探索：1. 當(dāng)四邊形對(duì)角線互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形為矩形；
例1. 如圖1，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，要使EFCH為矩形，四邊形ABCD應(yīng)該具備的條件是（ ）
A. 一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行
B. 對(duì)角線相等
C. 對(duì)角線相互垂直
D. 對(duì)角線互相平分
解：選C。
（青島2004年中考題）
證明：連結(jié)BD，∵點(diǎn)E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線。
∴EH∥BD，，
同理：GF∥BD，。
∴EH∥GF，EH＝GF ∴四邊形EFGH是平行四邊形。
∵AC⊥BD，AC∥EF，BD∥EH，
∴EF⊥EH，即∠HEF＝90°，
∴平行四邊形EFGH是矩形。
2. 當(dāng)四邊形對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形為菱形；
例2. 如圖2，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BD、CD、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使四邊形EFGH為菱形，并說明理由。（深圳南山區(qū)2004中考題）
解：添加的條件：對(duì)角線相等
理由：連結(jié)AC、BD，
∵在△ABC中，AE＝BE，BF＝CF，
∴EF為△ABC的中位線
∴。同理可得
又∵AC＝BD（添加條件），∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGH為菱形。
說明：若添加的條件：對(duì)角線互相垂直，那么四邊形為矩形；若添加的條件：對(duì)角線互相垂直且相等，則四邊形為正方形。
例3. 如圖3，四邊形ABCD中，AC＝6，BD＝8，且AC⊥BD。順次連結(jié)四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形；再順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)，得到四邊形……如此進(jìn)行下去得到四邊形。
（貴陽實(shí)驗(yàn)區(qū)2004中考題）
（1）證明：四邊形是矩形；
（2）寫出四邊形和四邊形的面積；
（3）寫出四邊形的面積；
（4）求四邊形的周長。
（1）證明：∵點(diǎn)、分別是AB、AD的中點(diǎn)，
∴是△ABD的中位線
∴，同理：
∴
∴四邊形是平行四邊形。
∵AC⊥BD，，
∴，即。
∴平行四邊形是矩形
（2）連結(jié)AC，∵順次連結(jié)四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)得到四邊形
∴則
同理可得：，
∴四邊形的面積四邊形ABCD的面積
∴四邊形的面積四邊形的面積；
（3）依次類推得：四邊形的面積為；
（4）由（1）得矩形的長為4，寬為3；∵矩形~矩形；
∴可設(shè)矩形的長為4x，寬為3x，則
解得∴矩形的周長
說明：有關(guān)相似多邊形的知識(shí)將在今后學(xué)習(xí)。
對(duì)例3的再探索：
（1）①當(dāng)n為奇數(shù)次時(shí)，四邊形的形狀是矩形；
②當(dāng)為偶數(shù)次時(shí)，四邊形的形狀是菱形。
（2）四邊形的面積為原四邊形ABCD的面積；
由例3得矩形的長為4，寬為3；矩形的周長
∵矩形~矩形；
∴可設(shè)矩形的長為4x，寬為3x，則
解得：；∴矩形的長，寬
∴矩形的周長
由上可知：矩形的周長
同理可得：矩形的周長
矩形的周長……因此得：
（3）當(dāng)n為奇數(shù)次時(shí)，四邊形的形狀是矩形；其周長的周長
因矩形的長為4，寬為3，由勾股定理得對(duì)角線
∴菱形的邊長
則菱形的周長
由矩形的長為2，寬為，那么由勾股定理得對(duì)角線
∴菱形的邊長
則菱形的周長
菱形的周長
菱形的周長……
②∴當(dāng)n為偶數(shù)次時(shí)，四邊形的形狀是菱形；其周長的周長
例4. O點(diǎn)是△ABC所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OB、OC，并把AB、OB、OC、CA的中點(diǎn)D、E、F、G依次連結(jié)起來，設(shè)DEFG能構(gòu)成四邊形。
（1）如圖當(dāng)O點(diǎn)在△ABC內(nèi)時(shí)，求證：四邊形DEFG是平行四邊形。
（2）當(dāng)O點(diǎn)移動(dòng)到△ABC外時(shí)，（1）的結(jié)論是否成立？畫出圖形并說明理由。
（3）若四邊形DEFG為矩形，則O點(diǎn)所在位置應(yīng)滿足什么條件，試說明理由。
證明：（1）（2）略，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)右圖自己寫出證明過程。（3）若四邊形DEFG為矩形，則O點(diǎn)所在位置應(yīng)在過A點(diǎn)且垂直BC的直線上（A點(diǎn)除外）。
理由：如圖過A點(diǎn)作BC的垂線MN交BC于K點(diǎn)。
設(shè)O點(diǎn)是MN上任意一點(diǎn)（A點(diǎn)除外），連結(jié)OB、OC，由（1）得四邊形DEFG是平行四邊形。
在△ABO中，DE∥OA，在△ABC中，DG∥BC，AK⊥BC
∴DE⊥DG，即∠EDG＝90° ∴平行四邊形DEFG是矩形。
例5. 在四邊形ABCD中，E為邊AB上一點(diǎn)，△ADE和△BCE是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，求證：四邊形PQMN為菱形。
證明：連結(jié)AC、BD。
∵△DAE和△CEB是等邊三角形
∴△AEC≌△DEB（SAS）∴AC＝BD
又∵P、Q、M、N是四邊形各邊中點(diǎn)
∴（三角形中位線定理）
∴PQ＝QM＝MN＝NP，∴四邊形PQMN為菱形。
例6. 如果等腰梯形的兩條對(duì)角線垂直，那么它的中位線的長和高相等
已知：在等腰梯形ABCD中，MN是中位線，AE⊥BC。
求證：MN＝AE
證明：取BC、AD的中點(diǎn)G、H，連結(jié)MG、GN、NH、HM
∴（三角形的中位線定理）∴四邊形MGNH是平行四邊形
又∵∴MG＝MH，∴MGNH是菱形
又AC⊥BD，∴∠GMH＝90°
∴菱形MGNH是正方形，MN＝GH，
∴AE＝MN
說明：以上的練習(xí)題中，有中點(diǎn)，可考慮利用中位線定理，構(gòu)造中點(diǎn)四邊形。然后運(yùn)用中點(diǎn)四邊形是平行四邊形且面積是原四邊形面積的一半的性質(zhì)進(jìn)行探索解題。
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