試卷說明：AT 表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，｜A｜表示方陣A的行列式。
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。
1．設(shè)A是3階方陣，且｜A｜＝－1，則｜2A｜＝（ ）
A．－8 B．－2
C．2 D．8
2．設(shè)矩陣A＝ ，則A－1＝（?。?nbsp;
A． B．
C． D．
3．設(shè)A是n階方陣，｜A｜＝0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（?。?nbsp;
A．秩（A）
B．A有兩行元素成比例
C．A的n個(gè)列向量線性相關(guān)
D．A有一個(gè)行向量是其余n-1個(gè)行向量的線性組合
4．若向量組α1，α2，…，αs的秩為r(r
A．多于r個(gè)向量的部分組必線性相關(guān) B．多于r個(gè)向量的部分組必線性無關(guān)
C．少于r個(gè)向量的部分組必線性相關(guān) D．少于r個(gè)向量的部分組必線性無關(guān)
5．若α1，α2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同解，則Ax=b必有一個(gè)解是（?。?nbsp;
A．α1＋α2 B．α1－α2
C．α1－2α2 D．2α1－α2
6．若齊次線性方程組 的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量，則t＝（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
7．設(shè)A，B均為n階矩陣，且秩（A）＝秩（B），則必有（?。?nbsp;
A．A與B相似 B．A與B等價(jià)
C．A與B合同 D．｜A｜＝｜B｜
8．設(shè)3階矩陣A的三個(gè)特征值是1，0，－2，相應(yīng)的特征向量依次為 ， ， ，
令P＝ ，則P－1AP＝（?。?nbsp;
A． B．
C． D．
9．設(shè)λ0是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則2A－1必有一個(gè)特征值是（?。?nbsp;
A． λ0 B．
C．2λ0 D．
10．二次型f(x1,x2,x3,x4)= 的秩為（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。
11．設(shè)D＝ ，Aij表示D中（i,j）元素（i,j=1，2，3，4）的代數(shù)余子式，則
A21＋A22＋A23＋A24＝______________________.
12． ＝______________________.
13．若A，B均為3階矩陣，且｜A｜＝2，B＝－3E，則｜AB｜＝_____________________.
14．若向量組α1＝（1，0，0），α2＝（2，t,4）,α3=(0,0,6)線性相關(guān)，則t=_____________.
15．設(shè)矩陣A＝ ，其中aibi≠0(i=1,2,3).則秩（A）＝_______________.
16．設(shè)A是n階矩陣，秩（A）
17．設(shè)A為n階矩陣，若齊次線性方程組Ax=0只有零解，則非齊次線性方程組Ax=b的解的個(gè)數(shù)為_____________________.
18．已知n階方陣A與B相似，且B2＝E.則A2＋B2＝_____________________.
19．設(shè)A為n階矩陣，若行列式｜5E－A｜＝0，則A必有一特征值為__________________.
20．二次型 的規(guī)范形是_____________________.
三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題8分，共48分）
21．計(jì)算行列式 的值.
22．設(shè)A＝ ，B＝ ，矩陣X滿足方程AX＝BT，求X.
23．求下列向量組的秩和一個(gè)最大線性無關(guān)組.
α1＝ ，α2＝ ，α3＝ ，α4＝ ，α5＝ ，
24．確定λ，μ的值，使線性方程組 有解.
25．已知向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(1，0，1)T，求一單位向量α3，使α3與α1，α2都正交.
26．用正交變換化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的正交變換.
四、證明題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
27．設(shè)A是n階方陣，｜A｜≠0，證明｜A*｜=｜A｜n-1.
28．已知n階方陣A的各行元素之和均為a，證明向量x=(1，1，…，1)T為A的一個(gè)特征向量，并求相應(yīng)的特征值.
