數(shù)學思想與數(shù)學方法選講
山東教育學院 李玉琪
（2009.10）
國家教育部2001年7月頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》指出：要使學生“獲得適應(yīng)未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法和必要的應(yīng)用技能”。教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學課程標準》指出：要“使學生理解數(shù)學概念、結(jié)論的逐步形成過程，體會隱涵在其中的數(shù)學思想方法。”即將頒布的《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（修改稿）》又進一步指出：“要使學生獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗?！?/span>
人們做任何事情，都要在宏觀上講究策略，在微觀上講究方法。策略與方法不當常事倍功半，策略與方法得當則事半功倍。在數(shù)學研究與數(shù)學學習中，這種宏觀上的策略稱為數(shù)學思想，微觀上的方法就是數(shù)學方法，二者合稱數(shù)學思想方法。在數(shù)學學習中，由于數(shù)學思想和方法是知識向能力轉(zhuǎn)化的中介和橋梁，對于發(fā)展學生的能力特別是創(chuàng)造性思維能力具有十分重要的作用，因而數(shù)學思想方法成為數(shù)學教學的重要內(nèi)容，成為近20幾年來高考與中考數(shù)學命題的重點。
我們國家對數(shù)學思想與方法的深入研究開始于上個世紀80年代。1986年在東北師范大學解恩澤教授的組織下，建立了“全國數(shù)學思想方法研究協(xié)會”，1988年在著名數(shù)學家徐立治先生的倡導下，建立了“全國數(shù)學方法論研究中心”。我因為在這之前發(fā)表過幾篇有關(guān)數(shù)學思想方法研究的論文，因而應(yīng)邀成為這兩個組織的發(fā)起人之一，參與了兩個學派的學術(shù)研究，并主編出版了四部數(shù)學方法論的著作。審視這兩個學派的研究內(nèi)容，他們的區(qū)別在于：以解恩澤為首的“全國數(shù)學思想方法研究協(xié)會”主要從數(shù)學的外部和宏觀的角度，研究數(shù)學思想和數(shù)學發(fā)現(xiàn)發(fā)明的規(guī)律，以及數(shù)學人才成長的規(guī)律，是宏觀的數(shù)學方法論；以徐立治為首的“全國數(shù)學方法論研究中心”主要從數(shù)學內(nèi)部和微觀的角度，研究每種數(shù)學方法的產(chǎn)生與發(fā)展規(guī)律，以及數(shù)學方法的作用，是微觀的數(shù)學方法論。
由于我同時參與了這兩個學派的研究，因而今天我的報告將在兩種數(shù)學方法論的結(jié)合上，即宏觀與微觀的結(jié)合上展開。報告共分五部分——數(shù)學思想與數(shù)學方法，重要的數(shù)學思想，數(shù)學中的邏輯方法，數(shù)學問題解決方法，構(gòu)建數(shù)學理論的方法。我將盡量減少純理論的闡（chan）述，而主要結(jié)合中學數(shù)學教學的實際說明問題。限于時間，今天我僅對前三個問題——數(shù)學思想與數(shù)學方法、初中數(shù)學中的重要數(shù)學思想、數(shù)學中的邏輯方法作簡單介紹。
一、數(shù)學思想與數(shù)學方法
從根本上說，數(shù)學科學的全部內(nèi)容，是由數(shù)學問題、數(shù)學理論知識（簡稱數(shù)學知識）、數(shù)學方法與數(shù)學思想組成的系統(tǒng)。在這個系統(tǒng)中，數(shù)學問題、數(shù)學知識、數(shù)學方法與數(shù)學思想具有各自不同的內(nèi)涵，也有著不同的作用。
⒈ 數(shù)學問題
所謂“數(shù)學問題”，是指數(shù)學中需要明晰、需要研究、需要解決的疑難問題。
1900年，著名數(shù)學家希爾伯特（20世紀最偉大的數(shù)學家，1943年去世）在巴黎國際數(shù)學家代表大會上作了題為《數(shù)學問題》的演講，對數(shù)學問題的作用和人類20世紀面臨的數(shù)學問題進行了全面的論述。此后，數(shù)學問題在數(shù)學研究和數(shù)學發(fā)展中的重要作用受到了人們的廣泛重視。希爾伯特在這次大會的演講中指出：
“數(shù)學問題對于一般數(shù)學進展的深遠意義以及對于研究者個人工作的重要作用是不可否認的。能在一門科學分支中提出大量的問題，該門科學就充滿生命力；而問題的缺乏則預示著這門科學發(fā)展的終止。正如人類的每項事業(yè)都追求著確定的目標一樣，數(shù)學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新的方法，產(chǎn)生新的觀點，達到更為廣闊自由的境界。”
希爾伯特的精辟論述說明：數(shù)學問題既是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的起點，又是數(shù)學發(fā)展的路標；對數(shù)學發(fā)展既有探索和導向作用，又可以為數(shù)學理論的形成積累必要的資料；既能導致數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和理論的創(chuàng)新，又可以激發(fā)人們的創(chuàng)造性和進取精神。因此，數(shù)學問題被人們形象地稱為數(shù)學的“心臟”。
⒉ 數(shù)學知識
一切數(shù)學的概念、原理、法則以及數(shù)學語言、數(shù)學符號，統(tǒng)稱為數(shù)學理論知識，簡稱數(shù)學知識。數(shù)學知識是人們在研究數(shù)學理論問題與實踐問題的過程中，逐漸形成的關(guān)于客觀事物的數(shù)量關(guān)系與空間形式的基本認識，是客觀事物的內(nèi)部規(guī)律在人們頭腦中的反映。在數(shù)學科學中，每個數(shù)學分支都把該研究領(lǐng)域中有關(guān)的數(shù)學知識用邏輯方法（主要是公理化方法）組織起來，構(gòu)成相應(yīng)的理論體系。通常人們看到的，正是這種數(shù)學理論知識的體系。因此，各個數(shù)學分支都是由不同的數(shù)學知識構(gòu)建起來的。形象地說，數(shù)學知識是數(shù)學的“軀體”。
3．數(shù)學方法
數(shù)學方法是人們在數(shù)學研究、數(shù)學學習和問題解決等數(shù)學活動中的具體步驟、程序和格式，是達到數(shù)學研究和問題解決目的的途徑和手段的總和。從本質(zhì)上說，數(shù)學方法是人們對客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系的能動的反映。在西方語言中，“方法”一詞源于希臘文 ，意指沿著某條道路行進，因而在“方法”的本意上，數(shù)學方法是解決數(shù)學問題的手段和操作的總和，具有“行為規(guī)則”的意義。
⒋ 數(shù)學思想
修改版的《數(shù)學課程標準》指出：“數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括”。
從認識論來看，數(shù)學思想是人們對數(shù)學知識和數(shù)學方法的本質(zhì)認識，是數(shù)學知識與數(shù)學方法經(jīng)過高度抽象、概括、提煉上升而形成的數(shù)學觀點，屬于對數(shù)學規(guī)律的理性認識的范疇。
從科學方法論的角度看，數(shù)學本身就是認識世界和改造世界的一種方法，數(shù)學思想具有方法和工具的作用。
從哲學的高度看，數(shù)學思想本質(zhì)上是辯證法的基本觀點在數(shù)學科學中的體現(xiàn)，是思維方法與實踐方法的概括，屬于哲學思維方法的范疇。例如，數(shù)學中的轉(zhuǎn)化思想（即化歸思想），是辯證法關(guān)于事物“互相聯(lián)系”與“運動發(fā)展”的基本觀點的反映，是“世界上一切事物都是互相聯(lián)系、互相作用”與“事物不斷發(fā)展變化”的基本觀點在數(shù)學中的具體運用，是“在普遍聯(lián)系和發(fā)展變化中把握事物”的哲學思維方法的具體化。又如，數(shù)形結(jié)合思想實質(zhì)上是辯證法中的矛盾分析法，反映了“數(shù)”與“形”這一對矛盾的對立統(tǒng)一，以及在一定條件下的互相轉(zhuǎn)化。
⒌ 數(shù)學問題、數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想的關(guān)系
數(shù)學問題、數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想是相互影響、互相聯(lián)系、協(xié)同發(fā)展的辯證統(tǒng)一體，它們的相互作用和相互結(jié)合不僅使數(shù)學成為一個有機的整體，而且推動著數(shù)學的不斷發(fā)展。
縱觀數(shù)學的發(fā)展歷史可以看到，人們在解決實踐和理論中提出的各種數(shù)學問題的過程中，總結(jié)和創(chuàng)造了不同的數(shù)學方法。在這些數(shù)學方法發(fā)生的同時，相應(yīng)的數(shù)學知識也相伴形成。在不斷探求對數(shù)學知識和方法的認識的基礎(chǔ)上，數(shù)學思想便產(chǎn)生了。例如，尋求“高次代數(shù)方程求根公式”的問題源于16世紀，在其后的300年中曾有不少著名數(shù)學家為之不懈地奮斗，但直到19世紀法國數(shù)學家伽羅華創(chuàng)立了“群論”的思想方法以后才使這一“向人類智慧挑戰(zhàn)”的問題得到了徹底的解決。其間，為了解決代數(shù)方程根的數(shù)目問題，他引入了復數(shù)法，不僅由此創(chuàng)立了代數(shù)基本定理，而且建立了“群論”的理論。又如，著名數(shù)學家歐拉正是在解決“哥尼斯堡七橋問題”的過程中，不僅發(fā)現(xiàn)了許多知識并開拓了運籌學和圖論等嶄新的數(shù)學研究領(lǐng)域，而且他的研究也是運用抽象化方法和數(shù)學模型方法的光輝范例。
綜上所述，數(shù)學問題是數(shù)學生命之源泉，數(shù)學思想與方法分別是問題解決的宏觀策略與微觀的技術(shù)手段，數(shù)學知識則是認識的結(jié)果。就數(shù)學問題、數(shù)學知識、數(shù)學方法與數(shù)學思想的關(guān)系而言，一方面數(shù)學思想與數(shù)學方法蘊含在數(shù)學的知識體系之中，數(shù)學思想與方法的突破又常常導致數(shù)學知識的創(chuàng)新；另一方面，數(shù)學思想比數(shù)學方法更深刻、更抽象地反映著客觀事物的內(nèi)在聯(lián)系，是數(shù)學方法的進一步概括和升華。因此，如果說問題是數(shù)學的“心臟”、方法是數(shù)學的“行為規(guī)則”、知識是數(shù)學的“軀體”，那么數(shù)學思想無疑是數(shù)學的“靈魂”。
二、重要的數(shù)學思想
在即將頒布的修改版的《數(shù)學課程標準》中，涉及的數(shù)學思想有“歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類、模型、數(shù)形結(jié)合、隨機等”。對此學術(shù)界頗有爭議，因為其中的歸納、演繹、抽象都是典型的邏輯方法，模型方法則屬于數(shù)學研究方法。當然，對于數(shù)學思想的內(nèi)涵，需要進行更為深入的研究，老師們都可以參與探討。從數(shù)學方法論的角度考察，初中數(shù)學中的數(shù)學思想主要是符號思想（字母代數(shù)思想）、轉(zhuǎn)化思想（化歸思想）、特殊化與一般化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、方程與函數(shù)思想等。
（一）符號思想（用字母代替數(shù)字的思想）
引入符號表示數(shù)字，也就是用字母代替數(shù)字，是代數(shù)學的基本思想。從數(shù)學史進行考察，算術(shù)與代數(shù)本來是數(shù)學中最基礎(chǔ)、最古老的兩個分支學科。就他們的關(guān)系來說，算術(shù)是代數(shù)的基礎(chǔ)，代數(shù)則是由算術(shù)演進而來的，是算術(shù)的必然發(fā)展。在數(shù)學發(fā)展的過程中，正是用字母代替數(shù)字這種符號思想的產(chǎn)生，促進了算術(shù)向代數(shù)的演進。
1．算術(shù)解題法的局限性
我們知道，算術(shù)的主要內(nèi)容是自然數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的性質(zhì)與運算，但算術(shù)解題法有很大的局限性。這種局限性主要表現(xiàn)在算術(shù)只限于對具體的、已知的數(shù)進行運算，不允許抽象的和未知的數(shù)參與運算。許多古老的數(shù)學應(yīng)用問題，如行程問題、工程問題、流水問題、分配問題、盈虧問題等，都是借助于這種方法求解的。算術(shù)解題法的關(guān)鍵是正確列出算式，即通過加、減、乘、除等運算符號把有關(guān)的已知數(shù)據(jù)連接成一個算式，建立起能夠反映實際問題本質(zhì)特征的數(shù)學模型。
應(yīng)當說，對于那些只具有簡單數(shù)量關(guān)系的實際問題，運用算術(shù)方法列出相應(yīng)的算式并不難。但是，對于大量的具有復雜數(shù)量關(guān)系的實際問題，要列出相應(yīng)的算式就不容易了，因為往往需要很高的技巧。對于那些含有幾個或多個未知數(shù)的實際問題，要建立起只包含已知數(shù)的算式來求解，則常常是不可能的。
算術(shù)解題法的這種局限性，大大限制了數(shù)學的應(yīng)用，也影響了數(shù)學自身的發(fā)展。在這種情況下，一種新的數(shù)學思想——以字母代替數(shù)字的思想（即符號思想）誕生了，由此不僅把算術(shù)推進到了代數(shù)，促進了數(shù)學的發(fā)展，而且大大拓寬了數(shù)學應(yīng)用的范圍。
2．符號思想的優(yōu)越性
傳統(tǒng)初中代數(shù)的內(nèi)容，是初等代數(shù)。初等代數(shù)的基本方法，是用抽象的字母a，b，c…和x，y，z…分別表示抽象的數(shù)和未知的數(shù)，再依據(jù)問題的條件組成包含已知數(shù)（具體數(shù)字或字母）和未知數(shù)（字母）的代數(shù)式，并按題中的等量關(guān)系列出方程，然后通過解方程求出未知數(shù)的值。因此，初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程。由此可以看出，符號思想是初等代數(shù)的基本思想，是從算術(shù)過渡到代數(shù)的橋梁。
初等代數(shù)與算術(shù)的根本區(qū)別，在于代數(shù)允許未知數(shù)參與運算，算術(shù)則把未知數(shù)排斥在運算之外。如果說在算術(shù)中有時也出現(xiàn)未知數(shù)的話，那么只能把這個未知數(shù)單獨地放在等號的左邊，所有的已知數(shù)則在右邊進行運算，未知數(shù)并沒有參加運算的權(quán)力。而在代數(shù)中，方程作為由已知數(shù)和未知數(shù)構(gòu)成的條件等式，本身就意味著未知數(shù)與已知數(shù)具有同等的地位，未知數(shù)不僅可以成為運算的對象，而且能夠依照法則從等式的一邊移到另一邊。解方程的過程，實質(zhì)上是通過對已知數(shù)和未知數(shù)的重新組合，把未知數(shù)轉(zhuǎn)化為已知數(shù)的過程，即把未知數(shù)置于等式的一邊，把已知數(shù)置于另一邊。從這種意義上看，算術(shù)運算是代數(shù)運算的特殊情況，代數(shù)運算則是算術(shù)運算的發(fā)展與推廣。
由于引入了符號思想，即用字母代替數(shù)字的思想，代數(shù)運算較之算術(shù)運算有了更大的普遍性和靈活性，極大地擴展了數(shù)學的應(yīng)用范圍。許多用算術(shù)方法無法解決的問題，在代數(shù)中都能輕而易舉地得到解決。不僅如此，符號思想的出現(xiàn)對整個數(shù)學的發(fā)展也產(chǎn)生了巨大而深刻的影響，數(shù)學中許多的重大發(fā)現(xiàn)都與符號思想有關(guān)。例如，利用數(shù)學符號解決一元二次方程的求根問題導致了虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)，利用數(shù)學符號對五次以上方程求解的研究導致了群論的誕生等。正因為如此，人們把符號思想的誕生看作是數(shù)學思想發(fā)生第一次重大轉(zhuǎn)折的標志。
符號思想（用字母代替數(shù)字的思想）到底有哪些優(yōu)越性呢？最突出的是以下兩點：
第一，用字母表示數(shù)字能夠簡明地反映事物的本質(zhì)特征和規(guī)律。例如：長6米、寬3米的長方形地面的面積為6×3＝18（平方米）；長24厘米、寬17.5厘米的鐵片的面積為24×17.5＝420（平方厘米）。上述兩個問題的一般規(guī)律是：“長方形的面積等于長與寬的積”。利用符號思想，這個規(guī)律可以簡明地表示為S＝ab .
又如，由3＋5＝5＋3，1.8＋2.6＝2.6＋8等算式，可以概括出加法的交換律：“兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，其和不變”。用a，b分別表示兩個加數(shù)，則加法交換律可以簡明地表示為a＋b＝b＋a.
第二，用字母表示數(shù)具有辯證性。這里有兩層含義：首先，用字母表示的數(shù)具有任意性，可以是任意的數(shù)；其次，用字母表示的數(shù)具有確定性，可以表示任意一個確定的、具體的數(shù)。例如，在S＝ab中，a與b可以是任意正數(shù)，S也表示任意正數(shù)；但對于一個具體的長方形來說，a與b的值又是確定的、具體的數(shù)，將a與b的值帶入后就能計算出S的具體的值。又如，代數(shù)式x＋3表示比任意數(shù)x大3的數(shù)，而當x＝5時，x＋3僅僅表示8這一個數(shù)。
由于符號思想的這種優(yōu)越性，使得許多復雜的算術(shù)問題有了簡單的代數(shù)解法。
例1 計算：（1）（ ＋ ）· ；
（2） .
解 （1）設(shè)A＝ ， B＝ ， C＝ ，
原式＝（A＋ ）· ＝ · ＝1；
（2） 設(shè)m＝2009，則
原式＝ ＝ ＝
＝ ＝ .
例2 比較下面兩個數(shù)的大?。?/span>
A＝ ， B＝ .
解 設(shè) ， 則
A＝ , B＝ ，
∵ A－B＝ － ＝ ＝ ＞0，
∴ A＞B.
由例1與例2可以看出，深刻領(lǐng)會符號思想，靈活運用以字母代替數(shù)字的方法，對于數(shù)學研究與數(shù)學學習都是十分重要的。
（二）轉(zhuǎn)化思想（化歸思想）
轉(zhuǎn)化是初等數(shù)學中最基本的思想方法，在數(shù)學學習中有著廣泛的應(yīng)用，對此先從一個具體例子談起。
例3 解方程： － ＝1.
解 設(shè) ＝u， ①
＝v, ②
則有
解得 u＝2， v＝1.
代入①或②得 ,
∴ =0， ＝ ，檢驗可知， 與 都是原方程的解。
在例3中，運用換元法把較為復雜的無理方程轉(zhuǎn)化為較簡單的一元二次方程求解，運用了轉(zhuǎn)化的思想。
運用一定的方法，把一個生疏的、復雜的、難以解決的數(shù)學問題化為熟悉的、簡單的、能夠解決的數(shù)學問題，這種解決問題的策略就是轉(zhuǎn)化思想。很明顯，化生為熟、化繁為簡、化未知為已知是轉(zhuǎn)化的基本方向。
轉(zhuǎn)化是眾多數(shù)學家典型的思維方式。匈牙利數(shù)學家羅莎·彼得在《無窮的玩藝》一書中論及數(shù)學家研究問題的策略時，指出：“他們往往不是對問題實行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉(zhuǎn)化成能夠得到解決的問題?！绷硪晃恍傺览麛?shù)學家G·波利亞在談到面臨的問題時指出：“這是什么類型的問題？它與某個已知問題有關(guān)嗎？它像某個已知問題嗎？有一個同樣類型的未知量的問題（特別是過去解過的問題）嗎？你知道一個相關(guān)的問題嗎？你能知道或設(shè)想出一個同一類型的問題、一個類似的問題、一個更一般的問題、一個更特殊的問題嗎？”由上面的介紹可以看出，對于數(shù)學研究、數(shù)學學習和數(shù)學問題解決來說，轉(zhuǎn)化不僅是一種重要的思想和意識，而且是一種重要的思維方法和策略。
唯物辯證法指出，客觀事物是發(fā)展變化的，不同事物間存在著種種聯(lián)系，各種矛盾無不在一定的條件下互相轉(zhuǎn)化。轉(zhuǎn)化思想正是人們對這種聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的一種能動的反映。從哲學的高度看，轉(zhuǎn)化思想著眼于揭示矛盾實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，它的“運動—轉(zhuǎn)化—解決矛盾”的基本思想具有深刻的辯證性質(zhì)。
例4 已知a，b，c均為實數(shù)，若a＋b＋c≠0，且
＝－3，
求 的值。
分析 把已知等式直接進行化簡，顯然很難求出 的值，因而必須尋求其他方法。注意到已知等式的左邊的三個括號均與所求的代數(shù)式 有關(guān)系，為了化未知為已知，必須先建立起未知與已知的聯(lián)系，故設(shè) x＝ ，這樣已知等式就化為
，
展開，即有 ， ①
從而把求代數(shù)式 的值的問題轉(zhuǎn)化為解一元一次方程①的問題，由于 ，顯然有 ，即 ＝0.
例5 解方程組
分析 由于已知方程組含有三個未知數(shù)，卻只有兩個方程，因而用常規(guī)方法難以求解。為減少未知數(shù)的個數(shù)，先把 看作常量，即作變量的常量化處理，原方程組就轉(zhuǎn)化為
由韋達定理可知，x，y是一元二次方程 的二根。至此，求解原方程組的問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為研究一元二次方程的根的問題了。由于x，y都是實數(shù)，故有
Δ 即
但顯然又有 ，于是得到 ＝0，從而 Δ＝0，由此推出 t＝1，
x＝y＝1.
∴ 原方程的解是x＝1，y＝1，z＝0.
例6 如圖1，在圓錐中，底面直徑AB＝20cm，PA＝30cm.一只螞蟻從點A出發(fā)，在側(cè)面上繞行一周又回到點A，求螞蟻所走的最短路程。
_ |
P |
_ |
O |
_ |
B |
' |
_ |
A |
圖1 |
圖2 |
分析 因為螞蟻是在圓錐的側(cè)面上爬行，畫出圓錐的側(cè)面展開圖，如圖2所示，就可以把這個空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題進行研究。
解 沿PA把圓錐的側(cè)面展開、鋪平，得到圓錐的側(cè)面展開圖，如圖2所示。在圓錐中， 與 是重合的。顯然，螞蟻從點P出發(fā)繞圓錐的側(cè)面爬行一周又回到點A，其最短線路為圖2中的線段 .
由AB＝20cm可知，圓錐的底面半徑 OA＝10（cm）；
由扇形的弧長公式，得
＝ ＝ ＝120°，
∴ ＝ ＝ ＝ .
作 ,垂足為點C ，在Rt△PAC中，PC＝ PA＝15，
AC＝ ＝ ＝15 ，
∴ ＝2AC＝30 ≈51.9（㎝）。
所以，螞蟻所走的最短路程為51.9㎝。
轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學中應(yīng)用非常廣泛。例如，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，把方式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解，通過添加輔助線把空間圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形進行研究，把復雜的幾何圖形轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形進行研究等等，都運用了轉(zhuǎn)化思想。建議大家研究下面的問題，并分析在解決問題的過程中轉(zhuǎn)化思想所起的作用：
（1）解方程： ；
（2）方程 的一個解是 ， ，求實數(shù)x，y
的值。
（3）設(shè)x是實數(shù)，若 ，求代數(shù)式 的值。
（4）在梯形ABCD中，AD與BC分別是上底和下底，兩條對角線
互相垂直。已知AC＝12，BD＝9，求該梯形的中位線的長。
（三）特殊化思想與一般化思想
從特殊到一般和從一般到特殊，是人們正確認識客觀事物的認識規(guī)律，也是處理數(shù)學問題重要的思想方法。一方面，事物的特殊性包含著普遍性，即共性寓于個性之中，相對于“一般”而言，“特殊”的事物往往更簡單、更直觀、更具體，因而人們常常通過特殊去認識一般；另一方面，“一般”概括了特殊，“一般”比“特殊”更為深刻地反映著事物的本質(zhì)，因而人們常常以對事物的共同本質(zhì)的認識（即一般認識）為指導，去研究個別的和特殊的事物。所以，在數(shù)學研究和數(shù)學學習中，有時抽取待解問題的某個特殊情形，由此得出一般性結(jié)論，這是特殊化思想；有時把待解問題作為特殊情況，研究更為廣泛的一般性問題，從而得出待解問題的結(jié)論，這是一般化思想。
⒈ 特殊化思想
把原問題轉(zhuǎn)化為其特殊形式，通過對特殊形式的研究尋求原問題的答案或解決辦法，就是特殊化思想。具體來說，在研究一個較大范疇的問題遇到困難時，可以把這個范疇縮小到比較特殊的情況，通過對這個特殊情況的研究，發(fā)現(xiàn)原問題的答案或解決問題的思路，這就是特殊化思想。
作為一種重要的數(shù)學思想，特殊化是解決復雜問題的有力手段。這是因為：從邏輯學的角度看，概念或命題的特殊化導致其外延的縮小，這時內(nèi)涵增大，可供使用的條件增加，研究就比較容易；從認識論的角度看，復雜問題特殊化以后，認識起點降低，便于人們由淺入深地認識和分析問題；從方法論的角度看，特殊化使問題由抽象變具體、由復雜變簡單，從而有利于問題的解決。
在數(shù)學問題解決中，特殊化的具體途徑主要有四種：第一，由條件畫出圖形，便于從幾何直觀中受到啟迪；第二，用具體數(shù)字代替抽象字母、用具體函數(shù)代替抽象函數(shù)、用有限代替無限，使抽象問題具體化；第三，暫時固定或舍棄某些限制條件，便于在較為理想的狀態(tài)下研究問題；第四，一般狀態(tài)取特殊位置、運動問題取靜止狀態(tài)，以便化繁為簡，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
例7 若a＜b＜c，x＜y＜z，則下列代數(shù)式的值中最大的是：
（A） ； （B） ；
（C） ； （D） .
分析 用常規(guī)方法作差可以比較各個代數(shù)式的大小，但這種方法顯然很繁瑣。運用特殊化思想，取滿足已知關(guān)系的一組特殊值進行探索，例如取 ， ， ，這時（A）（B）（C）（D）的值分別為14，13，13，11，故應(yīng)選（A）。
例8 若m，n為不相等的正數(shù)，則下列代數(shù)式
甲＝ ； 乙＝ ； 丙＝
中，其值最大的是
（A）甲； （B）乙； （C）丙； （D）不確定。
分析 直接比較甲、乙、丙的大小并不容易，可以運用特殊化的思想。注意到選擇支中有一項為“不確定”，因而必須選擇m，n的幾組特殊值進行探索。
取 ， ，這時甲、乙、丙的值分別是5， ， ，此時甲最大；再取 ， ，這時甲、乙、丙的值分別是 ， ， ，此時丙最大。至此可以斷定，本題應(yīng)選（D）。
例9 能否將n（n≥2）個正方形拼接成一個大正方形？
分析 解決這個問題顯然有較大的難度。
（1）運用特殊化思想，先考慮n＝2的情況，即有兩個正方形，這時又有兩個正方形邊長相等與不相等兩種情況。
如圖3，設(shè)兩個正方形的邊長相等，這時以他們的對角線為邊長的正方形PQRS就是由這兩個正方形拼接而成的大正方形。
圖4 |
圖3 |
如圖4，設(shè)兩個正方形的邊長不相等，即 ， ，其中 ，這時兩個正方形的面積分別是 和 ，而以 為邊的正方形 的面積是 ，因而正方形 就是由這兩個小正方形拼接而成的大正方形。
（2）再考慮n＞2的情況，這時給定的正方形S1，S2，S3,……SN的個數(shù)超過2 ，可以運用（1）的方法，先把S1，S2拼接成一個正方形S12,再把正方形S12與S3拼接成正方形S123 ，依此類推。
由（1）（2）可知，n（n≥2）個正方形能拼接成一個大正方形。
2．一般化
所謂一般化，就是把所給的問題作為特殊形式，將其轉(zhuǎn)化為一般形式去考察，通過對一般形式的研究尋求解決原問題的方法，這就是一般化思想。具體來說，當研究一個較小范疇的問題遇到困難時，可以把這個范疇擴大到包括這個小范疇的更大的范疇，從而得到一個新的帶有一般性的問題，原問題只是它的一種特殊情況。如果新問題得到解決，原問題自然就迎刃而解了，這就是一般化。
一般化也是一種重要的數(shù)學思想，在數(shù)學發(fā)展史上許多數(shù)學理論都經(jīng)歷了從特殊到一般的發(fā)展過程，在數(shù)學學習及問題解決中一般化也有著獨特的作用。實際上，許多問題從一般化入手更容易解決。這是因為，數(shù)學中不少問題已經(jīng)有了固定的解決方法和既定的程序，當待解問題能夠用一般化方法歸結(jié)為這種問題時，這個問題就得到了解決；另外，孤立地考察原問題，往往由于局部的限制難以發(fā)現(xiàn)解決的途徑，而把問題做一般化處理后，就便于從普遍的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解題思路，從而使原問題得到解決。
例10 計算： … .
分析 這是復雜的計算題，為了化簡其通項，先作一般化處理。由 ，
得到 ，
于是 …
＝
＝ .
例11 不進行開方運算，比較 與 的大小。
分析 題目要求不進行開方運算，比較這兩個數(shù)大小的關(guān)鍵是找到有效的解題思路。運用一般化思想，對題目中的兩個具體數(shù)作一般化處理。注意到
， ，
因而只需比較 與 的大小，其中x＞0，y＞0，且x≠y.
為了簡化運算，不妨設(shè) ， ，其中a＞0，b＞0,且a≠b.這樣，就只需比較 與 的大小即可。由于
－ ＝ ＝ ＞0，
因而有 ＞ ，即有 ＞ ，
從而有 ＞ ，
∴ ＞ .
例10與例11都運用了一般化思想，把問題轉(zhuǎn)化為一般形式去考
察。通過對一般形式的研究，使原問題得到了解決，在例10中還發(fā)現(xiàn)了 ＞ 這一新的結(jié)論。由此看出，在運用一般化思想的過程中，常常可以獲得新的知識。
建議大家用特殊化或一般化思想解決下面的問題，并分析特殊化或一般化思想在問題解決中的作用。
（1）如圖，在梯形ABCD中，BC∥AD，EF∥AD， ： ＝ ： ，求證： （取自原人教版三年制初中幾何第二冊）。
（2）證明：正三角形內(nèi)任一點到各邊的距離之和為定值，并把上述結(jié)論進行推廣。
（第1題） |
（第2題） |
（四）數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)學以現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系（簡稱“數(shù)”）與空間形式（簡稱“形”）作為其研究對象，而任何事物都有“數(shù)”與“形”兩個側(cè)面，它們互相聯(lián)系，可以互相轉(zhuǎn)化。把問題的數(shù)量關(guān)系與空間形式結(jié)合起來考察，或者把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)進行研究，或者把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系去研究，這種思維策略就是數(shù)形結(jié)合。
我國著名數(shù)學家華羅庚指出：“數(shù)缺形時少直覺，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分割萬事休?！?/strong>數(shù)形結(jié)合不僅是數(shù)學研究中一種重要的思維策略，也是解決數(shù)學問題的一種基本思想。
綜觀數(shù)學的發(fā)展史，數(shù)與形的結(jié)合不僅使幾何問題獲得了有力的代數(shù)工具，同時也使許多代數(shù)問題具有了鮮明的直觀性，從而開拓出新的研究方向。例如，著名數(shù)學家笛卡爾通過數(shù)形結(jié)合使幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，把長期分道揚鑣的代數(shù)與幾何結(jié)合起來，開辟了數(shù)學發(fā)展的新紀元。不僅由此創(chuàng)立的解析幾何成為數(shù)學發(fā)展史上不朽的里程碑，他的研究也是運用數(shù)形結(jié)合思想方法的光輝范例。在現(xiàn)代數(shù)學中，人們常常把一個函數(shù)看作一個“點”，把一類函數(shù)的全體看作一個“空間”，由此引出了無窮維函數(shù)空間的概念。這樣，求一個微分方程組解的問題，就轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)空間中一個幾何變換的不動點問題，從而使得抽象的分析問題獲得了直觀的幾何意義。
在初等數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用十分廣泛。在具體應(yīng)用時，數(shù)形結(jié)合又有三種基本形式，這就是以形輔數(shù)、以數(shù)輔形和坐標法。
例12 如果方程 的一個根小于3，另一個大于3 ，求實數(shù)m的取值范圍。
分析 如果僅從問題的數(shù)量關(guān)系進行考察，不僅需要解不等式組
其中x1與x2是方程 的兩個根，而且要結(jié)合
進行研究，才能確定出實數(shù)m的范圍，這種方法顯然比較繁瑣。
解 設(shè) ，由已知條件可以畫出函數(shù)圖像的草圖（如圖5所示）。
圖5 |
由于方程 的兩個根一個小于3，另一個大于3 ，故有 ，即得
， 從而m＞14，
∴ m的取值范圍是m＞14.
例13 求 的最小值。
分析 這是較復雜的無理函數(shù)的極值問題。若記 、 、 ，則由 的兩邊之和不小于第三邊（Ｐ、Ａ、Ｂ三點可以共線），得
其中，等號在Ｐ、Ａ、Ｂ三點共線時成立，
∴ 的最小值是 .
在例12與例13中，運用了“以形輔數(shù)”的數(shù)形結(jié)合思想。
例14 如圖6，正方形紙片ABCD的邊長為1，點E為邊BC上一點，將△ABE沿AE翻折，當點B落在AC上點F處時，求折痕AE的長（精確到0.01）。
圖6 |
分析 這個問題中給出了許多圖形性質(zhì)方面的條件，但僅僅從圖形的方面考察，很難找出其中的聯(lián)系。如果運用數(shù)形結(jié)合思想，則可以設(shè)BE＝x，通過尋求問題中的數(shù)量關(guān)系而得到關(guān)于x的方程，從而解決問題。
解 設(shè)BE＝x，則由△ABE≌△AFE可知 ， .
在正方形ABCD中，因為AC是一條對角線，
∴ , 從而 .
于是有 ， .
由 BE＋CE＝1，得 ，
解這個方程，得 ≈0.414，即 0.414
在Rt△ABE中， ，
∴ AE≈1.08 .
在例14中，運用了“以數(shù)輔形”的數(shù)形結(jié)合思想。
例15 如圖7，△OAB是一塊三角形形狀的木版，∠AOB＝90o，
OA＝6㎝，OB＝4㎝，在邊AB上求一點P，作PC⊥OB，PD⊥OA，垂足分別是C，D，使得矩形OCPD的面積為最大，并求面積的最大值。
A |
P（x，y） |
B |
C |
O |
D |
X |
Y |
圖7 |
圖形的性質(zhì)進行考察，或者單純由
問題的數(shù)量關(guān)系進行考察，都很難
確定點P的位置。如果采用坐標法，
設(shè)P（x，y），則確定點P的位置問
題，就轉(zhuǎn)化為求x與y的值的計算問題了。
解 建立如圖7所示的坐標系，則A（6，0），B（0，4）。
由于直線AB過點B，因而可設(shè)其函數(shù)表達式為 ，
將點A的坐標（6，0）代入 ，得到 ，
所以，直線AB的函數(shù)表達式為 .
設(shè)點P（x，y），則矩形OCPD的面積為
,
∴ 當 時，S取得最大值6.
此時， ， AP＝ ,
∴ 當AP＝ ㎝時，即當點P為AB的中點時，矩形OCPD的面積為最大，最大值為6㎝2.
數(shù)形結(jié)合是數(shù)學中十分重要的思想方法，其基本點在于把問題涉及的數(shù)（數(shù)量關(guān)系）與形（空間形式）結(jié)合起來考察。根據(jù)不同問題的不同特點，或者采用以數(shù)輔形，把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題來研究，或者采用以形輔數(shù)，把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題來處理，或者運用坐標法，把圖形的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系作綜合考察，從而把復雜問題簡單化，把抽象問題具體化，達到化難為易的目的。
（五）分類思想
當面臨的數(shù)學問題不能以統(tǒng)一的形式進行解決時，可以把已知條件涉及的范圍分解為若干子集，在各個子集內(nèi)分別研究問題局部的解，然后通過組合各局部的解而得到原問題的解答，這就是分類思想。
在初等數(shù)學中，研究解方程問題、不等式問題、函數(shù)單調(diào)性問題等，分類思想是一種行之有效的思想方法。運用分類討論解決問題時，把已知條件涉及的集合進行科學的劃分是十分必要的，必須遵循劃分的規(guī)則，防止劃分中的重復與遺漏。
例16 解方程 .
解 在原方程中顯然有 ，于是原方程化為
下面進行分類討論：
（1）當 時方程無解；
（2）當 時 ，由于應(yīng)有 ，故舍去；
（3）當 或 時 ，此為原方程的解。
∴ 原方程僅在 或 時有解 .
一般來說，研究含有絕對值的方程都要運用分類思想。
例17 求函數(shù) 的圖像與x軸的交點。
分析 由于已知函數(shù)可能是一次函數(shù)，也可能是二次函數(shù)，所以必須運用分類思想。
解 （1）當 ＝0時，即 時，已知函數(shù)為 ，這是一次函數(shù)，它的圖像是一條直線，與x軸的交點為（1，0）；
（2）當 ≠0 ，即 時，已知函數(shù)為二次函數(shù)，其圖像是拋物線，其判別式為
，
當 時， ，這時函數(shù)圖像與x軸交點的縱坐標y應(yīng)滿足
， 即 ，
解得 ，這時函數(shù)圖圖像與x軸的交點為（1，0）；
當 時， ＞0，由方程
得到 ， 從而有 ， ，
這時函數(shù)圖像與x軸的交點為（1，0）與（ ，0）.
∴ 當 時，函數(shù)圖像與x軸有唯一的交點（1，0）；
當 且 時，函數(shù)圖像與x軸有（1，0）和（ ，0）兩個不同的交點。
在例2中，首先按照 的值是否為0進行分類討論，在（2）中又針對 和 兩種情況進一步進行分類討論，兩次運用了分類思想。
一般來說，對于含有參數(shù)的方程的討論，常常要運用分類思想。
例18 ⊙O的半徑為5㎝，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB＝6㎝，CD＝8㎝㎝，求AB與CD的距離。
圖8（1） |
圖8（2） |
分析 如圖8，符合題意的圖形有（1）（2）兩種，在這兩種情況下問題的解法與答案是不同的，因而必須運用分類思想。
解 （1）如圖8（1）所示，當弦AB，CD位于圓心O的同側(cè)時，過點O作AB的垂線交AB于點E，交CD于點F，連接OB，OD .
由AB∥CD 和 OE⊥AB可知， OF⊥CD .
在Rt△OBE中， , ,
∴ ；
在Rt△ODF中， , ,
∴ ；
∴ .
（2）如圖8（2）所示，當弦AB，CD位于圓心O的兩側(cè)時，同理可以求得 , ,從而 .
由（1）（2）可知，AB與CD的距離為1㎝ 或7㎝。
應(yīng)當指出，分類作為一種重要的數(shù)學思想，在數(shù)學研究和數(shù)學學習中具有重要的應(yīng)用價值，因而應(yīng)當樹立分類的意識，把握分類的規(guī)則，靈活運用分類的方法。但是，運用分類思想有時會導致解題過程的繁瑣化。為了克服分類的這種局限性，對于蘊涵著分類因素的數(shù)學問題，應(yīng)當首先作一番深入的考察，根據(jù)題目條件的特征靈活選用一定的解題策略，盡量簡化或避開分類討論。
請大家研究下面的問題：
（1）解不等式： ＞1.
（2）在△ABC中，AB＝27，AC＝24，BC＝18，M為BC上的
一點，MB＝6. 過點M作一條直線與邊AB或AC相交，使得到的小三角形與△ABC相似，求它們的相似比。
（3）在一張長為17㎝、寬為16㎝上，的長方形紙片上，剪下
一個腰長為10㎝的等腰三角形。已知等腰三角形的一個頂點與長方形的一個頂點重合，其余兩個頂點分別在長方形的兩個邊上，求剪下的等腰三角形的面積。你會剪下這個三角形嗎？怎樣確定這個三角形的頂點？
（六）方程與函數(shù)思想
數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學。在初中數(shù)學中，最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系，刻畫等量關(guān)系的最重要的工具是“方程”。函數(shù)也是刻畫現(xiàn)實世界中量與量之間數(shù)量關(guān)系的重要工具，在初等數(shù)學與高等數(shù)學中具有極其重要的地位。
運用方程與函數(shù)的觀點、方法、知識去思考問題，把待解問題轉(zhuǎn)化為方程問題或函數(shù)問題，就是方程思想與函數(shù)思想，簡稱方程函數(shù)思想。許多數(shù)學問題和實際問題都可以運用方程函數(shù)思想來解決。
例19 如圖9，圖①是一個三角形，順次連接這個三角形三邊的中點，得到圖②，再順次連接圖②的小三角形三邊的中點，得到圖③，依照這種方法繼續(xù)做下去。第8個圖形中有多少個三角形？
圖9 |
② |
③ |
① |
解 以各個圖形的序號為自變量x，以各個圖形中三角形的個數(shù)為因變量y，列表：
x | 1 | 2 | 3 | … |
y | 1 | 5 | 9 | … |
在直角坐標系中分別描點（1，1），（2，5），（3，9），并將這些點平滑地連接起來（圖略），發(fā)現(xiàn)這是一條直線。
設(shè)這條直線的函數(shù)表達式為 ，將點（1，1），（2，5）的坐標分別帶入 ，得到 ， . 于是得 ，將點（3，9）的坐標帶入 ，發(fā)現(xiàn)點（3，9）的坐標適合函數(shù)關(guān)系式 .所以，這條直線的函數(shù)表達式為 .
將 帶入 ，得到 ，所以第6個圖形中有29個三角形。
在例19的解法中，運用了函數(shù)思想。我們首先引入了函數(shù)，然后運用一次函數(shù)的知識解決了問題。
例20 如圖10，在矩形ABCD中，AB＝6㎝，BC＝3㎝，動點P從點A出發(fā)，沿著AB邊以1㎝/s的速度向點B移動；動點Q從點B出發(fā)，沿著BC邊以2㎝/s的速度向點C移動。移動時，點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)。
（1）P，B，Q三點能構(gòu)成等腰三角形嗎？
（2）幾秒鐘后P，Q兩點間的距離為 ㎝？
圖10 |
解 （1）假設(shè)經(jīng)過t秒鐘后P，B，Q三點能構(gòu)成等腰三角形，由于∠B＝90°，因而PB＝BQ .由 ， ，得到
， 解得 .
這時， ＝4，與已知BC＝3矛盾，
∴ P，B，Q三點不能構(gòu)成等腰三角形。
（2）假設(shè)經(jīng)過t秒鐘后P，Q兩點的距離為 ㎝，則
， ，
由勾股定理，得到 ,
即有 ，
解得 ， （不合題意，舍去）。
∴ 經(jīng)過0.4秒后，P，Q兩點的距離為 ㎝。
在例10的解法中，運用了方程思想。我們首先引入了變量t,然后在（1）（2）兩個問題中，分別列出了方程
和 ，
通過解方程得到了問題的答案。
建議大家研究下列問題：
（1）有些國家用攝氏溫度表示氣溫，有些國家用華氏溫度表示氣溫。已知攝氏溫度與華氏溫度之間存在著如下的對應(yīng)關(guān)系：
x/℃ | … | -10 | 0 | 10 | 20 | 30 | … |
y/oF | … | 14 | 32 | 50 | 68 | 86 | … |
已知某天甲地的最高氣溫是8℃，乙地的最高氣溫是910F，這一 天乙地的最高氣溫比甲地的最高氣溫高多少攝氏度（結(jié)果保留整數(shù)）？
（2）某工程隊要招聘甲、乙兩工種的工人共150人，其中乙工種的人數(shù)不少于甲工種人數(shù)的2倍。如果甲、乙兩工種工人的月工資分別為600元和1000元，那么甲、乙兩工種各招收多少人時，可以使每月所付的工資總額最少？
（3）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝ ，求邊BC的長。
三、數(shù)學中的邏輯方法
（一）數(shù)學活動的基本方法——抽象法
1．數(shù)學抽象的特點
人類是通過抽象獲得對自然界的認識的。列寧指出：“認識是人對自然界的反映。但是，這并不是簡單的、直接的、完全的反映，而是一系列的反映過程，即概念、規(guī)律的構(gòu)成與形成過程?！弊鳛橐婚T科學，數(shù)學是對客觀世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系進行抽象的產(chǎn)物，數(shù)學中的一切理論都是抽象的結(jié)果。抽象、逐級抽象、高度抽象是數(shù)學的基本特征。因此，抽象是數(shù)學活動最基本的方法。
“抽象”一詞，源自拉丁文，原意是排除、抽出。所謂抽象，一般指科學的抽象，是指透過事物的現(xiàn)象，深入事物的里層，把事物的本質(zhì)抽取出來。
與一般的科學抽象相比，數(shù)學中的抽象方法有著自身的特點：
（1）內(nèi)容的特殊性——數(shù)學抽象僅抽取事物的量的關(guān)系和空間形式而舍棄其他。任何客觀事物都具有質(zhì)和量兩個方面，質(zhì)是一種事物區(qū)別于其他事物的內(nèi)部規(guī)定性，量是指事物的規(guī)模、存在方式及發(fā)展速度等。質(zhì)的問題構(gòu)成了各門科學特定的研究對象，例如物理性質(zhì)是物理學研究的對象，化學性質(zhì)是化學已經(jīng)研究的對象。量的問題構(gòu)成了數(shù)學的研究對象。從歷史的角度看，“數(shù)”和“形”曾經(jīng)是“量”的最基本的內(nèi)容。正因為如此，恩格斯指出：“純數(shù)學的研究對象是客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式?！?/strong>由此可見，數(shù)學抽象完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容，僅僅保留數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的內(nèi)容，因而量化和形式化是數(shù)學抽象的重要特征。
（2）方法的特殊性——數(shù)學抽象是一種構(gòu)造性活動。數(shù)學抽象不僅是借助于定義、推理等邏輯方法進行的，而且要把事物的本質(zhì)屬性用數(shù)學概念和原理固定下來。因此，數(shù)學抽象是一種建構(gòu)活動，不僅各種數(shù)學對象、數(shù)學概念、數(shù)學原理、數(shù)學符號、數(shù)學方法都是數(shù)學抽象的結(jié)果，而且運用數(shù)學知識解決實際問題的過程都是運用數(shù)學抽象構(gòu)建和研究數(shù)學模型的過程。
例如，“有5個人，每人有3本書，共有15本書”；“某人每小時行3公里，5小時共行15公里”是兩個實際問題，舍棄人、書、路程等具體內(nèi)容，抽象出數(shù)量關(guān)系這個本質(zhì)特征，就得到3×5＝15，這就是數(shù)學抽象。又如，從宇宙中的星星、空中的一粒塵埃、大海中的一滴水等許多具體事物中，舍棄質(zhì)的特點，抽取出“只有位置、大小可以忽略不計”的幾何中“點”的概念，也是數(shù)學抽象的結(jié)果。可見，用定義和推理的方法進行、并把事物的量的方面的本質(zhì)屬性用數(shù)學概念、原理、符號等固定下來，是數(shù)學抽象的重要特征。
2．數(shù)學抽象的步驟
（1）分離。暫時不考慮所研究的對象與其他事物的聯(lián)系，把研究對象作單獨考察；
（2）提純。排除研究對象外部的、現(xiàn)象的、偶然的因素，通過對研究對象的各種屬性的分析，發(fā)現(xiàn)和抽取內(nèi)在的、本質(zhì)的、必然的屬性；
（3）概括。對已經(jīng)抽取的事物的屬性作簡化和形式化處理，使得其表達方式更為明確和簡潔，更能反映事物的本質(zhì)。
3．數(shù)學抽象的主要方式
（1）理想化抽象。所謂理想化抽象，是指在純粹理想的狀態(tài)下，對事物作簡單化和完善化處理的數(shù)學抽象。這種抽象，撇開事物質(zhì)的方面的具體內(nèi)容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物一般的、共同的、本質(zhì)的屬性，在理想狀態(tài)下抽取事物的本質(zhì)屬性。例如，幾何中的點、線、面的概念都是理想化抽象的結(jié)果。在現(xiàn)實世界中，根本找不到?jīng)]有長、寬、高的“點”，也找不到?jīng)]有寬度和厚度的“線”，同樣找不到?jīng)]有厚度的“面”。但是，幾何中的點、線、面卻具有現(xiàn)實中各種點、線、面的共同屬性，因而是對客觀事物更深刻、更準確、更全面的反映。
例21 六人集會問題。證明：在任何6人的集會上，至少有3人彼此相識或不相識。
分析 因為題目中的6個人既無國籍、膚色等限定，也無身高、年齡、性別等區(qū)分，因而可以用理想化方法把他們抽象為6個不同的點A，B，C，D，E，F；把彼此相識或不相識的關(guān)系抽象為連接這兩個點的線段，用實線表示相識，用虛線表示不相識。這樣，問題就化為“證明：在以點A，B，C，D，E，F為頂點的三角形中，必存在一個實線三角形或虛線三角形?！边@就是用理想化方法為本題構(gòu)建的數(shù)學模型。
如圖11所示，在五條線段AB，AC，AD，AE，AF中，由抽屜原理，顯然至少有3條同為實線段或同為虛線段，不妨設(shè)AB，AC，AD同為實線段。
下面考察△BCD ，如果線段BC，CD，DB都是虛線段，則△BCD為虛線三角形，這時要證明的結(jié)論成立。如果線段BC，CD，DB中至少有一條為實線段，不妨設(shè)BC為實線段，這時△ ABC為實線三角形，于是要證明的結(jié)論成立。
圖11 |
例22 桌面上有n只杯子（n為奇數(shù)），全部倒放著。每次翻動n－1只杯子，經(jīng)過有限次翻動后，能否使所有的杯子全部口朝上？
分析 這是生活中的問題，可以通過理想化抽象，構(gòu)建該問題的數(shù)學模型。把一只杯子杯口朝下記做1，杯口朝上記做－1。則問題的初始狀態(tài)為 。每次翻動n－1只杯子，即乘以 ，翻動m次即乘以［ ］m. n只杯子全部杯口朝上，這個狀態(tài)為 .
于是，問題轉(zhuǎn)化為：若 n為奇數(shù)，等式
·［ ］m＝
是否成立？
因為左邊的值為1 ，右邊的值為－1 ，等式不可能成立。這說明，經(jīng)過有限次翻動，不能使所有杯子全部口朝上。
（2）可能性抽象。所謂可能性抽象，是指在研究問題的過程中，擬抽象出來的概念無法確定其是否存在。這時，先假定其存在，由此建立起一定的數(shù)學理論，然后在實踐中檢驗這種理論的合理性，從而確立或否定這個數(shù)學概念。一般來說，當擬抽象的數(shù)學概念雖然遠遠脫離了現(xiàn)實事物，但理論上有著存在的可能性時，往往先假定它的存在，產(chǎn)生某種概念，這種方法叫做可能性抽象或存在性抽象。例如，無理數(shù)、負數(shù)、虛數(shù)、自然數(shù)集無限伸展等，這些概念都是用可能性抽象的方法建立起來的。在數(shù)學問題解決中，也常常用到可能性抽象。
例23 證明： ＝1
分析 用可能性抽象方法。從理論上看，實數(shù) 與 是必然存在的，故設(shè) ，
然后，運用數(shù)學推理求x的值。兩邊立方得
，
整理得 ， 即有 ，
由于 ＞0， 所以 ，從而有 ＝1.
（3）弱抽象與強抽象。由特殊到一般，再由一般到特殊，這是人們認識事物的基本規(guī)律。這個規(guī)律應(yīng)用在數(shù)學中，就是弱抽象與強抽象。
所謂弱抽象，就是舍棄研究對象的一些特征或?qū)傩裕Ａ裟骋惶卣骰驅(qū)傩?，形成更為普遍、更為一般的事物的抽象方法。對?shù)學概念進行弱抽象，其內(nèi)涵逐漸減少，外延逐漸增大，就得到更具普遍性的新概念；對數(shù)學原理進行弱抽象，逐漸減少對條件的限制，就得到范圍更普遍、更一般的新的原理。
例如，對“矩形”概念進行弱抽象：舍棄“內(nèi)角是直角”的屬性，僅保留“對邊互相平行”的屬性，就得到了“平行四邊形”這個更廣泛的新概念，矩形則成為平行四邊形概念的特例。又如，對于乘法公式 ，開始階段學生僅知道式中的a，b是實數(shù)或單項式，后來逐步認識到a，b也可以是多項式以至任何代數(shù)式，這個認識過程也是一種弱抽象過程，是從特殊到一般的認識過程。
與弱抽象相反，強抽象是從一般到特殊的認識過程。所謂強抽象，是指強化研究對象的一些特征或?qū)傩?，即增加一些特征或?qū)傩?，從而得到范圍較小、較特殊的對象的抽象方法。對數(shù)學概念進行強抽象，增加其內(nèi)涵，減少其外延，就得到作為原概念特例的一種新概念；對數(shù)學原理進行強抽象，加強對條件的限制，就得到原命題的一個特殊命題。
例如，在二項式定理的展開式
中，n是任意自然數(shù)。如果運用強抽象，分別令 和 ，則得到
和 ，
這兩個公式都是二項式展開式的特例，是兩個范圍較小的命題。
由前面的例子可以看出，在數(shù)學概念序列和原理序列中，弱抽象是由特殊概念和特殊原理過渡到一般概念和一般原理的重要方法，強抽象則是由一般概念和一般原理過渡到特殊概念和特殊原理的重要方法。
（二）數(shù)學推理方法
與物理學、化學、生物學等實驗科學不同，數(shù)學是一門演繹科學，推理是數(shù)學中最重要、最經(jīng)常的活動。數(shù)學中的推理方法，主要有基本推理方法、合情推理方法、邏輯推理方法等三類。作為數(shù)學推理的基本方法，主要是分析法與綜合法。
1．數(shù)學基本推理方法——分析法與綜合法
分析法與綜合法都是邏輯思維的基本方法。分析法著眼于從細部揭示事物的本質(zhì)、了解事物的內(nèi)部規(guī)律；綜合法著眼于從總體上把握事物的本質(zhì)與規(guī)律。
（1）分析法。所謂分析法，是把研究對象在思維中分解為各個組成部分、方面、層次、因素，分別加以考察，從而認識事物各方面的本質(zhì)和屬性的方法。分析法的思維方向是“化整為零”。例如，人們在研究平行四邊形的性質(zhì)時，總是分別研究它的邊的性質(zhì)、角的性質(zhì)、對角線的性質(zhì)；在研究方程時，總是先把它分解為代數(shù)方程和超越方程，再把代數(shù)方程分解為有理方程和無理方程，把有理方程分解為整式方程和分式方程，把整式方程分解為一元一次方程、一元二次方程……，把超越方程分解為指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程、反三角方程等，然后逐一進行考察和研究，從而認識各種方程的概念、特點和解法，這里運用的方法就是分析法。
把事物的各個部分從總體中分離出來作單獨研究，著眼于各部分的性質(zhì)，這是分析法的基本特征。運用分析法，不僅有助于深入事物的內(nèi)部，把握事物的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部規(guī)律，也有助于排除表面現(xiàn)象，了解事物的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系。正因為如此，分析法在數(shù)學中有著廣泛的應(yīng)用。
數(shù)學中的分析法，又有追溯（su）型分析法（即執(zhí)果索因的方法）、構(gòu)造型分析法、前進型分析法、混合型分析法等多種不同形式。
例24 設(shè) ,求證： .
證明 先用分析法。記 ＝ ； ＝ .
則由 ＞0，
＞0，
可知｛ ｝與｛ ｝都是遞增數(shù)列。
再用綜合法。由 ， ＜ ＝ ，
可知 ≥ ， 從而得到 .
例25 設(shè)有關(guān)于x的二次函數(shù) ，其中a，b，c分別是△ABC的三邊的長，證明這個函數(shù)的圖像與x軸不相交。
證明 用追溯型分析法。欲證拋物線
與x軸不相交，只需證明其判別式小于0，即只需證
＜0，
只需證明 ＜0，
由于 ＞0， 因而只需證明 ＜0，
即只需證明 b＋c＞0，而這是顯然成立的。
（2）綜合法。所謂綜合法，是把研究對象的各個部分、方面、層次、因素聯(lián)結(jié)起來作整體研究，從而從總體上把握事物的本質(zhì)與規(guī)律的一種方法。
例如，在分別研究了正數(shù)、零、負數(shù)等有理數(shù)和無理數(shù)的概念、性質(zhì)和運算法則之后，把這些數(shù)綜合到一起作為實數(shù)同一進行考察，發(fā)現(xiàn)在實數(shù)范圍內(nèi)不僅可以做代數(shù)運算，而且具有交換律、結(jié)合律、分配律等運算性質(zhì)，也發(fā)現(xiàn)實數(shù)不僅具有連續(xù)性，而且具有順序性，可以比較大小，從而形成了對實數(shù)本質(zhì)的認識。這里運用的方法就是綜合法。又如，在做平面幾何的證明題時，人們總是對各個已知條件分別進行研究，考察由這些條件可以分別得出什么結(jié)果，然后尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，研究怎樣綜合各種條件導出要證明的結(jié)論，這后一個過程運用的方法就是綜合法。
一般來說，運用綜合法需要經(jīng)過兩個步驟：第一，在分析法的基礎(chǔ)上，通過比較找出事物各部分屬性之間的內(nèi)在聯(lián)系；第二，把這種內(nèi)在聯(lián)系概括上升為對事物本質(zhì)屬性的整體認識。
例26 如圖12 ，在△ABC中， P為三角形內(nèi)一點， PD⊥AB于點D，PE⊥AC于點E，∠ABP＝∠ACP，F為BC的中點。求證：DF＝EF.
分析 應(yīng)用分析法，先把題目“化整為零”，對本題已知與結(jié)論的各要素進行考察。
（1）由PD⊥AB，PE⊥AC的條件，可知△BPD與△CEP都是直角三角形，由此可以導出勾股定理、斜邊上的中線等于斜邊的一半等許多性質(zhì)；
（2）由∠ABP＝∠ACP，可以導出∠DPB＝∠EPC等有關(guān)角的關(guān)系；
（3）由F為BC的中點可以想到，如果還有其他中點，就可以應(yīng)用三角形的中位線定理；
（4）要證明DF＝EF，可以利用全等三角形或等腰三角形，現(xiàn)在圖中沒有這樣的三角形，能添加輔助線嗎？
圖12 |
上面是分析的大致過程，運用了分析法。下面轉(zhuǎn)而用綜合法，先尋找各要素的內(nèi)在聯(lián)系：
（5）分別取線段PC與PB的中點M，N，連接MD，MF，NE，NF，這恰與（3） 有關(guān)；
（6）要證明DF＝EF，可以利用△BPD與△CEP。已經(jīng)有 , ；在△PBC中，就有 ， ,從而有 , ；
在△MDF和△NFE中，已有兩組對應(yīng)邊相等，要證明它們?nèi)?，只需證明∠DMF＝∠FNE. 由于MF∥CD，NF∥BE，因而四邊形PMFN是平行四邊形，就有∠PMF＝∠PNF，只需再證明∠DMP＝∠EPN，而這恰與（2）有關(guān)。
2．合情推理方法——歸納法與類比法
數(shù)學中的推理有兩類：一類是必真推理，或者叫做必然推理、理論推理、邏輯推理，另一類是似真推理，或者叫做或然推理、經(jīng)驗推理、合情推理。前一種推理是依據(jù)形式邏輯的法則進行的，主要用于數(shù)學證明；后一種推理是依據(jù)人們的經(jīng)驗進行的，主要用于數(shù)學發(fā)現(xiàn)。歸納法與演繹法就是合情推理的主要形式。
（1）歸納法。歸納法是通過對特殊對象的研究，得出關(guān)于全體對象的一般性結(jié)論的方法。按照所考察的對象是否完全，可以把歸納法劃分為兩種形式，這就是完全歸納法與不完全歸納法。通常所說的歸納法，主要指不完全歸納法。
不完全歸納法可以用來作出推測、提出猜想，因而屬于創(chuàng)造性思維的范疇。不過，不完全歸納法推理的基礎(chǔ)是對個別或部分對象的實驗和觀察，而缺乏對全體對象的考察，因而所得的結(jié)論具有或然性，只能稱之為歸納猜想，其正確與錯誤是需要嚴格論證的。
從哲學的角度看，歸納法的客觀基礎(chǔ)是事物的個性與共性的對立統(tǒng)一。一方面，個性中包含著共性，通過個性可以反映共性；另一方面，個性中有些反映了本質(zhì)，有些則不反映本質(zhì)，有些屬性為全體所共有，有些屬性則僅存于個別的對象之中。這就決定了從個性概括出來的結(jié)論不一定是事物的共性，也不一定反映了事物的本質(zhì)。因此，用歸納法進行的推理屬于似真推理，不僅不能作為數(shù)學中嚴格論證的方法，而且其歸納猜想的正誤也需要進一步作出判斷。例如，法國數(shù)學家費爾馬注意到
, , ，
,
都是素數(shù)，于是在1664年提出歸納猜想：“ 為素數(shù)”。半個世紀后，歐拉發(fā)現(xiàn)
并不是素數(shù)，于是費爾馬猜想被否定。
歸納法在數(shù)學研究中有發(fā)現(xiàn)知識和探索真理的作用。歸納法是依據(jù)少量經(jīng)驗事實，而作出關(guān)于普遍規(guī)律的猜想或假設(shè)的思維形式，其中含有豐富的想象和直覺判斷。眾所周知，想象和直覺判斷屬于創(chuàng)造性思維的范疇，因而歸納法具有發(fā)現(xiàn)新知識和探索真理的創(chuàng)造性功能，成為數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要方法之一。例如，凸多面體的笛卡兒——歐拉公式
就是運用歸納法發(fā)現(xiàn)的。對此，只要觀察表1中幾種多面體的面數(shù) 、頂點數(shù) 與棱數(shù) 的關(guān)系，就不難得出結(jié)論。
表1
多面體 | 面數(shù)（ ） | 頂點數(shù)（ ） | 棱數(shù)（ ） |
正方體 | 6 | 8 | 12 |
三棱錐 | 4 | 4 | 6 |
三棱柱 | 5 | 6 | 9 |
三棱臺 | 7 | 10 | 15 |
正八面體 | 8 | 6 | 12 |
又如，1840年英國的弗南希斯.格里斯在對多幅地圖著色時發(fā)現(xiàn)，無論多么復雜的地圖，總可以用四種顏色區(qū)分出所有的國家和地區(qū)，于是便形成了“四色猜想”。這個猜想于1976年由美國的黑肯和阿佩爾借助于計算機給出了證明，于是上升為“四色定理”?？v觀數(shù)學的發(fā)展史，可以看到許多數(shù)學定理和公式都是先由歸納法提出而后加以證明的，這充分顯示了歸納法在數(shù)學發(fā)現(xiàn)、發(fā)明中的重要作用。
在數(shù)學教學中，歸納法同樣是發(fā)現(xiàn)和擴充知識的常用方法。例如，在做完高中教材中的兩個證明題
之后，引導學生運用歸納法就可以形成猜想
加以證明就成為數(shù)學公式，從而發(fā)現(xiàn)了新的知識。
不完全歸納法在數(shù)學學習中有預測答案、探索解題思路的作用。對于較復雜的問題，人們往往難以找到解題方法，甚至找不到解決問題的起點和問題的答案，這時歸納法常?？梢园l(fā)揮其獨特的作用。
例27 化簡
分析 由于所給代數(shù)式較為復雜，直接通分難以達到化簡的目的。用歸納法實驗：
當 1時，原式=
當 2時，原式=
當 3時，原式=
=
于是得到歸納猜想
原式=
至此，人們已很容易想到可以用數(shù)學歸納法證明這個結(jié)果，問題便得到了解決。這里，歸納法顯示出其探索解題思路和預測答案的作用。
（2）類比法。類比法是根據(jù)兩個或兩類對象某些屬性的相同或相
似，而推出它們的某種其他屬性也相同或相似的思維形式，也稱為類比推理。類比法是以比較為基礎(chǔ)的，在對兩個或兩類對象的屬性進行比較時，若發(fā)現(xiàn)它們有較多的相同點或相似點，則可以把其中一個或一類對象的另外一種屬性推移到另一個或另一類對象中去。由于類比法是根據(jù)兩個或兩類不同對象的某些特殊屬性的比較，而作出有關(guān)另一個特殊屬性的結(jié)論的，因此類比法是從特殊到特殊的推理。
例如，地球是太陽系的行星，地球上有空氣，水和生物；火星也是太陽系的行星，火星上也有空氣和水，于是人們推測火星上可能也有生物，這里的思維方法就是類比法。
類比推理的客觀基礎(chǔ)在于相似事物之間的同一性和穩(wěn)定性，但任何兩個相似事物之間不僅有同一性的一面，也必然存在差異性的一面。因而從兩個或兩類對象之間的某些屬性的相同或相似，并不能必然地得出它們在其他方面也相同或相似的結(jié)論。一般來說，當類比推理的結(jié)論恰好是它們具有同一性的屬性時，這個結(jié)論就是正確的；而當推出的結(jié)論恰是它們呈現(xiàn)差異性的屬性時，就導致了結(jié)論的謬誤，這是類比法的局限性。因此，與歸納法一樣，類比推理的結(jié)論也具有或然性，只能稱之為類比猜想，其正確或錯誤也是需要嚴格論證的。
運用類比法有助于科學的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明。天文學家開普勒（1571—1630）說過：“我最珍視類比，它是我最可靠的老師”。數(shù)學家拉普拉斯（1749—1827）則進一步指出：“甚至在數(shù)學里，發(fā)現(xiàn)真理的工具也是歸納和類比”。古往今來，許多科學家都指出了類比方法在科學發(fā)現(xiàn)發(fā)明中的重要作用，我國數(shù)學家徐利治先生對此也給予了充分的肯定，他畫出了框圖（圖13）
從具體問題與具體素材出發(fā) |
實驗 |
類比 |
歸納 |
聯(lián)想 |
推廣 |
預見 |
形成 普遍 命題 |
證明 |
圖13
應(yīng)當說，類比法是各種邏輯思維方法中最富于創(chuàng)造性的一種方法。這是因為，類比法不象歸納法那樣局限于同類事物，也不象演繹法那樣受到一般原理的嚴格制約。運用類比法，不僅可以跨越各類事物的界限，進行不同事物的類比，而且既可以比較事物的本質(zhì)屬性，也可以比較非本質(zhì)屬性。同時，類比法比歸納法更富于想象，因而也就更具有創(chuàng)造性。事實上，人類在科學研究中建立的不少假說和數(shù)學中許多重要的定理、公式都是運用類比提出來的，工程技術(shù)中許多創(chuàng)造和發(fā)明也是在類比法的啟迪下而獲得的。因此，類比法已成為人類發(fā)現(xiàn)發(fā)明的重要工具。
例如，數(shù)學家伯努里（1654—1705）為解決級數(shù)
的求和問題曾經(jīng)大傷腦筋，他甚至公開懸賞征答，但一直無人問津。直到18世紀上葉，才由歐拉（1707—1783）給出了結(jié)果
歐拉解決這一數(shù)學名題，就是運用了類比的方法。
類比法在數(shù)學問題解決中有啟迪思路和觸類旁通的作用。著名哲學家康德說過：“每當理智缺乏可靠論證的思路時，類比這種方法往往能指引我們前進?！碑斎藗兠媾R一個比較生疏或比較復雜的數(shù)學問題時，往往尋找一個比較熟悉或比較簡單的問題作為類比對象（類比源），它或者可以提供一種解決問題的方法模式，或者可以為問題解決提供一種思考的途徑，從而有助于問題的解決。
例28 解方程 ＋ ＝ .
分析 已知方程是比較復雜的無理方程，用常規(guī)解法顯然十分繁瑣。注意到方程左邊的兩個根式互為倒數(shù)，右邊的 可以寫成 ，其中3與 也互為倒數(shù)，于是取方程 為類比源，這個方程的解顯然為 ，或 ，由原方程得到
＝3，或 ＝ ，
從而有 或 ，
解得 ， . 檢驗可知，它們都是原方程的根。
例29 解方程組
①② ③ |
分析 顯然，用代入法或加減法消元都比較繁瑣，取方程組
④ ⑤
|
作類比。由（④2－⑤）÷2得 ，由韋達定理可知，x，y是方程
的兩個根，于是有 和 .
因為兩個方程組的結(jié)構(gòu)是類似的，因此可以按照這種思路求原方程的解。
解 由（①2－②）÷2得 ，
由（①3－③）÷3得 ，
從而有 ， 整理得 .
由韋達定理可知， 是方程 的三個根。由于這個方程的根是1，2，3，所以原方程有六組解
例30 若 的三邊分別為 ，面積為 ，求證
①
分析 此題的證明思路較難獲得。從形式的相同上，可取
②
與所證明的結(jié)論①進行類比。二者都是二次不等式，且方向相同，因為②式在 時恒成立，因此可以考慮把①式化為關(guān)于某一個字母變數(shù)的一元二次不等式，試證其判別式 。這里，類比法在啟迪思路方面顯然發(fā)揮了積極的作用。
證明
③
③式顯然是關(guān)于 的一元二次不等式，且
∴ ①式恒成立。
類比法在數(shù)學教學中可以作為發(fā)現(xiàn)命題與擴寬知識的方法。類比方法的客觀基礎(chǔ)在于事物系統(tǒng)與過程存在的普遍聯(lián)系，以及這種聯(lián)系的可比較性。例如，三角形與四面體雖然不是同樣的事物，但可以進行科學類比，其原因在于這二者分別是最簡單的多邊形與最簡單的多面體，他們都以數(shù)量最少的邊界元素在平面內(nèi)或空間中界定了一個區(qū)域。一般地，在數(shù)與式、平面與空間、一元與多元、低次與高次、相等與不等、有限與無限、連續(xù)與離散之間都可以通過類比作出預見和發(fā)現(xiàn)，從而為數(shù)學教學與數(shù)學發(fā)現(xiàn)開辟了廣闊的空間，類比法因此成為數(shù)學教學中引導學生發(fā)現(xiàn)命題與擴寬知識的重要方法。
需要指出，在數(shù)學教學中不僅許多定理、公式和法則是可以引導學生用類比法先行提出猜想而后加以證明的，而且許多例題與習題也可以用類比的方法從中引出新的知識，這對于充分發(fā)揮教材的教育功能、以及鞏固知識和發(fā)展學生的創(chuàng)造性思維能力都具有重要的意義。
3.邏輯推理的主要方法——三段論法（略）
四、數(shù)學問題解決的方法——數(shù)學模型方法（略）
五、建構(gòu)數(shù)學理論的方法——公理化方法（略）
