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全國(guó)2007年7月高等教育自學(xué)考試線性代數(shù)試題
課程代碼：02198

試卷說(shuō)明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，在A可逆時(shí)，A-1表示A的逆矩陣，||α||表示向量α的長(zhǎng)度。
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。
1．設(shè)abc≠0，則三階行列式 的值是（　　?。?br>A．a(chǎn) B．-b
C．0 D．a(chǎn)bc
2．若三階方陣A等價(jià)于矩陣 ，則A的秩是（　　?。?br>A．0 B．1
C．2 D．3
3．設(shè)A為n階方陣，且A3=E，則以下結(jié)論一定正確的是（　　　）
A．A=E B．A不可逆
C．A可逆，且A-1=A D．A可逆，且A-1=A2
4．設(shè)A為3階矩陣，若|A|=k，則|-kA|是（　　?。?br>A．-k4 B．-3k
C．-k D．k3
5．設(shè)α1，α2，α3線性相關(guān)，則以下結(jié)論正確的是（　　　）
A．α1，α2一定線性相關(guān) 
B．α1，α3一定線性相關(guān)
C．α1，α2一定線性無(wú)關(guān) 
D．存在不全為零的數(shù)k1，k2，k3使k1α1+k2α2+k3α3=0
6．設(shè)u1, u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解，則以下結(jié)論正確的是（　　?。?br>A．u 1+ u 2是Ax=b的解 B．u 1- u 2是Ax=b的解
C．k u 1是Ax=b的解（這里k≠1） D．u 1- u 2是Ax=0的解
7．設(shè)3階矩陣A的特征值為1，3，5，則A的行列式|A|等于（　　?。?nbsp;
A．3 B．4
C．9 D．15
8．設(shè)矩陣A= ，則A是（　　　）
A．正交矩陣 B．正定矩陣
C．對(duì)稱矩陣 D．反對(duì)稱矩陣
9．二次型f(x1, x2)= 的矩陣是（　　?。?br>A．  B．
C．  D．
10．設(shè)ξ1，ξ2是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量，則以下結(jié)論正確的是（　　?。?br>A．ξ1+ξ2是λ對(duì)應(yīng)的特征向量 B．2ξ1是λ對(duì)應(yīng)的特征向量
C．ξ1,ξ2一定線性相關(guān) D．ξ1，ξ2一定線性無(wú)關(guān)
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
 請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。
11．矩陣A= 的秩為_(kāi)____________.
12．排列12453的逆序數(shù)為_(kāi)____________.
13．設(shè)A，B為3階方陣，且|A|=9，|B|=3，則|-2AB-1|=_____________.
14．矩陣A滿足A3=0，則（E-A）-1=_____________.
15．已知向量α1=[3，5，8，8]，α2=[-1，5，2，0]，則 _____________.
16．設(shè)A為m×n矩陣，且A的n個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，則矩陣AT的秩為_(kāi)____________.
17．設(shè)A是秩為2的4×5矩陣，則齊次線性方程組Ax=0的解集合中線性無(wú)關(guān)的解向量個(gè)數(shù)為_(kāi)____________.
18．設(shè)P為n階正交矩陣，x是一個(gè)n維列向量，且||x||=3，則||Px||=_____________.
19．設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣，α=[1，1，3]T，β=[4,5,a]T分別是屬于A的相異特征值λ1與λ2的特征向量,則a=_____________.
20.設(shè)二次型f(x1, x2, x3)= 的正慣性指數(shù)為p,負(fù)慣性指數(shù)為q，則p-q=_____________.
三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題8分，共48分）
21．計(jì)算行列式
22．設(shè)A= ，B為3階矩陣，且它們滿足A-1B=6E+B，求B.

23．求向量組α1=[2，1，1]，α2=[4，2，1]，α3=[5，2，1]，α4=[1，0，1]的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，并將其它向量用此最大線性無(wú)關(guān)組線性表示.
24．求下列齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，并以此寫(xiě)出其結(jié)構(gòu)式通解.
      
25．設(shè)3階矩陣A的特征值為1，2，3，相應(yīng)的特征向量為 ，求A.
26．已知二次型 的秩是2.
 （1）求參數(shù)a.
 （2）將 化為規(guī)范形.
四、證明題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）
27．設(shè)向量組α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)，證明2α1+3α2，α2+4α3，5α3+α1線性無(wú)關(guān).
28．設(shè)A為n階正定矩陣，B是與A合同的n階矩陣，證明B也是正定矩陣.

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