教材中的附表:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)值表).
解:
>> cdf('norm',0.4,0,1)
ans =
0.6554
例4-22 求自由度為16的卡方分布隨機(jī)變量落在[0,6.91]內(nèi)的概率
>> cdf('chi2',6.91,16)
ans =
0.0250
4.3.2 專(zhuān)用函數(shù)計(jì)算累積概率值(隨機(jī)變量的概率之和)
命令 二項(xiàng)分布的累積概率值
函數(shù) binocdf
格式 binocdf (k, n, p) %n為試驗(yàn)總次數(shù),p為每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率,k為n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),該命令返回n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率.
命令 正態(tài)分布的累積概率值
函數(shù) normcdf
格式 normcdf() %返回F(x)=的值,mu,sigma為正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)
例4-23 設(shè)X~N(3, 22)
(1)求
(2)確定c,使得
解(1) p1=
p2=
p3=
p4=
則有:
>>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2)
p1 =
0.5328
>>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2)
p2 =
0.9995
>>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2)
p3 =
0.6853
>>p4=1-normcdf(3,3,2)
p4 =
0.5000
專(zhuān)用函數(shù)計(jì)算累積概率值函數(shù)列表如表4-4.
表4-4 專(zhuān)用函數(shù)的累積概率值函數(shù)表
函數(shù)名
調(diào)用形式
注 釋
unifcdf
unifcdf (x, a, b)
[a,b]上均勻分布(連續(xù))累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
unidcdf
unidcdf(x,n)
均勻分布(離散)累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
expcdf
expcdf(x, Lambda)
參數(shù)為L(zhǎng)ambda的指數(shù)分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
normcdf
normcdf(x, mu, sigma)
參數(shù)為mu,sigma的正態(tài)分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
chi2cdf
chi2cdf(x, n)
自由度為n的卡方分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
tcdf
tcdf(x, n)
自由度為n的t分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
fcdf
fcdf(x, n1, n2)
第一自由度為n1,第二自由度為n2的F分布累積分布函數(shù)值
gamcdf
gamcdf(x, a, b)
參數(shù)為a, b的分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
betacdf
betacdf(x, a, b)
參數(shù)為a, b的分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
logncdf
logncdf(x, mu, sigma)
參數(shù)為mu, sigma的對(duì)數(shù)正態(tài)分布累積分布函數(shù)值
nbincdf
nbincdf(x, R, P)
參數(shù)為R,P的負(fù)二項(xiàng)式分布概累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
ncfcdf
ncfcdf(x, n1, n2, delta)
參數(shù)為n1,n2,delta的非中心F分布累積分布函數(shù)值
nctcdf
nctcdf(x, n, delta)
參數(shù)為n,delta的非中心t分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
ncx2cdf
ncx2cdf(x, n, delta)
參數(shù)為n,delta的非中心卡方分布累積分布函數(shù)值
raylcdf
raylcdf(x, b)
參數(shù)為b的瑞利分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
weibcdf
weibcdf(x, a, b)
參數(shù)為a, b的韋伯分布累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
binocdf
binocdf(x,n,p)
參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布的累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
geocdf
geocdf(x,p)
參數(shù)為 p的幾何分布的累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
hygecdf
hygecdf(x,M,K,N)
參數(shù)為 M,K,N的超幾何分布的累積分布函數(shù)值
poisscdf
poisscdf(x,Lambda)
參數(shù)為L(zhǎng)ambda的泊松分布的累積分布函數(shù)值 F(x)=P{X≤x}
說(shuō)明 累積概率函數(shù)就是分布函數(shù)F(x)=P{X≤x}在x處的值.
admin 2007-11-29 20:44
4.4 隨機(jī)變量的逆累積分布函數(shù)
MATLAB中的逆累積分布函數(shù)是已知,求x.
逆累積分布函數(shù)值的計(jì)算有兩種方法
4.4.1 通用函數(shù)計(jì)算逆累積分布函數(shù)值
命令 icdf 計(jì)算逆累積分布函數(shù)
格式
說(shuō)明 返回分布為name,參數(shù)為,累積概率值為P的臨界值,這里name與前面表4.1相同.
如果,則
例4-24 在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中,若已知=0.975,求x
解:>> x=icdf('norm',0.975,0,1)
x =
1.9600
例4-25 在分布表中,若自由度為10,=0.975,求臨界值Lambda.
解:因?yàn)楸碇薪o出的值滿(mǎn)足,而逆累積分布函數(shù)icdf求滿(mǎn)足的臨界值.所以,這里的取為0.025,即
>> Lambda=icdf('chi2',0.025,10)
Lambda =
3.2470
例4-26 在假設(shè)檢驗(yàn)中,求臨界值問(wèn)題:
已知:,查自由度為10的雙邊界檢驗(yàn)t分布臨界值
>>lambda=icdf('t',0.025,10)
lambda =
-2.2281
4.4.2 專(zhuān)用函數(shù)-inv計(jì)算逆累積分布函數(shù)
命令 正態(tài)分布逆累積分布函數(shù)
函數(shù) norminv
格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p為累積概率值,mu為均值,sigma為標(biāo)準(zhǔn)差,X為臨界值,滿(mǎn)足:p=P{X≤x}.
例4-27 設(shè),確定c使得.
解:由得,=0.5,所以
>>X=norminv(0.5, 3, 2)
X=
3
關(guān)于常用臨界值函數(shù)可查下表4-5.
表4-5 常用臨界值函數(shù)表
函數(shù)名
調(diào)用形式
注 釋
unifinv
x=unifinv (p, a, b)
均勻分布(連續(xù))逆累積分布函數(shù)(P=P{X≤x},求x)
unidinv
x=unidinv (p,n)
均勻分布(離散)逆累積分布函數(shù),x為臨界值
expinv
x=expinv (p, Lambda)
指數(shù)分布逆累積分布函數(shù)
norminv
x=Norminv(x,mu,sigma)
正態(tài)分布逆累積分布函數(shù)
chi2inv
x=chi2inv (x, n)
卡方分布逆累積分布函數(shù)
tinv
x=tinv (x, n)
t分布累積分布函數(shù)
finv
x=finv (x, n1, n2)
F分布逆累積分布函數(shù)
gaminv
x=gaminv (x, a, b)
分布逆累積分布函數(shù)
betainv
x=betainv (x, a, b)
分布逆累積分布函數(shù)
logninv
x=logninv (x, mu, sigma)
對(duì)數(shù)正態(tài)分布逆累積分布函數(shù)
nbininv
x=nbininv (x, R, P)
負(fù)二項(xiàng)式分布逆累積分布函數(shù)
ncfinv
x=ncfinv (x, n1, n2, delta)
非中心F分布逆累積分布函數(shù)
nctinv
x=nctinv (x, n, delta)
非中心t分布逆累積分布函數(shù)
ncx2inv
x=ncx2inv (x, n, delta)
非中心卡方分布逆累積分布函數(shù)
raylinv
x=raylinv (x, b)
瑞利分布逆累積分布函數(shù)
weibinv
x=weibinv (x, a, b)
韋伯分布逆累積分布函數(shù)
binoinv
x=binoinv (x,n,p)
二項(xiàng)分布的逆累積分布函數(shù)
geoinv
x=geoinv (x,p)
幾何分布的逆累積分布函數(shù)
hygeinv
x=hygeinv (x,M,K,N)
超幾何分布的逆累積分布函數(shù)
poissinv
x=poissinv (x,Lambda)
泊松分布的逆累積分布函數(shù)
例4-28 公共汽車(chē)門(mén)的高度是按成年男子與車(chē)門(mén)頂碰頭的機(jī)會(huì)不超過(guò)1%設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(175,36),求車(chē)門(mén)的最低高度.
解:設(shè)h為車(chē)門(mén)高度,X為身高
求滿(mǎn)足條件的h,即,所以
>>h=norminv(0.99, 175, 6)
h =
188.9581
例4-29 卡方分布的逆累積分布函數(shù)的應(yīng)用
在MATLAB的編輯器下建立M文件如下:
n=5; a=0.9; %n為自由度,a為置信水平或累積概率
x_a=chi2inv(a,n); %x_a 為臨界值
x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n); %計(jì)算的概率密度函數(shù)值,供繪圖用
plot(x,yd_c,'b'), hold on %繪密度函數(shù)圖形
xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n); %計(jì)算[0,x_a]上的密度函數(shù)值,供填色用
fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色,其中:點(diǎn)(x_a, 0)使得填色區(qū)域封閉
text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %標(biāo)注臨界值點(diǎn)
text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)'])
%圖中標(biāo)注
text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' ) %圖中標(biāo)注
結(jié)果顯示如圖4-9.
4.5 隨機(jī)變量的數(shù)字特征
4.5.1 平均值,中值
命令 利用mean求算術(shù)平均值
格式 mean(X) %X為向量,返回X中各元素的平均值
mean(A) %A為矩陣,返回A中各列元素的平均值構(gòu)成的向量
mean(A,dim) %在給出的維數(shù)內(nèi)的平均值
說(shuō)明 X為向量時(shí),算術(shù)平均值的數(shù)學(xué)含義是,即樣本均值.
例4-30
>> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5]
A =
1 3 4 5
2 3 4 6
1 3 1 5
>> mean(A)
ans =
1.3333 3.0000 3.0000 5.3333
>> mean(A,1)
ans =
1.3333 3.0000 3.0000 5.3333
命令 忽略NaN計(jì)算算術(shù)平均值
格式 nanmean(X) %X為向量,返回X中除NaN外元素的算術(shù)平均值.
nanmean(A) %A為矩陣,返回A中各列除NaN外元素的算術(shù)平均值向量.
例4-31
>> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan]
A =
1 2 3
NaN 5 2
3 7 NaN
>> nanmean(A)
ans =
2.0000 4.6667 2.5000
命令 利用median計(jì)算中值(中位數(shù))
格式 median(X) %X為向量,返回X中各元素的中位數(shù).
median(A) %A為矩陣,返回A中各列元素的中位數(shù)構(gòu)成的向量.
median(A,dim) %求給出的維數(shù)內(nèi)的中位數(shù)
例4-32
>> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5]
A =
1 3 4 5
2 3 4 6
1 3 1 5
>> median(A)
ans =
1 3 4 5
命令 忽略NaN計(jì)算中位數(shù)
格式 nanmedian(X) %X為向量,返回X中除NaN外元素的中位數(shù).
nanmedian(A) %A為矩陣,返回A中各列除NaN外元素的中位數(shù)向量.
例4-33
>> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan]
A =
1 2 3
NaN 5 2
3 7 NaN
>> nanmedian(A)
ans =
2.0000 5.0000 2.5000
命令 利用geomean計(jì)算幾何平均數(shù)
格式 M=geomean(X) %X為向量,返回X中各元素的幾何平均數(shù).
M=geomean(A) %A為矩陣,返回A中各列元素的幾何平均數(shù)構(gòu)成的向量.
說(shuō)明 幾何平均數(shù)的數(shù)學(xué)含義是,其中:樣本數(shù)據(jù)非負(fù),主要用于對(duì)數(shù)正態(tài)分布.
例4-34
>> B=[1 3 4 5]
B =
1 3 4 5
>> M=geomean(B)
M =
2.7832
>> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5]
A =
1 3 4 5
2 3 4 6
1 3 1 5
>> M=geomean(A)
M =
1.2599 3.0000 2.5198 5.3133
命令 利用harmmean求調(diào)和平均值
格式 M=harmmean(X) %X為向量,返回X中各元素的調(diào)和平均值.
M=harmmean(A) %A為矩陣,返回A中各列元素的調(diào)和平均值構(gòu)成的向量.
說(shuō)明 調(diào)和平均值的數(shù)學(xué)含義是,其中:樣本數(shù)據(jù)非0,主要用于嚴(yán)重偏斜分布.
例4-35
>> B=[1 3 4 5]
B =
1 3 4 5
>> M=harmmean(B)
M =
2.2430
>> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5]
A =
1 3 4 5
2 3 4 6
1 3 1 5
>> M=harmmean(A)
M =
1.2000 3.0000 2.0000 5.2941
4.5.2 數(shù)據(jù)比較
命令 排序
格式 Y=sort(X) %X為向量,返回X按由小到大排序后的向量.
Y=sort(A) %A為矩陣,返回A的各列按由小到大排序后的矩陣.
[Y,I]=sort(A) % Y為排序的結(jié)果,I中元素表示Y中對(duì)應(yīng)元素在A中位置.
sort(A,dim) %在給定的維數(shù)dim內(nèi)排序
說(shuō)明 若X為復(fù)數(shù),則通過(guò)|X|排序.
例4-36
>> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0]
A =
1 2 3
4 5 2
3 7 0
>> sort(A)
ans =
1 2 0
3 5 2
4 7 3
>> [Y,I]=sort(A)
Y =
1 2 0
3 5 2
4 7 3
I =
1 1 3
3 2 2
2 3 1
命令 按行方式排序
函數(shù) sortrows
格式 Y=sortrows(A) %A為矩陣,返回矩陣Y,Y按A的第1列由小到大,以行方式排序后生成的矩陣.
Y=sortrows(A, col) %按指定列col由小到大進(jìn)行排序
[Y,I]=sortrows(A, col) % Y為排序的結(jié)果,I表示Y中第col列元素在A中位置.
說(shuō)明 若X為復(fù)數(shù),則通過(guò)|X|的大小排序.
例4-37
>> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0]
A =
1 2 3
4 5 2
3 7 0
>> sortrows(A)
ans =
1 2 3
3 7 0
4 5 2
>> sortrows(A,1)
ans =
1 2 3
3 7 0
4 5 2
>> sortrows(A,3)
ans =
3 7 0
4 5 2
1 2 3
>> sortrows(A,[3 2])
ans =
3 7 0
4 5 2
1 2 3
>> [Y,I]=sortrows(A,3)
Y =
3 7 0
4 5 2
1 2 3
I =
3
2
1
命令 求最大值與最小值之差
函數(shù) range
格式 Y=range(X) %X為向量,返回X中的最大值與最小值之差.
Y=range(A) %A為矩陣,返回A中各列元素的最大值與最小值之差.
例4-38
>> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0]
A =
1 2 3
4 5 2
3 7 0
>> Y=range(A)
Y =
3 5 3
4.5.3 期望
命令 計(jì)算樣本均值
函數(shù) mean
格式 用法與前面一樣
例4-39 隨機(jī)抽取6個(gè)滾珠測(cè)得直徑如下:(直徑:mm)
14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32
試求樣本平均值
解:>>X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32];
>>mean(X) %計(jì)算樣本均值
則結(jié)果如下:
ans =
15.0600
命令 由分布律計(jì)算均值
利用sum函數(shù)計(jì)算
例4-40 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為:
X
-2
-1
0
1
2
P
0.3
0.1
0.2
0.1
0.3
求E (X) E(X2-1)
解:在Matlab編輯器中建立M文件如下:
X=[-2 -1 0 1 2];
p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3];
EX=sum(X.*p)
Y=X.^2-1
EY=sum(Y.*p)
運(yùn)行后結(jié)果如下:
EX =
0
Y =
3 0 -1 0 3
EY =
1.6000
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