1.1勾股定理
一、勾股定理：
文字語言：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，（即勾2+股2=弦2）；
符號語言：在Rt△ABC中，a2+b2=c2（已知兩邊求第三邊）；
圖形語言：
幾何意義：
二、勾股數(shù)
三、熟記12至302
四、常見的模型
跟蹤訓(xùn)練
1．一直角三角形兩直角邊長分別為4和3，則斜邊長為(D)
A．8 B．7 C．6 D．5
2．如圖，在Rt△ABC中，斜邊BC＝10，則AB2＋AC2＝(D)
A．10 B．20 C．50 D．100
3．如圖，在△ABC中，AB⊥AC，BD是AC邊上的中線，AB＝5 cm，AD＝6 cm，則BC的長是(A)
A．13 cm B．12 cm C．169 cm D．61 cm
4．下列說法正確的是(D)
A．若a，b，c是△ABC的三邊，則a2＋b2＝c2
B．若a，b，c是Rt△ABC的三邊，則a2＋b2＝c2
C．若a，b，c是Rt△ABC的三邊，∠A＝90°，則a2＋b2＝c2
D．若a，b，c是Rt△ABC的三邊，∠A＝90°，則c2＋b2＝a2
5．(教材P4習(xí)題T4變式)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD是角平分線，AD＝6，則BC的長度為16．
6．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.
(1)若a＝8，b＝15，求c.
(2)若a∶b＝3∶4，c＝25，求a，b.
解：(1)在△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，
由勾股定理，得c2＝a2＋b2，
所以c2＝82＋152＝289.所以c＝17.
(2)因為a∶b＝3∶4，所以可設(shè)a＝3k，則b＝4k.
在△ABC中，∠C＝90°，c＝25，
所以a2＋b2＝c2，即(3k)2＋(4k)2＝252.
所以k＝5(負(fù)值舍去).
所以a＝15，b＝20.
7．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，AB＝13，BD＝5，AC＝15.
(1)求AD的長．
(2)求BC的長．
解：(1)因為AD⊥BC，
所以∠ADB＝∠CDA＝90°.
在Rt△ADB中，因為∠ADB＝90°，
所以AD2＋BD2＝AB2.
所以AD2＝AB2－BD2＝144.
因為AD＞0，所以AD＝12.
(2)在Rt△ADC中，因為∠CDA＝90°，
所以AD2＋CD2＝AC2.
所以CD2＝AC2－AD2＝81.
因為CD＞0，所以CD＝9.
所以BC＝BD＋CD＝5＋9＝14.
8．如圖，以直角三角形的三邊為邊長向外作三個正方形A，B，C.若SA＝26，SB＝18，則SC＝8．
9．(1)如圖，做一個長80 cm，寬60 cm的長方形木框，需在相對角的頂點(diǎn)釘一根加固木條，則木條的長為100cm.
(2)如圖，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”．他們僅僅少走了4步路(假設(shè)2步為1 m)，卻踩傷了花草．
10．已知一個直角三角形的三邊長分別為a，b，c，若a2＝25，b2＝144，則c2＝169或119．（分類討論思想：依據(jù)：不確定斜邊）
11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，則Rt△ABC的斜邊AB上的高CD的長是(B)
12．如圖，已知S1，S2和S3分別是以Rt△ABC的斜邊AB及直角邊BC和AC為直徑的半圓的面積，則S1，S2和S3滿足的關(guān)系式為(B)
A．S1＜S2＋S3 B．S1＝S2＋S3 C．S1＞S2＋S3 D．S1＝S2·S3
13．(2020·太原期中)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4.以AB為邊在點(diǎn)C同側(cè)作正方形ABDE，則圖中陰影部分的面積為19．
14．(教材P4習(xí)題T3變式)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是47．
解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D.
設(shè)BD＝x，則CD＝28－x，
在Rt△ABD中 ，AB＝30，BD＝x，
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝302－x2，
在Rt△ACD中，AC＝26，CD＝28－x，
由勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝262－(28－x)2，
所以302－x2＝262－(28－x)2，解得x＝18.
所以AD2＝302－x2＝302－182＝576.
所以AD＝24.
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上高AD＝12，試求△ABC的周長．
解：分兩種情況討論：
①當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖1，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝152－122＝92，所以BD＝9.
在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝132－122＝52，所以CD＝5.
所以BC＝5＋9＝14.
所以△ABC的周長為15＋13＋14＝42.
②當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖2，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2＝152－122＝92，所以BD＝9.
在Rt△ACD中，CD2＝AC2－AD2＝132－122＝52，所以CD＝5.
所以BC＝9－5＝4.
所以△ABC的周長為15＋13＋4＝32.
綜上所述，△ABC的周長為42或32.
