用數學模型思想方法解決數學實際應用問題
祁陽縣文明鋪鎮(zhèn)中心學校135班
劉清松隨著新課改的進步落實,素質教育全方位\深層次推進,數學學科要求學生具有較高的數學素質、數學意識和較強的數學應用能力。
用數學模型思想方法解決初中數學
實際應用問題的教學難點要點及對策
關鍵詞: 數學模型 難點 策略
隨著新課改的進步落實，素質教育全方位、深層次推進，數學學科要求學生具有較高的數學素質、數學意識和較強的數學應用能力。而數學實際應用問題具有這種考查功能。它不僅具有題材貼近生活，題型功能豐富，涉及知識面廣等特點，而且其應用性、創(chuàng)造性及開放性的特征明顯。新課標把探索培養(yǎng)學生應用數學知識和數學思想方法解決實際問題的能力已落實到各種版本的數學實驗教材中去了。今天社會對數學教學提出更高要求，不僅要求培養(yǎng)出一批數學家，更要求培養(yǎng)出一大批善于應用數學知識和數學思想方法解決實際問題的各類人才。初中階段是探索和培養(yǎng)各類數學人才的黃金時段，而把實際問題轉化為數學問題又是絕大多數初中學生的難題，如果在教學中我們有意識地運用數學模型思想幫助學生克服和解決這一難題，那么學生就會擺脫實際應用問題的思想束縛，釋放出學習和解決實際應用問題的強大動力，激活創(chuàng)造新思維的火花。
把實際問題轉化為一個數學問題，通常稱為數學模型。數學模型不同于一般的模型，它是用數學語言模擬現實的一種模型，也就是把一個實際問題中某些事物的主要特征，主要關系抽象成數學語言，近似地反映客觀事物的內在聯系與變化過程。建立數學模型的過程稱為數學建模。它主要有以下三個步驟：①實際問題→數學模型；②數學模型→數學的解；③數學的解→實際問題的解。對初中學生來說，最關鍵最困惑的是第一步。
一、 初中學生解決實際應用問題的難點
1.1、缺乏解決實際問題的信心
與純數學問題相比，數學實際問題的文字敘述更加語言化，更加貼近現實生活，題目也比較長，數量也比較多，數量關系顯得分散隱蔽。因此，面對一大堆非形式化的材料，許多學生常感到很茫然，不知如何下手，產生懼怕數學應用題的心理。具體表現在：在信息的吸收過程中，受應用題中提供信息的次序，過多的干擾語句的影響，許多學生讀不懂題意只好放棄；在信息加工過程中，受學生自身閱讀分析能力以及數學基礎知識掌握程度的影響，許多學生缺乏把握應用題的整體數學結構，并對全立體結構的信息作分層面的線性剖析的能力。即使能讀懂題意，也無法解題；在信息提煉過程中，受學生數學語言轉換能力的影響，許多學生無法把實際問題與對應的數學模型聯系起來，缺乏把實際問題轉換成數學問題的轉譯能力。
數學建模問題是用數學知識和數學分法解決實際生活中各種各樣的問題，是一種創(chuàng)造性的勞動，涉及到各種心理活動，心理學研究表明，良好的心理品質是創(chuàng)造性勞動的動力因素和基本條件，它主要包括以下要素：自覺的創(chuàng)新意識；強烈的好奇心和求知欲；積極穩(wěn)定的情感；頑強的毅力和獨立的個性；強烈而明確的價值觀；有效的組織知識。許多學生由于不具備以上良好的心理品質因而對解決實際問題缺乏應有的信心。
1.2、對實際問題中一些名詞術語感到生疏
由于數學應用題中往往有許多其他知識領域的名詞術語，而學生從小到大一直生長在學校，與外界接觸較少，對這些名詞術語感到很陌生，不知其意，從而就無法讀懂題，更無法正確理解題意，比如實際生活中的利率、利潤、打折、保險金、保險費、納稅率、折舊率、移動電話的收費標準等概念，這些概念的基本意思都沒搞懂。如果涉及到這些概念的實際問題就談不上如何去理解了，更談不上解決問題。例如：從2001年2月21日起，中國電信執(zhí)行新的電話收費標準，其中本地網營業(yè)區(qū)內通話費是：前3分鐘為0.2元（不足3分鐘按3分鐘計算），以后每分鐘加收0.1元（不足1分鐘按1分鐘計算）。上星期天，一位同學調查了A、B、C、D、E五位同學某天打本地網營業(yè)區(qū)內電話的電話時間情況，原始數據如表一：
A B C D E
第一次通話時間 3分 3分45秒 3分55秒 3分20秒 6分
第二次通話時間 0分 4分 3分40秒 4分50秒 0分
第三次通話時間 0分 0分 5分 2分 0分
表二：
時間段 頻數累計 頻數
0≤t≤3
3≤t≤4
4＜t≤5
5＜t≤6
⑴D同學這天的通話費是什么？⑵設通話時間為T（分），試根據表一填寫頻數（落在某一時間段上的通話次數）分布表（表二）⑶調整前執(zhí)行的原電話收費標準是：每3分鐘為0.2元（不足3分鐘的按3分鐘計算）。問：這五位同學這天的實際平均通話費與用原電話收費標準算出的平均通話費相比，是增多了，還是減少了？若增多，多多少？若減少，少多少？
本問題就涉及到學生不太熟悉的名詞術語：本地網，通話費、收費標準、通話時間、時間段等，若讓學生自己到電信局進行調查將這些名詞的意思完全弄明白后，教師再分析講解，學生就易搞懂了。
1.3對數據處理缺乏適當的方法
許多實際問題中涉及到的數據多且雜亂，學生面對如此多而雜亂的數據感到無從下手，不知應把哪個數據作為思維起點，從而找不到解決問題的突破口。例如：某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管等其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元。
⑴求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天支付的總費用最少？⑵若提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠（即原價的90%），問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由。本問題涉及到的量有：每天需用面粉6噸，每噸面粉價格1800，購買面粉運費每次900元，保管每噸面粉每天3元，所求的問題⑴多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？⑵是否考慮9折優(yōu)惠，條件是每次購進面粉不少于210噸？在這諸多量中，到底從哪個量入手建立怎樣的數學模型來解決問題？許多學生是一片茫然。
1.4缺乏將實際問題數學化的經驗
數學模式的呈現形式是多種多樣的，有的以函數顯示，有的以方程顯示有的以圖形顯示，有的以不等式顯示，有的以概率顯示，當然，還有其他各種形式的模型，具體到一個實際問題來講，判斷這個實際問題與哪類數學知識相關，用什么樣的數學方法解決問題，是學生深感困難的一個環(huán)節(jié)。
例如：某鄉(xiāng)為提高當地群眾的生活水平，由政府投資興建了甲、乙兩個企業(yè)，1997年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤320萬元，從乙企業(yè)獲得利潤720萬元，以后每年上交的利潤是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤的2/3，根據測算，該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)獲得的利潤達到2000萬元可以解決溫飽問題，達到8000萬元可以達到小康水平。
⑴若以1997年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個企業(yè)獲得利潤最少的一年是哪一年，該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？⑵試估算2005年底該鄉(xiāng)能否達到小康水平？為什么？
根據調查結果，學生閱讀了以上題目，問其想到了什么數學知識，許多學生答不出來。我認為答不出的主要原因就是學生存在把主要語言換成數學語言的轉換障礙。數學語言主要指數學文字語言，圖形語言和符號語言，是數學區(qū)別于其他學科的顯著特征，數學語言簡練、抽象、嚴謹。甚至有些晦澀。如“函數，形式簡練但十分抽象，許多學生由于過不了數學語言關，符號化意識弱，無法把普通語言轉化成數學語言，從而無法將實際問題建立起數學模型。
二、用數學建模解決實際問題的要點及方法
2.1根據經驗，解決一個實際問題重點要過好三關：事理關，讀懂題意，知道講的是什么問題；文理關：需要將“問題情景“的文字語言轉化為數學的符號語言，用數學式子表達關系；數理關：在構建數學模型的過程中，要求學生對數學知識的檢索能力，認定或構建相應的數學模型，完成由實際問題向數學問題轉化?？傊?，實際應用問題的難點是：“問題情景的數學化”。因此必須強化訓練學生的“閱讀理解語言的能力”“分析問題的能力”和“數學抽象化能力”這樣才能剝去“實際應用問題”的神秘面紗，還學生數學之真面目。
2.2數學建模遵循如下程式（或流程）
①審題：審題是建模的起步，審題分為讀懂和加深理解兩個層次，把“問題情景譯為數學語言，找出問題的主要關系。②建模：把實際問題主要關系近似化，形式化，抽象成數學問題；③解模：把數學問題化為常規(guī)問題，選擇合適的數學方法求解。④檢驗：對求解的結果進行驗證或評估，對錯誤加以調節(jié)，或將結果應用于現實，作出解釋或預測。其程式如下：
三、克服數學建模困難的對策
針對學生解決實際應用問題的困難以及解實際應用問題的思路和方法，我認為在平時的應用題教學中應重視對學生進行數學應用意識的培養(yǎng)。如數學語言，數學閱讀理解等要有計劃，有針對性地訓練和培養(yǎng)，具體地講，應抓好以下幾個方面的教學。
3.1著力培養(yǎng)學生的自信心
一個人的自信心是他能有效地進行學習的基礎，更是他將來能適應經濟時代必備的心理素質?；谶@樣一個事實，許多國家都把對學生自信心的培養(yǎng)作為數學教育的一個基本目標。因此，在平時教學中，應加強實際問題的教學，使學生從自身的生活背景中發(fā)現數學，創(chuàng)造數學，運用數學，并在此過程中獲得足夠的自信。例如：我曾經安排學生個人或小組到銀行去調查儲蓄存款利息計算方法：讓學生學會選擇儲蓄存款的最佳期限：假設向銀行存款1000元，試計算5年后可得的利息金額，存款方式為⑴5年定期，整存整?。虎?年定期，每年到期后本息轉存；⑶先存2年定期，到期后本息轉存3年定期；⑷半年定期，每次到期后本息轉存，以上存款方式哪種所得利息最多？試用數學原理說明所得結論，這次活動學生興趣很高，在沒有任何強制要求下，學生們個個都去銀行調查并根據調查數據計算出了存款得息最多的方案。用數學原理解釋說明也十分中肯。從這個例子看出，教師在教學中如果注意聯系身邊的事物，讓學生體驗數學，并嘗到成功的樂趣，對激發(fā)學生的數學興趣，培養(yǎng)學生的數學應用意識以及解決實際問題的自信心是非常重要的。
3.2培養(yǎng)學生閱讀理解能力，使學生逐步學會數學地閱讀材料了解材料
通過數學閱讀，能促進學生語言水平的發(fā)展以及認知水平的發(fā)展，有助于學生探究能力和自學能力的培養(yǎng)；通過數學閱讀，有助于學生更好地掌握數學。前蘇聯著名數學教育家斯托利亞爾指出“數學教學也就是數學語言的教學“，因此，從語言學習的角度講，數學教學也必須重視數學閱讀，作為數學教師，不僅要重視培養(yǎng)學生的閱讀能力，還要注重教給學生科學有效的閱讀方法，讓學生認識到數學閱讀的重要性使學生體驗到數學閱讀的樂趣及對學習的益處。從而在興趣和利益的驅動下自覺主動地進行數學閱讀。具體地講，強化閱讀能力的培養(yǎng)，教學時要注意以下幾個方面：（1）讓學生學會說題。所謂說題，就是讓學生通過閱讀題目后，進行分析思考，說出題目提供的信息條件，現象過程，解題思路及應采用的規(guī)律方法等等。教學中可讓學生通覽全題說題目的要素，也可讓學生剖析字句，說題目的條件；還可讓學生形成解題思路后說解題步驟；（2）組織適當的課堂探究交流，課堂探究交流常常需要教師給出一個中心議題或所要解決的問題，學生在獨立思考的基礎上，以小組或班級的形式圍繞議題發(fā)表見解、互相討論；實踐證明，課堂探究交流為師生之間，同學之間的多向交流提供了一個很好的平臺；探究交流對學生獨立活動的自由度增大，可以運用數學語言進行提問、反駁、論證、收集材料，統(tǒng)計數據等多種活動并與別人的思想進行比較，以達到更深層次的理解和掌握。因此，課堂探究交流不僅適合培養(yǎng)學生的交流能力，還有助于激發(fā)學生的學習興趣，增進對知識的理解；（3）創(chuàng)設寫數學的機會，讓學生“寫數學”，就是要學生把他們學習的數學心得體會，反思和研究結果，用文字的形式表達出來，并進行交流。例如：可讓學生寫知識小結、解題反思、調查報告和小論文等，這樣做不僅可以提高學生的數學寫作，閱讀能力和理解能力，而且可以進一步提高學生的數學的學習水平與探索研究能力。
3.3構建知識網絡，強化從整體的角度選擇思維起點的能力，數學實際問題最突出的特點就是數據多，變量符號（字母）多，數量關系隱蔽而且數據具有“生活實際”的本來面目，并非“純數學化”的數據。學生對數據的感悟能力較差，對已知所求之間的數量關系比較模糊，如果從局部入手，則頭緒紛繁，不易突破，但若能從客觀上進行整體分析，抓住問題的框架結構與本質關系，常能出奇制勝，找到解決問題的方法。具體的講可以運用結構數據表格整合信息，理順數量間的關系，從而建立相應的數學結構，凸顯數學“建模”。例如上面提及的電話支費，通過對題目的整體數量分析，可以整合成直觀圖（表3），這樣，所有數據便一目了然。正
時間段 頻數累計 頻數
0＜t≤3 T 2
3＜t≤4 正 5
4＜t≤5 T 2
5＜t≤6 一 1
表3：
這五個同學的實際平均通話費X元，按原電話收費標準算出的平均通話費Y元則X=（2）Y=（）X-Y=?實際上少了0.08元.
3.4加強數學語言能力的培養(yǎng)。對學生數學語言能力的培養(yǎng)包括兩個方面的內容：一是掌握數學語言，包括：①接受——看（聽）得懂，能識別、理解解釋弄清數學問題的語言表達，并能轉化為具體的數學思想，能用自己的語言復述、表達；②表達——寫（講）得出，能將自己解決數學問題的觀點、思想、方法、過程用恰當的語言標準流暢地表達出來，并且在表達中名詞述語規(guī)范、準確、合乎邏輯。二是幫助學生掌握好非數學語言與數學語言之間，各種數字語言的互譯、轉化工作。加強對學生數學語言能力的培養(yǎng)，主要做好以下兩方面的工作：
首先，要加強語義、句法的教學。斯托利亞爾指出：“這兩方面都很重要，如果只限于語義一種，那么數學將不會使用形式的數學工具，進而不會用它們解決問題。如果只限于句法一種，那么學生將不理解數學語言表達的意義，不能把非數學的問題轉化為數學問題，他們的知識將是形式主義的、無益的。”在教學中可以利用以下方法加強學生對語義、句法的理解：（1）借助于語文知識中句子的擴寫或縮寫來幫助理解。如“對頂三角相等”擴寫成：“如果兩角是對頂角，那么這兩個角相等”，再如：“連接兩點的線段的長度叫這兩點間的距離”，可先誘導學生找出句子的主、謂、賓語，再讀縮句，即句子的主干，這樣學生就加深了對“距離”的理解，“距離”是“長度”，是“正的數量”而不是“形”——線段（2）借助于“打比方”幫助理解。如數學中的“直線”可比喻為孫悟空的“金箍棒”，既不失科學性，又能使學生印象深刻，理解透徹。（3）運用比較法幫助理解，如學習“二次根式”的加減運算時，與已學過的“整式”的加減運算作比較，得知相同點就是“合并”不同點就是“同類二次根式”與“同類項”（4）多角度理解，如相反數時，從定義角度理解：分別求-3、-5、0的相反數，相反數是10的數是什么？從數軸的角度理解：數軸上什么樣的兩數互為相反數？從絕對值角度理解：符號、絕對值怎樣的兩數互為相反數？從運算角度理解：相加得0的兩數互為相反數嗎？通過這樣的多角度直觀，強化理解。
其次，要加強數學語言的互譯的訓練。數學概念、定理、公式、法則等往往是通過一種語言表述的。而學生要真正理解和運用它們，則必須要能靈活運用三種語言（文字語言、圖形語言、符號語言）進行表述。例如，平面幾何中的定理都是用文字語言表述的，但是證明時的論證需借助符號語言來表達，其間圖形語言作為文字語言和符號語言的必要補充，為數學思維提供直觀模型。因此，在平面幾何的教學中必須注重對三種語言的轉化訓練，對書上的每一定理都要求能夠作出對應圖形，并能用符號語言寫出對應的幾何譯式。
3.5優(yōu)化教學設計，教學策略。
傳統(tǒng)教學中，教學過程基本上由教師控制，教學設計只關注對傳授——接受過程的優(yōu)化，而很少關注改變學生學習方式，學生接受的只是一些數學結論，對數學問題是怎樣提出的，概念是如何在具體情景中形成的，結論怎樣探索和猜測到的，證明的思路和計算的想法是怎樣得到的，結論的作用和意義是什么？很少關注。因而無法實現學生的數學學習由被動接受“結果”向主動積極構建“過程”的轉化。一碰上實際問題，就茫然不知所措。為改變這一高耗低效的課堂，教學設計應注重創(chuàng)造問題情景，開發(fā)教學媒體，提供學習資源，優(yōu)化學習環(huán)境。在指導學生學習策略上：一是變學生“倉庫式”學習為“蜂蜜式”學習，二是變學生由知識學習為體驗學習、發(fā)現學習。因此教學設計不僅要關注“基礎知識”傳授，更要關注如何向學生提供真實情境，模擬情境向學生展現“春天的原野”，讓學生體驗嘗試，發(fā)現探究。讓學生博采廣擷，自我“釀蜜”；優(yōu)化教學設計離不開研究學生的數學學習心理，摸清學生的學情，否則，教師無法有針對性地提供給學生解決數學實際問題的思想和方法。
3.6開發(fā)教材潛能，創(chuàng)造性地用好教材
教材是教與學的依據，也是教學問題的題源。教材中的例題、習題是經過反復篩選精編而成，看似尋常，實則內涵豐富。有不尋常的價值和應用功能，教師要充分發(fā)揮、挖掘教材中例、習題的作用，在教與學中創(chuàng)造性地設置教學情景，并適時地“深挖洞”或“廣積糧”形成以問題為中心展開教學，使學生真正理解掌握知識的產生、形成和發(fā)展過程。對例題，習題的教學中采取一題多解（多角度、多方位、多層次）的形式，容易的題精講，舊題新講，小題大講（深入挖掘、一題多變、一題多解、一題多用）如果老師教學時在處理上述問題原形時，不引導學生進行橫向擴展縱向延伸，學生在面對實際問題時是很難解決的。因此，教師要創(chuàng)造性地使用好教材中的例題、習題，在布置練習時要減少一些“死”的書面作業(yè)，增加一些“活”的實踐性、開放性、探究性作業(yè)。對教材中的概念、公式、法則、定理不僅要求熟記，而且要弄清背景和來源，以及與其他知識的聯系，注重教材中概念、公式、法則、定理的提出、知識的形成。發(fā)展過程、解題思路的探索過程，解題規(guī)律和方法的概括過程，為學生創(chuàng)建了解決實際問題的基石和搭建了登高望遠的平臺。
綜上所述，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力，關鍵是要培養(yǎng)學生建模能力，即把實際問題轉化為純數學問題的能力，而提高這一能力，需要教師平時對學生進行長時間的啟發(fā)、引導、點撥；和不斷地探究、反思、經過思維碰撞、糾錯磨練。所謂：謀定而動，馬到功成。
參考書目：
《黃岡中學高考名師點擊》
陳圣齊
《初中數學活動研究》 湖南師大出版社
張德
銀川市 《試題研究》
2002.2
張洋
《中學數學教學》
2002.8
