一、數(shù)的概念
整數(shù)是小學階段主要的學習內(nèi)容．學生對整數(shù)的有關(guān)知識的學習，最感困難的是多位數(shù)的讀寫，特別是含有0的多位數(shù)，最容易讀錯和寫錯．整數(shù)的知識內(nèi)容還應包括“數(shù)的整除”，它涉及的概念與法則較多，如約數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等概念，還有求最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)等方法．對小學生來說有些概念比較抽象，難以理解和記憶．其中有的很容易混淆，因此解題時經(jīng)常出錯．
（1）整數(shù)與自然數(shù)
例 1 判斷題
?。?）整數(shù)就是自然數(shù)和0．（ ）
?。?）自然數(shù)就是1、2、3、4、5等等這樣的一列數(shù)．（ ）
?。?）最小的一位數(shù)是0．（ ）
?。?）3是由3和0組成的．（ ）
[解]（1）×（2）×（3）×（4）×
[常見錯誤]
?。?）√（2）√（3）√（4）√
[分析]
小學教科書里曾說過“自然數(shù)和零都是整數(shù)”，但這并不是給“整數(shù)”下的一個定義，而只是指出自然數(shù)和0都屬于“整數(shù)”的范圍．然而，有些人以為這就是整數(shù)的定義，并把它倒過來理解，說成“整數(shù)就是自然數(shù)和0”，這樣就把整數(shù)這一概念的外延縮小了，因為整數(shù)不僅包括自然數(shù)和0，而且還包括負整數(shù)。
小學教科書里說“我們數(shù)物體時，用來表示物體個數(shù)的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11…叫做自然數(shù)．”這里自然數(shù)只指這一列數(shù)中的一個個的數(shù)，1、2、3、4、5等等這樣的一列數(shù)叫做“自然數(shù)列”，“自然數(shù)”與“自然數(shù)列”是兩個不同的概念。
十進位制記數(shù)法，是利用1、2、3、4、5、6、7、8、9、0這十個數(shù)字符號，結(jié)合數(shù)位來記數(shù)的，并且規(guī)定了一個數(shù)最左邊的數(shù)位（數(shù)的最高位）不能為0，即不允許出現(xiàn)0253、00368的形式（編碼除外）的數(shù)．像 0253、00368之類的數(shù)碼也不能稱之為四位數(shù)、五位數(shù)．否則，對于一個數(shù)就無法確定它是幾位數(shù)，也無法正確記數(shù)了．對于一位數(shù)來說，它的最高位是個位，依據(jù)最高位不應為0的規(guī)定，最小的一位數(shù)就當然是1，而不是0了。
數(shù)的組成是在數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，3是1和2組成或2和1組成，這里的1是1個計數(shù)單位，2是2個計數(shù)單位．0雖然也是一個數(shù)，但它不是計數(shù)單位，也不含計數(shù)單位．無論多少個0，都不可能組成一個自然數(shù)．也就是任何一個自然數(shù)，都不可能由0來組成。
例 2 填空題
?。?）個級的單位是（ ），億級的單位是（ ）。
?。?）和一萬相鄰的兩個數(shù)分別是（ ）和（ ）。
[解]（1）個級的單位是（一），億級的單位是（億）。
?。?）和一萬相鄰的兩個數(shù)分別是（9999）和（10001）。
[常見錯誤]
?。?）個級的單位是（個位），億級的單位是（億級），或個級的單位是
?。▊€、十、百、千），億級的單位是（億、十億、百億、千億）。
?。?）和一萬相鄰的兩個單位分別是（十萬位）和（千位）。
[分析]
錯解（1）的前種錯誤是把計數(shù)單位誤填成了數(shù)位，這主要是對數(shù)位和計數(shù)單位的概念不清楚造成的．后種錯誤則把各個數(shù)位上的計數(shù)單位與每一級的計數(shù)單位混淆了．個級的單位應該是“一”，萬級的單位是“萬”，億級的單位是“億”。
小數(shù)的概念本來是建立在分數(shù)概念的基礎(chǔ)之上的，但考慮小學生的年齡特點，小學教材一般是先學小數(shù)，再學分數(shù)．這給小數(shù)意義的理解帶來一定的困難，其中對于小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律；對于有限小數(shù)和無限小數(shù)的認識；對于循環(huán)小數(shù)的認識及求近似值的方法等，都是學生比較難以理解和掌握的，因此，在解題中常常出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤。
例 1
?。?）一個數(shù)由4個10、3個1、3個0.1、5個0.01組成，這個數(shù)是（如果把這個數(shù)擴大1000倍，應寫作（ ）。
?。?）0.85的計數(shù)單位是（ ），把這個數(shù)擴大1000倍得（ ）。
?。?）由 32個1，57個0.001組成的數(shù)是（ ），保留一位小數(shù)是（ ）。
?。?）讀出下面各數(shù)：
7.005， 120.28。
?。?）在 0. 、0.33、2.1、2.1這四個數(shù)中，（ ）是純小數(shù)；是帶小數(shù)；（ ）是純循環(huán)小數(shù)；（ ）是混循環(huán)小數(shù)。
[解]（1）是43.35，寫作43350。
?。?）是0.01，得850。
（3）是32.057，是32.1。
（4）讀作七點零零五或七又千分之五；
讀作一百二十點二八或一百二十又百分之二十八。
[分析]
產(chǎn)生上述錯誤的主要原因是對于小數(shù)的組成、小數(shù)的計數(shù)單位沒有很好掌握，對于純小數(shù)、帶小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)的概念不能很好的區(qū)分．小數(shù)的數(shù)位順序表是：
如果掌握了這個數(shù)位順序表，（1）題就不會寫成403.305，因為依題意十位上是4，個位是3，十分位上是3，百分位上是5，即 43.35．（2）題 0.85雖由8個0.1和5個0.01組成，但 0.85的計數(shù)單位應該是0.01，因為一個小數(shù)的計數(shù)單位應是小數(shù)部分最小數(shù)位的計數(shù)單位．（3）題因為32個1是32，57個0.001是0.057，合起來就是32.057，而不應是32.57。
小數(shù)的讀法與整數(shù)是不相同的，小數(shù)中的整數(shù)部分，可按整數(shù)的讀法去讀，而小數(shù)部分一般只按順序依次讀出各位上的數(shù)字．如7.005要讀成七點零零五，要讀出兩個零．120.28要讀成一百二十點二八，不讀成二十八．如果按數(shù)位讀，7.005就是七又千分之五，120.28就是一百二十又百分之二十八。
小數(shù)中的純小數(shù)和帶小數(shù)是根據(jù)整數(shù)部分是否有數(shù)來確定的，而純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)是從循環(huán)節(jié)的位置來區(qū)分的，循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫純循環(huán)小數(shù)；循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫混循環(huán)小數(shù)．所
[分析]
兩個數(shù)相除，判斷它的商是不是循環(huán)小數(shù)，應該看除到小數(shù)部分后，它的余數(shù)是否重復出現(xiàn)．余數(shù)重復出現(xiàn)商才會不斷重復出現(xiàn)，若只有商重復出現(xiàn)幾次，還不一定是循環(huán)小數(shù)．如上例除到小數(shù)第三位，連續(xù)出現(xiàn)了三個2，
[常見錯誤]
?。?）題找不到合適的數(shù)。
?。?）（3）題順序排錯或從小到大排列。
[分析]
（3）題的關(guān)鍵是π，它的值是3.1415…。
例 5（1）一個數(shù)，如果將它的小數(shù)點向左移動一位，得到的新數(shù)比原來的數(shù)少3.6．原來的數(shù)是（ ）。
?。?）最小的三位小數(shù)去掉小數(shù)點后，再縮小100倍是（ ）。
（3）把 3.14159的小數(shù)點先向右移動三位，再在后面添上兩個零，原數(shù)就（ ）。
（4）把3.09擴大（ ）倍是3090。
[解]（1）4。
（2）0.01。
?。?）擴大1000倍。
?。?）1000。
[常見錯誤]
?。?）36。
?。?）0.001。
?。?）擴大100000倍。
?。?）100。
[分析]
如果沒有很好地掌握小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律，就很容易出現(xiàn)上述錯誤．如（1）題，因為小
整數(shù)的小數(shù)點是在個位右邊，因為沒有小數(shù)部分就不必記上．（2）題最小的三位小數(shù)是0.001，去掉小數(shù)點后變?yōu)?，1記上小數(shù)點是1.，再縮小100倍，即小數(shù)點向左移動兩位，應該是0.01，而不是0.001；又如（4）題3.09變成3090，小數(shù)點是向右移動三位，是擴大了1000倍，而不是100倍。
小數(shù)末尾添上0或去掉0，小數(shù)的大小不變，理解了這條性質(zhì)，那么（3）題中的“再在后面添上兩個零”，并沒有引起小數(shù)大小的變化，所以原數(shù)并沒有擴大100000倍，只是因為小數(shù)點向右移動三位而擴大了1000倍。
小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化規(guī)律，既難理解，又易混淆．移動的方向與大小變化是相關(guān)的，移動的位數(shù)與變化的倍數(shù)是相應的．這些變化規(guī)律必須牢固掌握。
[解]（1）4.263
?。?）3.30。
（3）0.90
?。?）0.455．
[常見錯誤]
?。?）4.262。
（2）3.3。
（3）0.9。
?。?）0.454。
[分析]
求近似值的方法，一般是采用“四舍五入”法，（1）（4）題都是要保留三位小數(shù)，那么要根據(jù)第四位小數(shù)“四舍五入”．4.2626…、0.4545…的第四位都是五或五以上的數(shù)，所以去掉尾數(shù)后必須向第三位小數(shù)進一，4.262和0.454都是因為沒有“進一”而出錯。
在求近似值里，一般地說3.0比3精確，在表示近似值的情況下，十分位的0不能去掉．因此，在（2）（3）題里，3.30是由3.295保留兩位小數(shù)得到，0.90是由0.89保留兩位小數(shù)得到它們的0都不能去掉，在這里如果寫成3.3和0.9就是錯誤的。
例 7 判斷題
?。?）去掉小數(shù)點后面的零，小數(shù)的大小不變．（ ）
?。?）2.666是循環(huán)小數(shù)．（ ）
（3）在小數(shù)點后面添上零或去掉零，小數(shù)的大小不變．（ ）
（4）把7.08的小數(shù)點去掉后，比原來的數(shù)擴大100倍．（ ）
[解]
（1）20897600000≈209億。
31548200000≈315億。
（2）20897600000=208.976億。
31548200000=315.482億。
?。?）20897600000=208.976億≈208.98億。
31548200000=315.482億≈315.48億
[常見錯誤]
?。?）20897600000≈208億。
31548200000=315億。
?。?）20897600000≈209億。
31548200000≈315億。
?。?）30897600000≈208.98億。
31548200000≈315.48億。
[分析]
這三道題都要求寫成用億作單位的數(shù)，但具體要求是不相同的．（1）題是省略億后面的尾數(shù)，求它們的近似數(shù)，那么要看它的千萬位是什么數(shù)，然后用“四舍五入”法求出近似數(shù)．20897600000的千萬位是9，省略尾數(shù)后應該向億位“進一”，所以寫成208億是錯誤的，31548200000千萬位是4，省略尾數(shù)后不須向億位進一，應該是315億，但這只是近似數(shù)，應該用“≈”，錯解錯在用了“=”。
?。?）題是改寫成用“億”作單位的數(shù)，不是求近似數(shù)，所以，分別寫成09億和315億都是不合題意的。
（3）題改寫成用“億”作單位的數(shù)后再保留兩位小數(shù)，省略了前一步也是不合題意的，應按題目要求進行改寫。
對分數(shù)和百分數(shù)的認識比整數(shù)難多了，我們這里講的分數(shù)和百分數(shù)主要包括分數(shù)、百分數(shù)的意義；分數(shù)的性質(zhì)；分數(shù)大小的比較；分數(shù)、百分數(shù)和小數(shù)的互化等．如果沒有很好地建立分數(shù)和百分數(shù)的概念，那么解答有關(guān)分數(shù)、百分數(shù)的概念題、比較分數(shù)的大小或進行分數(shù)、百分數(shù)和小數(shù)的互化，都會經(jīng)常出現(xiàn)錯誤．但對分數(shù)和百分數(shù)的理解不是孤立地建立起來的，它是通過比較分數(shù)大小、進行分數(shù)、百分數(shù)和小數(shù)的互化等過程中逐步加深認識的。
例 1（1）判斷題：把單位“1”分成若干份，表示這樣一份或者幾份的數(shù)，叫做分數(shù)．（ ）
?。?1）題判為“正確”的原因是對于分數(shù)的基本性質(zhì)中的“零除外”沒有引起足夠的重視。
（12）題也是因為沒有很好掌握分數(shù)的基本性質(zhì)，誤認為分子加上8，分母也要加上8．而要使分數(shù)的大小不變，分數(shù)的分子和分母都應乘以或除
[常見錯誤]
這類題的解答錯誤是填不出或填錯了數(shù)．
[分析]
產(chǎn)生錯誤的主要原因是對分數(shù)（包括成數(shù)）、小數(shù)、百分數(shù)的互化；除法與分數(shù)的關(guān)系；假分數(shù)與帶分數(shù)的互化；分數(shù)的基本性質(zhì)及比與除法的關(guān)系等知識沒有理解和掌握．
如以（1）題為例，七成五就是十分之七點五即為75％，化成分數(shù)為
F=10÷10÷12÷13÷14．
[解]
先分為大于10和小于10的兩大類：大于10的有A、D、E；小于10的有B、C、F，而大于10的A不會超過12；D是把10擴大10倍，再擴大100倍，再擴大1000倍，再擴大10000倍；E是把10擴大11倍，再擴大12倍，再擴大13倍，再擴大14倍．所以D＞E＞A．而小于10的B不會小于8；C是把10縮小10倍，再縮小100倍，再縮小1000倍，再縮小10000倍；F是把10縮小11倍，再縮小12倍，再縮小13倍，再縮小14倍．所以B＞F＞C．即（D）＞（E）＞（A）＞（B）＞（F）＞（C）．
[常見錯誤]
?。–）＞（E）＞（A）＞（D）＞（F）＞（B）．
[分析]
（1）加法和減法
例 1 整數(shù)加法的意義是什么？整數(shù)減法的意義是什么？
[解]
整數(shù)加法的意義：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算，叫做加法．
整數(shù)減法的意義：已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法．
[常見錯誤]
整數(shù)加法的意義：求和的運算叫做加法．或把幾個數(shù)合并成一個數(shù)的運算，叫做加法．
整數(shù)減法的意義：求剩余的運算叫做減法．
[分析]
定義應該是嚴格的，求和是用加法，求剩余也是用減法，但不能說求和就叫做加法，求剩余就叫做減法．另外，把幾個數(shù)合并成一個數(shù)，實際上都是兩兩合并，如3+5+8，是先算3+5=8，再算8+8=16，所以把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算定義為加法是確切的．
例 2 （1）8+2.16．
?。?）7.43-5．
（3）0.008+1.2．
[解]（1）8+2.16＝10.16．（2）7.435＝2.43．
[分析]
上述錯誤主要是在整、小數(shù)的加減計算中，沒有把相同的數(shù)位對齊，產(chǎn)生錯誤的原因有：①對小數(shù)的數(shù)位概念沒有理解和掌握；②小數(shù)加減法法則掌握不牢；③受整數(shù)加減法法則的影響．因為整數(shù)加減法中相同的數(shù)位對齊，即是末位數(shù)字對齊，因此誤認為小數(shù)加減法也是末位數(shù)字對齊，造成一定的干擾．實際上整數(shù)和小數(shù)加減法都要把相同的數(shù)位對齊，因為整數(shù)的末位都是個位數(shù)，只要把末位數(shù)對齊，那么相同的數(shù)位就對齊了．而小數(shù)的末位數(shù)的數(shù)位是不固定的，不能用末位數(shù)對齊的方法使相同的數(shù)位對齊．最好的辦法是把小數(shù)點對齊．小數(shù)點對齊了，相同的數(shù)位也就對齊了盡管上面的（1）（2）題中的“8”和“5”都是整數(shù)，但由于整數(shù)的小數(shù)點是在個位的右
[分析]
整、小數(shù)加減計算，在進位加法和退位減法中，忘記加上進位“1”或忘記減去退位“1”，這是經(jīng)常發(fā)生的計算錯誤．上例中的（1）、（2）、（3）題都是這類型錯誤，特別是第（2）題的十位是0減5，只注意了退1當10，減5得5，忘記了先要減去個位不夠減退的“1”，應該是9減5得4．第（4）題的千分位不夠減，應從百分位退“1”，錯解中是直接把5寫下來，因此百分位沒有減去退的1，因此誤把“4”寫成了“5”．
例 4（1）4.35+ 5.65．
（2）64.7-63.9．
[解]
?。?）4.35+5.65=10．（2）64.7-63.9=0.8．
位的0；錯解（2）得數(shù)8應該是在十分位上的8，應記上小數(shù)點，并在整數(shù)部分寫0，得數(shù)00.8又在整數(shù)部分多寫了一個0，因為整數(shù)部分沒有數(shù)寫一個0就可以了，寫多了就是多余的了．所以，在小數(shù)計算里要特別注意0的處理．
例 5（1）3005-632．
?。?）40003-21208。
?。?）9-4.25．
[解]（1）3005-632=2373．（2）40003-21208＝18795。
[分析]
在加減計算中，減法難于加法，特別是減法中有連續(xù)退位的，如果要隔位退位就更難了．上面三例都是要隔位退位的．（1）題十位不夠減要從千位退一；（2）題個位不夠減要從萬位退一；（3）題百分位不夠減要從個位退一．因此由于一時不好填什么數(shù)就出現(xiàn)了像（1）、（3）題那樣把減數(shù)直接寫下來的錯誤；或像（2）題那樣從萬位退一到千位、百位、十位都作10的錯誤．如果掌握了退位的方法就不會發(fā)生類似的錯
[分析]
在連加計算中，因為需要計算的數(shù)多，在進位時，有時不止向前一位進“1”，有時需要進“2”或“3”或更大的數(shù)．但學生對“滿十進一”的印象比較深刻，誤認為都是向前一位進“1”，因此出現(xiàn)上述錯誤．為了防止這類錯誤，進位時，可以把進上幾記上一個小數(shù)字，以防忘記．
分數(shù)的四則計算，由于分數(shù)加減法中的通分問題，帶分數(shù)的加減法，分數(shù)乘除法中的約分問題等都不容易一下理解和掌握，因此計算常常出現(xiàn)錯誤。在分數(shù)四則計算中，很多計算過程都需口算，口算的錯誤率往往高于筆算。因此，分數(shù)四則計算的錯誤率一般要高于整小數(shù)的四則計算。再加之分數(shù)四則計算的復雜程度遠遠超過了整、小數(shù)的四則計算，所以，要熟練、準確地進行分數(shù)四則計算確實是不容易的。
?。?）加法和減法
為什么出現(xiàn)這樣的錯誤呢？第一，受整、小數(shù)加減法的影響，誤認為把數(shù)加起來就是它們的結(jié)果，于是產(chǎn)生了分子加分子、分母加分母的錯誤；第二，分數(shù)意義、分數(shù)單位的概念模糊，或者基本上沒有弄清這些概念；第三，分數(shù)加法法則沒有掌握。
?。鄯治觯?/p>
這種錯誤在剛開始學習異分母分數(shù)加法時經(jīng)常發(fā)生。錯解（1）是通分時分母擴大了，而分子沒有擴大；（2）題雖然計算正確，但最后結(jié)果是假分數(shù)，應化成帶分數(shù)。在小學階段都要求這樣做。
例 3
例 1 整數(shù)乘法的意義是什么？
[解]
整數(shù)乘法的意義：求幾個相同加數(shù)和的簡便運算，叫做乘法
[常見錯誤]
整數(shù)乘法的意義：求積的運算．
[分析]
和前面分析的一樣，定義是嚴格的，求積是用乘法計算，但我們不能說求積就是乘法．
例 2 小數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同嗎？
[解]不完全相同．
[常見錯誤]
相同．
[分析]
因為小數(shù)乘法有兩種情況．一是小數(shù)乘以整數(shù)，它的意義與整數(shù)乘法意義相同，就是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算．如 3.5×4，就是求4個3的和的簡便運算；二是一個數(shù)乘以小數(shù)，它的意義是求這個數(shù)的十分之幾百分之幾，千分之幾…，就不能理解為求相同加數(shù)的和的簡便運算了．如×0.23，就是求3.5的百分之二十三是多少．所以，不能說小數(shù)乘法的意與整數(shù)乘法的意義相同．
例 3（1）216×28．
（2）345×308．
[解]（1）216×28=6048．（2）345×308＝106260．
[分析]
多位數(shù)的乘法計算，部分積的位置錯誤是經(jīng)常發(fā)生的，如（1）題中乘數(shù)十位上的“2”與216相乘得432，是432個10，即4320，所以2應該寫在十位上．（2）題中乘數(shù)百位上的“3”與345相乘得1035，是即103500，所以5應該寫在百位上．關(guān)鍵是要記住“用乘數(shù)哪乘，乘得的數(shù)的末位就要和那一位對齊”．
例 4（1）801×5
（2）2008×6．
?。?）370×20．
（4）4100×50．
[解]
?。?）801×5=4005。（2）2008×6=12048。
[分析]
被乘數(shù)中間有0或被乘數(shù)和乘數(shù)末尾有0的乘法是多位數(shù)乘法中的難點。錯解（1）沒有用5與被乘數(shù)的0相乘，被乘數(shù)的8是在百位上，表示8個百，與 5相乘應得40個百，即 4個千，4要寫在千位，現(xiàn)在錯把4寫在了百位上，原因是漏乘了“0×5=0”這一步。同理錯解（2）也是漏乘了“0×6”（10位上的0）和“0×6”（百位上的0）兩步。
?。?）、（4）題被乘數(shù)和乘數(shù)末尾都有0，計算時只要將0前面的數(shù)相乘，然后再看被乘數(shù)和乘數(shù)末尾共有幾個0，就在積的末尾也添上幾個0。如370×20洗用37×2=74，再添上兩個0得7400。4100×50，先用41×5=205，再添上三個0得205000。其理由是因為4100看成41，縮小100倍，50看成5縮小10倍，那么41×5的積比4100×50的積也縮小了100×10=1000倍，所以要將41×5的積擴大1000倍，即添上三個0。如果明白了這個道理就不會出現(xiàn)少添0或多添0的錯誤。
例 53.18×16。
[解]
3.18×16＝50.88。
[分析]
積里忘記點上小數(shù)點，這種錯誤比加減法里忘記點上小數(shù)點的錯誤要多，因為做小數(shù)加減時，可以邊計算邊點上小數(shù)點，而做小數(shù)乘法時，則需做完乘法后，再在積里點上小數(shù)點。這樣很容易忘記在積里點上小數(shù)點。
例 6（1）3.6×4.8。
?。?）1.75×3.4。
?。?）0.34×0.26。
?。?）0.73×0.08。
[解]（1）3.6×4.8=17.28。（2）1.75×3.4=5.95。
[分析]
小數(shù)乘法計算，最容易出現(xiàn)的錯誤是積里小數(shù)點的位置點錯。（1）題錯把積里的小數(shù)點和因數(shù)里的小數(shù)點對齊，這是因為：①受小數(shù)加減法‘小數(shù)點對齊”的影響；②小數(shù)乘以整數(shù)積里的小數(shù)點和被乘數(shù)的小數(shù)點也是對齊的，如 3.6×48=172.8；③正好3.6×4.8中被乘數(shù)和乘數(shù)的小數(shù)點是對齊的，因而粗心者很容易不自覺地把積里的小數(shù)點也與它們的小數(shù)點對齊。（2）題應該是在積里先點上小數(shù)點，再去掉小數(shù)末尾的0。不能先去掉末尾的0再數(shù)數(shù)位點上小數(shù)點。
?。?）題積里的小數(shù)位數(shù)不夠要用0補足。積里小數(shù)點的確定是“看因數(shù)一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小數(shù)點。位數(shù)不夠的，要在前面用0補足”。
（4）題錯把0.08看成一位小數(shù)，誤認為被乘數(shù)和乘數(shù)一共是三位小數(shù)，所以在積里也就錯誤地點上三位小數(shù)。
例 7 張大媽到菜場買白菜2.7千克，每千克價1.87元，應付多少元？
（3）除法
例 1（1）3286÷44。
（2）3286÷46
?。?）780÷15。（4）165÷24。
[解]（1）3286544÷74……30。
[分析]
上述各題都是試商不準而造成計算錯誤，因為商一般是“試”出來的，沒有固定的法則，很難一次試準。為了提高試商的準確性，一般的教材是采用把除數(shù)用“四舍五入”法看成整十或整百的方法試商，但是用這種方法試商，有幾個地方值得注意。這里我們重點只研究除數(shù)是兩位數(shù)的除法：
從（1）、（2）題來看，用“四舍五入”法看成整十數(shù)后，比原除數(shù)增加或減少的數(shù)較大時如（44看成40就少了4；46看成50也多了4），很可能出現(xiàn)試商不準的現(xiàn)象。如果（1）題改為3286÷41，那么把41看成40試商8就準了；（2）題改為3286÷49，那么把49看成50試商6也準了。因此，凡除數(shù)個位數(shù)是4、5、6的，采用“四舍五入”法試商，很可能出現(xiàn)初商過大或過小的現(xiàn)象，即“四舍”試商可能初商過大；“五入”試商可能初商過小。
從（3）、（4）題來看，它們試商的準確性更?。?）題是初商2不準而要改5；（4）題是初商8不準，而要改商6。這是什么原因呢？這主要是因為除數(shù)十位上的數(shù)較小的緣故，如果除數(shù)十位上的數(shù)是1或2，個位上又是4、5、6，那么用“四舍五人”法試商就很不準確了。
因此，除數(shù)十位上的數(shù)愈小，把它看作整十數(shù)試商的準確性就愈小。我們可以用提高十位數(shù)是1、2的兩位數(shù)乘以一位數(shù)口算能力的方法，使這類題的試商更準確，即直接用口算求商，不必再把除數(shù)“四舍五人”看成整十數(shù)
例 2（1）7622÷37。
?。?）7313÷43。
?。?）2500÷20。
[解]（1）7622÷37=206。
[分析]
漏掉商中間或商末尾的零是多位數(shù)除法中常見的錯誤。除法法則中規(guī)定“哪一位不夠商1，就在那一位上寫0”，為了避免上述錯誤的產(chǎn)生，要強調(diào)“求出商的最高位后，除到被除數(shù)的哪一位不夠商1，就隨時在商的那一位上面寫0，不要等到全部除完后再補0”。如（1）題求出商的百位“2”后，22÷37不夠商1，隨時在商的十位上寫上0，再將222÷37，在個位商6。如果養(yǎng)成了這種“隨時寫0”的習慣，就會避免出現(xiàn)漏寫商中間的零的錯誤。
商末尾的零也是容易漏寫的，特別像（2）題這一類題，被除數(shù)個位上的數(shù)不夠除時而有余數(shù)就更容易發(fā)生錯誤，因為它很容易與734÷43混淆，我們比較一下下面的兩個豎式就清楚了。
［分析］
以上兩題的錯誤都是忘記在商里點上小數(shù)點。發(fā)生這種錯誤，除受整數(shù)除法的影響外，主要原因是對小數(shù)除法法則不理解。第（2）題更容易出錯，因為在被除數(shù)里本來就沒有點上小數(shù)點，在余數(shù)后面補0繼續(xù)除，也不需記上小數(shù)點，因此最容易把商里的小數(shù)點丟掉。
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在商里如果整數(shù)部分和十分位都不能商數(shù)時，要用0來補足數(shù)位，并點上小數(shù)點如果寫商時沒有用0來補足數(shù)位，就容易忘記點上小數(shù)點。后種解法雖然點上了小數(shù)點，但因為十分位沒有用0補位，“8”實際上是寫在十分位上，所以也錯了。因為在整數(shù)除法里，要先商出最高位后，如果某一位不能商數(shù)才用0補位，而在小數(shù)除法里就不是這樣，這是值得十分注意的。如184÷23，就直接在個位商8，不要在十位和百位補0，只有當 540÷5時，百位商1，十位不能商數(shù)補0，個位商8得108。要注意兩種除法商的寫法上的區(qū)別.
例 5（1）16.2÷0.6
（2）8÷0.5
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?。?）16.2÷0.6=27。（2）8÷0.5=16。
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上面兩題的解答錯誤都是出現(xiàn)在除數(shù)是小數(shù)的除法里，商的小數(shù)點標錯了位置。解題時，移動除數(shù)的小數(shù)點后，商里的小數(shù)點的位置，仍按原來被除數(shù)小數(shù)點的位置去確定，應該按被除數(shù)移動小數(shù)點后的小數(shù)點的位置來確定商里的小數(shù)點。如第（1）題，被除數(shù)16.2的小數(shù)向右移動一位成了162，這個小數(shù)點可以不記，商就是27，不是2.7。第（2）題被除數(shù)8的小數(shù)點向右移動一位就成了80，所以商是16，不是1.6。
例 6420÷0.7。
在小數(shù)除法法則里，如果除數(shù)是小數(shù)，不管被除數(shù)是小數(shù)還是整數(shù)，都要去掉除數(shù)的小數(shù)點，再移動被除數(shù)的小數(shù)點，如果被除數(shù)是整數(shù)，或者位數(shù)不夠，就在被除數(shù)末尾用0補足。上面的錯解就是沒有在420后面補一個0，因此商錯成60。
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以上兩題都是被除數(shù)的小數(shù)點移動錯誤。錯解（1）的除數(shù)0.054是三位小數(shù)，而誤看成兩位小數(shù)，所以去掉小數(shù)點后被除數(shù)的小數(shù)點只向右移動了兩位，因此出現(xiàn)了商8.8的錯誤錯解（2）是因為沒有掌握法則，采用的方法是把被除數(shù)和除數(shù)的小數(shù)點一律去掉所造成的錯誤。
例 8（1）4÷32。
?。?）34÷5。
［解］
?。?）4÷32=0.125。（2）34÷5=6.8。
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以上兩類題是小數(shù)除法里最容易出錯的題，因為被除數(shù)和除數(shù)都不是小數(shù)，而商卻是小數(shù)。（1）題因為被除數(shù)的整數(shù)部分不夠商數(shù)，必須先點上小數(shù)點再補0，即把4寫成4.0，商 1應該是在十分位上，1的前面必須有小數(shù)點。（2）題更容易出錯，因為不是直接在被除數(shù)后面補0，是在余數(shù)后面補0再繼續(xù)除，在被除數(shù)里根本沒有小數(shù)點，所以應該在商過整數(shù)6之后，即在6的右下角點上小數(shù)點，再繼續(xù)除，就不會出錯。
例 91.5÷25。
?。劢猓?.5÷25=0.06
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錯解中丟掉了十分位上的0，與整數(shù)除法里丟掉了商中間的0是一樣的錯誤。因為整數(shù)部分不夠除，被除數(shù)取到十分位時仍不夠除，所以商的最高位應該寫在百分位上，十分位應該用0占位，否則商錯成0.6。
綜合上面各例，記錯商里小數(shù)點的位置是小數(shù)除法中最常見的錯誤。小數(shù)除法可歸結(jié)為兩類：第一類是除數(shù)是整數(shù)的，關(guān)鍵是要把商里的小數(shù)點和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。特別是遇到被除數(shù)也是整數(shù)，商是小數(shù)的情況，應注意被除數(shù)的整數(shù)末尾省略了小數(shù)點；第二類是除數(shù)是小數(shù)的，先移動除數(shù)里的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位（位數(shù)不夠的在末尾用“0”補足），然后按照除數(shù)是整數(shù)的法則進行計算。因移動小數(shù)點的情況較為復雜，容易出現(xiàn)錯誤。現(xiàn)將各種移動情況列舉如下，以便區(qū)分。
移動小數(shù)點后，除數(shù)都變成了整數(shù)，但被除數(shù)可能是整數(shù)，也可能是小數(shù)，有的還要補0。
例 10（l）一輛汽車每小時行50千米，0.5小時行多少千米？
?。?）一輛汽車0.5小時行25千米，每小時行多少千米？
?。劢猓荩?）50×0.5=25（千米）。
答：0.5小時行25千米。
?。?）25÷0.5=50（千米）。
答：每小時行50千米。
?。鄢Ｒ婂e誤］
?。?）50÷0.5=100（千米）。
答：0.5小時行100千米。
（2）25×0.5=12.5（千米）。
答：每小時行12.5千米。
?。鄯治觯?/p>
出現(xiàn)這類錯誤，主要是對小數(shù)除法的意義不理解。（l）題錯誤地認為每小時行50千米，那么0.5小時行了多少千米呢？0.5小時只有1小時的一半，要用除法；（2）題又錯誤地認為半小時行25千米，那么1小時是0.5小時的2倍，要用乘法。所以錯誤的列式為（1）50÷0.5，（2)50×0.5。
例 11求下面商的近似值，得數(shù)保留兩位小數(shù)。
?。?）2.7÷0.7。 （2）4.4÷1.3。
〔解〕
?。?）2.7÷0.7≈3.86。（2）4.4÷1.3≈3.38
?。鄯治觯?/p>
