最近在寫的系列主要是面向高中生和大學(xué)數(shù)學(xué)系的本科生們, 希望搭建一座橋梁, 為高中的初等數(shù)學(xué)與大學(xué)的近現(xiàn)代數(shù)學(xué)建立聯(lián)系, 或許可以給喜歡數(shù)學(xué)的學(xué)生一點(diǎn)（未必合適的）引導(dǎo), 讓他們了解一些近現(xiàn)代數(shù)學(xué)尤其是代數(shù)學(xué)研究發(fā)展的歷程, 激發(fā)（也許是澆滅）他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情. 之所以選擇這些問題, 是因?yàn)樗鼈兪谴鷶?shù)學(xué)發(fā)展的基石, 其發(fā)展歷程富有啟發(fā)性, 能給予學(xué)生們很好的訓(xùn)練, 讓他們通過(guò)自己的思考去重復(fù)前人的發(fā)現(xiàn), 體會(huì)“再發(fā)現(xiàn)”的樂趣, 從而領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想. 這個(gè)過(guò)程或許有助于他們今后的科研探索. 然而, 十多年的大學(xué)教書經(jīng)歷告訴我, 上述想法的實(shí)現(xiàn)其實(shí)很難, 因?yàn)槲覀兊慕逃绕涫侵袑W(xué)教育是畸形的, 存在著太多的不足, 搞不清先天的和后天的哪個(gè)比重更大. 需要說(shuō)明的是, 以下的思考是基于本人在大學(xué)的教書經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)作出的, 結(jié)合了少許的與中學(xué)老師的交流.
每次教大一的課程, 我都會(huì)在期中考試后讓學(xué)生們寫一個(gè)總結(jié), 希望他們能夠反思一下進(jìn)入大學(xué)后的幾個(gè)月的學(xué)習(xí)情況. 在日常教學(xué)過(guò)程中, 常常發(fā)現(xiàn)他們身上有太多應(yīng)試教育的難以磨滅的痕跡, 這導(dǎo)致學(xué)生們明顯不適應(yīng)大學(xué)課堂. 或許通過(guò)自我反思他們能轉(zhuǎn)變思維方式, 找到合適于自己的學(xué)習(xí)方法. 從學(xué)生的反饋看, 很多人上大學(xué)前對(duì)大學(xué)生活完全是陌生的, 上了幾個(gè)月課, 覺得被大學(xué)騙了, 尤其是“被高中老師騙了”. 大學(xué)的宣傳可能正能量偏多了一點(diǎn), 而可能不止一位高中老師跟學(xué)生們說(shuō)過(guò): 你們苦過(guò)這三年, 上了大學(xué)就輕松了! 然而真正的大學(xué)生活似乎完全不是一回事, 當(dāng)然不排除在某些大學(xué)或者某些專業(yè)是可能非常輕松的. 在這樣的氛圍里, 學(xué)生們表現(xiàn)出了各種能力的欠缺.
第一種是自理和自控能力不足. 學(xué)生們高考結(jié)束后甚至是在獲得保送資格之后就解脫了, 他們用包括撕書在內(nèi)的各種舉動(dòng)來(lái)宣泄心中壓抑已久的情緒, 如同一根彈簧被拉伸到彈性限度之外, 再也沒有了彈性. 進(jìn)入大學(xué)后, 很多學(xué)生對(duì)所學(xué)專業(yè)缺乏興趣, 失去奮斗的目標(biāo), 關(guān)鍵是沒有了來(lái)自老師家長(zhǎng)的壓力, 無(wú)法恢復(fù)到高中時(shí)的學(xué)習(xí)狀態(tài), 有經(jīng)常打游戲度日的, 也不乏網(wǎng)吧的常駐人口. 在這個(gè)過(guò)程中, 來(lái)自家長(zhǎng)、老師、輔導(dǎo)員或者同學(xué)的幫助都起不了作用, 一些學(xué)生只能選擇休學(xué)甚至退學(xué). 如果以上還算是個(gè)別情況的話, 普遍情況是在超過(guò)半數(shù)的大學(xué)課堂有超過(guò)半數(shù)的學(xué)生在低頭看手機(jī),
第二種是主動(dòng)意識(shí)不夠, 這表現(xiàn)在很多方面.
首先是不會(huì)自主學(xué)習(xí). 比如有不少學(xué)生就說(shuō)自己除了吃飯睡覺就是學(xué)習(xí), 但是效率很低, 事倍而功不到一半, 因?yàn)樗麄冞€是在用高中劃重點(diǎn)的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué), 習(xí)慣性地把定義、命題和定理作為重點(diǎn)畫出來(lái), 死記硬背, 而自覺或不自覺地過(guò)濾掉數(shù)學(xué)概念的背景, 無(wú)視命題、定理等之間存在的內(nèi)在聯(lián)系. 這就像抗日戰(zhàn)爭(zhēng)中鬼子采用囚籠政策, 當(dāng)公路、鐵路被破壞后, 只剩下孤零零的炮樓.
其次是沒有動(dòng)手的意識(shí). 在課堂上, 習(xí)慣于被動(dòng)地接受教師課堂講授的知識(shí). 對(duì)于課上提出的問題, 不善于抓住有限的時(shí)間去思考, 只看不動(dòng), 等著老師講解; 或者滿足于自己有的一點(diǎn)想法, 光說(shuō)不練, 真正要寫下來(lái)卻破綻百出.
再次是沒有主動(dòng)交流的意識(shí). 有些學(xué)生也能意識(shí)到自己學(xué)習(xí)方法的問題, 但是由于各種原因, 不會(huì)主動(dòng)求助于老師或者同學(xué). 上課時(shí), 明明沒有聽懂, 也羞于啟齒問問題. 他們不知道, 如果問出來(lái), 哪怕是很初等的問題, 也可以迅速地解答自己的疑惑, 從而提高課堂效率.
最重要的還是主動(dòng)探索能力匱乏. 在過(guò)去的十幾年里, 教過(guò)幾屆大一學(xué)生, 也面試過(guò)不少學(xué)生, 中學(xué)生和大學(xué)生都有, 大部分學(xué)生通常會(huì)在兩類問題上不知所措. 一類問題是常規(guī)的, 比如求一些數(shù)列的通項(xiàng)公式, 有的學(xué)生會(huì)套用方法, 如果追問一下為什么這個(gè)方法是可行的? 大多數(shù)的回答是書上是這么寫的或者老師是這么教的. 大部分學(xué)生沒有意識(shí)去主動(dòng)問為什么, 也沒有主動(dòng)探索一下方法背后的原因. 另一類問題是開放式的, 比如先解釋一個(gè)沒有接觸過(guò)的概念, 讓學(xué)生們舉一些例子或者做一些簡(jiǎn)單的推理, 很多學(xué)生會(huì)束手無(wú)策, 不知從何下手; 給一些提示, 試圖引導(dǎo)他們?nèi)プ鲆恍┏醪降奶剿? 也會(huì)發(fā)現(xiàn)阻力很大. 惰性在不知不覺中已經(jīng)形成了.
有句話是“分, 分, 分, 學(xué)生的命根”, 很準(zhǔn)確地刻畫了中學(xué)生的處境. 現(xiàn)在的大學(xué)里, 學(xué)生們對(duì)分?jǐn)?shù)的關(guān)注度也到了一個(gè)前所未有的高度. 在這一點(diǎn)上竟然有這樣驚人的一致, 著實(shí)令人詫異! 然而在實(shí)質(zhì)性的教育層面上, 國(guó)內(nèi)的中學(xué)教育與大學(xué)教育存在很大的不同, 兩者如同四輪馬車與高鐵一樣難以銜接. 受專業(yè)所限, 我只就我所了解的數(shù)學(xué)教育進(jìn)行探討, 其他學(xué)科不便置喙. 每年都有幾百萬(wàn)學(xué)生進(jìn)入大學(xué), 需要學(xué)習(xí)令不少人頭疼的高等數(shù)學(xué), 其中有數(shù)萬(wàn)名學(xué)生進(jìn)入數(shù)學(xué)院系, 要系統(tǒng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、抽象代數(shù)、常微分方程等數(shù)十門專業(yè)性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)課程. 大學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)有顯著的不同, 這可能出乎很多大學(xué)新生的意料之外, 以至于一些高中（或者高考）時(shí)表現(xiàn)很優(yōu)秀的學(xué)生也非常不適應(yīng).
從教學(xué)內(nèi)容上看, 中學(xué)教材采用模塊化, 知識(shí)點(diǎn)比較散, 幾乎涵蓋了數(shù)學(xué)的所有分支. 廣度有了, 自然不能深入, 每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都是淺嘗則止, 所以看起來(lái)比較直觀易懂, 能力強(qiáng)一些的學(xué)生看看書可能就會(huì)了. 但深度不夠?qū)е乱粋€(gè)很大的弊端, “高中的數(shù)學(xué)知識(shí)是欠邏輯的”（學(xué)生的話）, 也就是知識(shí)點(diǎn)之間缺乏聯(lián)系, 本該有的一些聯(lián)系被距離遙遠(yuǎn)的模塊徹底淡化. 而大學(xué)數(shù)學(xué)就系統(tǒng)得多, 中學(xué)課本里的大部分章節(jié)都是大學(xué)數(shù)學(xué)的一門課或者一個(gè)研究方向, 甚至一個(gè)專業(yè). 每門課都集中于一個(gè)數(shù)學(xué)分支, 嚴(yán)密抽象, 理論性強(qiáng), 需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯推理能力. 課程內(nèi)容都有足夠的深度, 既自成體系, 有上下關(guān)聯(lián). 有人說(shuō), 大學(xué)里一周里學(xué)到的數(shù)學(xué)內(nèi)容比高中三年學(xué)到的都多, 可能有點(diǎn)夸張, 換成一個(gè)學(xué)期就應(yīng)該沒有爭(zhēng)議了.
從教師的講課方式上看, 兩者大相徑庭. 中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容比較少, 老師們通常采用的是“一停, 二看, 三通過(guò)”的原則（不一定準(zhǔn)確）: 講完一個(gè)知識(shí)點(diǎn), 中學(xué)老師都會(huì)停下來(lái), 給學(xué)生足夠的時(shí)間消化吸收, 還要輔之以一定的例題和練習(xí). 然后看看學(xué)生們掌握的情況, 根據(jù)需要不斷地重復(fù)教學(xué), 用大量的題目讓學(xué)生們課后反復(fù)練習(xí), 還有各種周考月考. 重復(fù)了一定次數(shù)以后, 大部分學(xué)生掌握了, 于是繼續(xù)下一個(gè)知識(shí)點(diǎn). 中學(xué)老師幾乎了解班上所有學(xué)生的特點(diǎn), 有一定的時(shí)間保證可以適當(dāng)做一些面對(duì)面的輔導(dǎo). 而大學(xué)課程如果不是水課的話, 一般都是節(jié)奏快, 知識(shí)容量大. 大學(xué)老師會(huì)不斷向?qū)W生灌輸新的知識(shí), 一般不會(huì)停下來(lái)復(fù)習(xí), 充其量是在用到某個(gè)學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)時(shí)提一下, 但也只能蜻蜓點(diǎn)水, 點(diǎn)到為止.大學(xué)的師和學(xué)生的關(guān)系要比中學(xué)的遠(yuǎn)了許多. 一個(gè)學(xué)期下來(lái), 任課教師叫不出幾個(gè)學(xué)生的名字這是很正常的; 如果任課教師能叫出班上所有學(xué)生的名字（當(dāng)然學(xué)生不少于 20 人）, 那反而是一件很奇怪的事情. 大概是作為回應(yīng)吧, 也有學(xué)生上了一個(gè)學(xué)期的課不知道任課教師的名字, 甚至不知道老師長(zhǎng)啥樣. 我 2002 年在北大做博士后時(shí)講習(xí)題課. 期末考試前有個(gè)學(xué)生去辦公室找我答疑, 見了我的第一句話是: “請(qǐng)問朱老師在嗎?”
從學(xué)生的學(xué)習(xí)方式看, 差異很大. 很多學(xué)生都有同樣的體會(huì): 中學(xué)數(shù)學(xué)是刷題刷出來(lái)的, 或者準(zhǔn)確地說(shuō), 中學(xué)數(shù)學(xué)給他們留下的最深（希望不是全部）的印象是刷題. 學(xué)生們總有做不完的練習(xí)題, 其中很大一部分是機(jī)械性的重復(fù). 在大量的重復(fù)訓(xùn)練中, 學(xué)生們形成了條件反射, 會(huì)套用一些方法快速做題, 從而能有效應(yīng)對(duì)考試. 然而這種訓(xùn)練方式的后果是明顯的: 學(xué)生們窮于應(yīng)付作業(yè), 根本沒有時(shí)間思考, 或者更嚴(yán)重的, 他們根本沒有產(chǎn)生要思考的念頭! 長(zhǎng)此以往, 他們的思維能力在退化, 接受新知識(shí)的能力也在退化, 因?yàn)闆]有足夠的重復(fù)次數(shù), 他們學(xué)不明白新知識(shí). 這些都給學(xué)生的大學(xué)生活帶來(lái)了隱患, 因?yàn)榇髮W(xué)數(shù)學(xué)一般是刷題刷不出來(lái)的, 很多課程沒有那么多習(xí)題供學(xué)生練習(xí), 很多高年級(jí)的選修課的教材根本沒有課后練習(xí)! 有人說(shuō)數(shù)學(xué)研究不是玩技巧的, 而是玩概念的, 很有道理. 大學(xué)的很多課程都是數(shù)學(xué)家們對(duì)一些問題感興趣, 提煉出其中共性得到一個(gè)新的概念, 圍繞這個(gè)概念進(jìn)行探索, 逐步建立起一個(gè)新的數(shù)學(xué)理論, 原始問題在新的理論下一步步獲得解決. 這樣的課程對(duì)初學(xué)者是有一定挑戰(zhàn)性的, 光看書已經(jīng)不容易懂了, 因?yàn)樗麄儚臅峡床怀龌蛘吒静魂P(guān)心問題的起源和探索路徑, 自然也不明白為什么要講那些看起來(lái)不那么友好的數(shù)學(xué)命題. 對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō), 課前適當(dāng)預(yù)習(xí), 了解一下課程的框架, 帶著問題聽課效果會(huì)好一點(diǎn), 否則課后復(fù)習(xí)難度較大. 有的學(xué)生就反映, 復(fù)習(xí)過(guò)程有時(shí)要花費(fèi)比老師講課更長(zhǎng)的時(shí)間.
不得不提一下中美教育的對(duì)比. 在這一方面, 仁者見仁, 智者見智. 從學(xué)生平均的數(shù)學(xué)能力看, 東風(fēng)壓倒西風(fēng), 比如公認(rèn)的中國(guó)學(xué)生數(shù)學(xué)基本功扎實(shí), 而美國(guó)學(xué)生常常出現(xiàn)算 2 × 2 也要?jiǎng)佑糜?jì)算器的奇葩事. 從頂尖學(xué)生的表現(xiàn)看, 西風(fēng)壓倒東風(fēng).
最近幾年的每年 8 月初都有一件在國(guó)內(nèi)引起廣泛關(guān)注的事情, 那就是國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克的結(jié)果. 原因很簡(jiǎn)單, 中國(guó)隊(duì)最近四年都沒有獲得團(tuán)體第一, 而之前被碾壓的美國(guó)隊(duì)有三次獨(dú)占鰲頭. 聽聽美國(guó)奧數(shù)隊(duì)領(lǐng)隊(duì)、卡耐基梅隆大學(xué)數(shù)學(xué)系教授羅博深（Po-Shen Loh）怎么說(shuō)的吧:“我覺得最重要的不是比賽的輸贏”, “對(duì)我而言, 有這個(gè)機(jī)會(huì)帶領(lǐng)這些學(xué)生盡情享受數(shù)學(xué), 讓更多人喜歡數(shù)學(xué)才是最重要的. 我最希望的不是現(xiàn)在催他們做這些奧數(shù)題目, 而是讓他們真的學(xué)到一些更有用的東西, 這樣可以讓他們以后有一個(gè)非常好的、非常成功的未來(lái).” 因?yàn)樗J(rèn)為, 18 歲不應(yīng)該是終點(diǎn)而是出發(fā)點(diǎn). 在培訓(xùn)的過(guò)程中, 羅博深和他邀請(qǐng)來(lái)的各行各業(yè)的其他教練“不僅僅只是教授這些學(xué)生奧數(shù)的方法, 而且教他們真正的數(shù)學(xué), 這些數(shù)學(xué)不只是 IMO 需要用到的”. 教練們也會(huì)和學(xué)生們交流, 奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽這條道路可能會(huì)通向哪里. 大概正是這種以興趣為導(dǎo)向、以未來(lái)為目標(biāo)的理念和圍繞這種理念的有效行動(dòng)才是美國(guó)在近幾年崛起的真正原因, 并且在美國(guó)領(lǐng)先于世界的數(shù)學(xué)研究隊(duì)伍的支持下, 這樣的勢(shì)頭是可持續(xù)的. 這樣, 一大批對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣的學(xué)生們會(huì)不斷涌現(xiàn)出來(lái), 成為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的生力軍.
美國(guó)大學(xué)的數(shù)學(xué)研究者們對(duì)于學(xué)生包括中學(xué)生的培養(yǎng)的確非常有熱情, 比如一些名校的博士生在暑假期間常常有打工的機(jī)會(huì), 主要任務(wù)是指導(dǎo)一些高中生嘗試做科研. 2011 年, MIT 的 Pavel Etingof 教授與另外六位作者合作出版了一本書, 題目是 Introduction to Representation Theory.
這本書的內(nèi)容包括代數(shù)、有限群、quiver（箭圖）表示論, 以及范疇論和有限維代數(shù)結(jié)構(gòu)理論, 其中的大部分內(nèi)容在國(guó)內(nèi)高校數(shù)學(xué)院系的本科甚至研究生課程中都講不到. 在 Etingof 的主頁(yè)可以找到這本書的 PDF 文檔. 他在前言中說(shuō), 這本書是他在 2004 年給其他六位合作者的授課講稿, 而這六位聽眾當(dāng)時(shí)都是高中生! 其中的 Tiankai Liu 應(yīng)該是華人, 在 2001, 2002, 2004 年三次代表美國(guó)隊(duì)參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克都獲得金牌. 還有一位合作者是來(lái)自 South Eugene 高中的 Dmitry Vaintrob, 他在 2006 年獲得面向高中生的 Siemens 競(jìng)賽的第一名, 論文題目是 The string topology BV algebra, Hochschild cohomology and the Goldman bracket on surfaces, 論文已經(jīng)涉及到很深的數(shù)學(xué)理論, 在 Dmitry Vaintrob 的主頁(yè)上也能找到.
再看看我們?cè)谧鍪裁? 曾經(jīng)看過(guò)一道競(jìng)賽訓(xùn)練題, 其本質(zhì)是把八位數(shù)19101112（華羅庚先生的誕生日）分解質(zhì)因數(shù). 很容易找到因數(shù) 8, 然后就一籌莫展了. 后來(lái)借助網(wǎng)絡(luò)工具才直到 19101112 = 8×1163×2053. 看到結(jié)果有點(diǎn)傻眼了: 有誰(shuí)能只用紙筆得到這個(gè)分解? 后來(lái)發(fā)現(xiàn)自己孤陋寡聞了, 有學(xué)生說(shuō)這種分解質(zhì)因數(shù)早就背過(guò)! 細(xì)細(xì)一想真的極為恐怖: 他們?yōu)槭裁匆尺@個(gè)? 他們又背了多少類似的東西?
類似的事情大數(shù)學(xué)家Euler 做過(guò), 只是要有意義得多, 不可同日而語(yǔ). Fermat 曾猜想形如的數(shù)都是素?cái)?shù). 差不多一百年后的 1729 年, Euler 知道了這個(gè)猜想; 三年后, 他終于發(fā)現(xiàn), 從而否定了Fermat 的猜想. 可以想見, 當(dāng)年 Euler 僅用紙和筆當(dāng)然還有他那無(wú)與倫比的大腦進(jìn)行演算時(shí)經(jīng)歷了怎樣的難度. 當(dāng)然, Euler 不是完全用蠻力的, 他摸索出來(lái)一個(gè)高效的方法, 在《How Euler Did Even More》[6]一書中有一節(jié)專門探討了 Euler 怎么得到上述因式分解的.
無(wú)獨(dú)有偶, 與 Euler 齊名的德國(guó)數(shù)學(xué)家 Gauss 在前人的基礎(chǔ)上猜想: 小于正實(shí)數(shù) 的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)與 差不多. Gauss 是在統(tǒng)計(jì)了 3 000 000 以內(nèi)的素?cái)?shù)之后得出的結(jié)論. 他的猜想后來(lái)被證明了, 進(jìn)一步的研究（估計(jì)的誤差）涉及到更深刻的數(shù)學(xué)問題.
2007 年, 下面的彩圖曾經(jīng)風(fēng)靡整個(gè)世界, 占據(jù)了不少國(guó)際主要媒體的重要版面, 甚至出現(xiàn)在一些時(shí)裝上. 這是 John Stembridge 用計(jì)算機(jī)畫的圖, 其中有240個(gè)點(diǎn)及一些點(diǎn)之間的連線. 它是一個(gè)具有高度對(duì)稱的數(shù)學(xué)研究對(duì)象（例外李代數(shù)的根系）在平面上的投影, 具有令人震撼的對(duì)稱美. 然而更讓人吃驚的是那張展現(xiàn)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的黑白圖片, 它是 Peter McMullen 在 20 世紀(jì) 60 年代用鉛筆在紙上畫出來(lái)的!
橫亙?cè)诟咧泻痛髮W(xué)之間的是高考這座千仞大山. 南京師大附中的王棟生老師說(shuō),“高考不是一個(gè)好制度, 但是它是目前社會(huì)條件下唯一比較公平的制度”. 在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi), 高考不太可能做太大的改動(dòng), 中學(xué)教育也不太可能做實(shí)質(zhì)性的改革——當(dāng)然免不了一些自上而下的折騰. 所以, 中學(xué)教育的問題在短時(shí)間內(nèi)是無(wú)解的. 北大的錢理群教授退休之后投身中學(xué)教育十余年, 在包括他的母校南京師大附中在內(nèi)的不少中學(xué)實(shí)踐他的語(yǔ)文教育理念, 結(jié)果是“屢挫屢戰(zhàn), 屢戰(zhàn)屢挫”, “節(jié)節(jié)敗退”, 直到幾年前宣布退出. 學(xué)生們說(shuō), 不是不想聽他的課, 可是他講的內(nèi)容與高考無(wú)關(guān), 有幸的話高考之后再找機(jī)會(huì)聽. 錢理群教授感嘆: 在現(xiàn)行的中國(guó)中學(xué)教育體制下, 應(yīng)試教育之外的任何教育都很難進(jìn)入校園.
不過(guò), 錢理群?jiǎn)拘训臑閿?shù)不多的中小學(xué)教師還在“絕望中抗?fàn)帯? 他們希望探索一條素質(zhì)教育之路, 當(dāng)然前提是對(duì)高考有幫助. 然而這種探索的難度是很大的.
首先, 大部分中學(xué)教師具有足夠的能力和正確的理念來(lái)實(shí)施素質(zhì)教育嗎? 因?yàn)榕畠涸谏蠈W(xué), 近十余年還是比較關(guān)注中小學(xué)教育的, 也自以為是地發(fā)現(xiàn)了中小學(xué)教育的若干問題, 比如重復(fù)做同一份試卷, 抄寫各知識(shí)點(diǎn)很多遍, 背教參上的標(biāo)準(zhǔn)答案, 有趣的歷史、地理也僵化成一個(gè)個(gè)冷漠的知識(shí)點(diǎn), 甚至有不少老師為了應(yīng)付作文考試讓學(xué)生提前把各種題材都寫一篇, 反復(fù)修改后“背”下來(lái), 考試時(shí)默寫到試卷上! 更要命的是這種現(xiàn)象是普遍的!
其次, 設(shè)身處地地想一想, 中學(xué)老師有余力實(shí)行所謂的素質(zhì)教育嗎? 近有期中、期末各種統(tǒng)考, 還有月考甚至周考, 遠(yuǎn)有至關(guān)重要的高考, 這些考試在很大程度上“考的就是熟練程度和對(duì)陷阱的敏感度”（學(xué)生的話）, 大量重復(fù)訓(xùn)練成了一種必然. 而學(xué)生的成績(jī)應(yīng)該是衡量老師的教學(xué)效果的唯一標(biāo)準(zhǔn)吧, 誰(shuí)愿意吃力不討好地花更大的精力實(shí)施短期難以見效的所謂素質(zhì)教育? 班上的學(xué)生人數(shù)多且又參差不齊, 不太可能有某一套素質(zhì)教育方案適用所有的孩子, 也沒有時(shí)間對(duì)每個(gè)孩子進(jìn)行所謂的因材施教.
第三, 素質(zhì)教育有足夠的市場(chǎng)嗎? 對(duì)于大多數(shù)孩子來(lái)說(shuō), 如果在高考中失利, 即使帶著不錯(cuò)的素質(zhì)進(jìn)入不太理想的大學(xué), 其結(jié)果是不難想象的, 其中應(yīng)該會(huì)有一部分人能脫穎而出, 但比例不會(huì)太高. 孩子是一個(gè)家庭的未來(lái), 對(duì)很多家庭來(lái)說(shuō)似乎是唯一的希望, 所以一些探索素質(zhì)教育的學(xué)校和老師遇到的最大阻力是來(lái)自于家長(zhǎng), 甚至是學(xué)生. 錢理群曾經(jīng)感慨, 我們?cè)谂囵B(yǎng)一些“精致的利己主義者”. 當(dāng)然板子不能只打在學(xué)生身上.
盡管如此, 探索之路應(yīng)該也必須要走下去, 或許可以走得靈活一點(diǎn). 素質(zhì)教育不應(yīng)該與高考沖突. 就數(shù)學(xué)教育而言, 如果我們不是把寶貴的時(shí)間花費(fèi)在大量重復(fù)訓(xùn)練上, 而是有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生們?nèi)ヌ剿鲿旧系闹R(shí), 讓學(xué)生們?cè)谂霰诘倪^(guò)程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的奧秘, 在上下求索的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)好玩, 不知不覺中具有了探索未知領(lǐng)域的勇氣, 提高了邏輯思維和解決問題的能力, 這對(duì)于應(yīng)付高考即使不是如探囊取物一般也會(huì)起到催化劑的作用吧. 在這一方面值得借鑒的是 Moore 方法. 1911 年拓?fù)鋵W(xué)家 R. L. Moore 在賓夕法尼亞大學(xué)的研究生拓?fù)湔n程中，先把課程內(nèi)容切割成幾十個(gè)定義和命題, 要求學(xué)生在不參考文獻(xiàn)的前提下獨(dú)立完成證明, 并在課堂上講解自己的思路, Moore 和同學(xué)一起聽課并參與討論、點(diǎn)評(píng). 1920 年以后，該方法漸漸在國(guó)外流行起來(lái), 有相當(dāng)一部分大學(xué)數(shù)學(xué)系開設(shè)類似課程, 例如著名數(shù)學(xué)家 Halmos 就曾用 Moore 方法給一年級(jí)本科生開設(shè)線性代數(shù)課程. 當(dāng)然, 這個(gè)方法推廣到中學(xué)是否能收到預(yù)期效果很難說(shuō), 因?yàn)檫@對(duì)于師生的要求都很高. 一方面, 教師需要站在一定的高度融合課程內(nèi)容, 并把課程內(nèi)容分割成難度適中的問題, 既要有一定的難度給學(xué)生們適度的挑戰(zhàn), 又要保持整體的連貫性, 讓學(xué)生們?cè)谔剿鬟^(guò)程中逐漸領(lǐng)悟問題的前因后果; 另一方面, 需要學(xué)生有一定的自學(xué)能力和探索精神, 在一定的引導(dǎo)下堅(jiān)持自主探索解決問題的方法. 學(xué)生的整體水平是參差不齊的, 教師要隨時(shí)準(zhǔn)確了解學(xué)生的狀況, 根據(jù)學(xué)生的能力做適當(dāng)調(diào)整, 以免“畫虎不成反類犬”. 從我在大學(xué)課堂中的實(shí)踐來(lái)看, 難度不小.
按照德國(guó)著名數(shù)學(xué)家和教育家 Klein（克萊因, 1849--1925）的觀點(diǎn), 中學(xué)數(shù)學(xué)教師要做好引導(dǎo)必須要“站得更高的視角來(lái)審視、理解初等問題, 只有觀點(diǎn)高了, 事物才能顯得明了而簡(jiǎn)單”. 目前, 大部分中學(xué)數(shù)學(xué)教師未必具有這樣的素質(zhì), 因?yàn)樗麄儾灰欢ㄊ菙?shù)學(xué)系畢業(yè)的; 即使是數(shù)學(xué)系畢業(yè)的, 當(dāng)年所學(xué)到的大學(xué)數(shù)學(xué)也忘得差不多了, 記住的部分也很難與中學(xué)教育相結(jié)合. 目前的教育環(huán)境讓中學(xué)老師也疲于奔命, 沒有精力去了解各種數(shù)學(xué)理論及其發(fā)展史, 更談不上在教學(xué)中適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生. 在這一方面大學(xué)應(yīng)該承擔(dān)應(yīng)有的責(zé)任, 與中學(xué)建立緊密地合作關(guān)系, 在探索過(guò)程中提供必要的火力支援. 鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校曾經(jīng)做過(guò)有益的嘗試. 他們與幾所大學(xué)合作, 請(qǐng)大學(xué)老師為他們的數(shù)理化三科的教師講授與中學(xué)課程有緊密聯(lián)系的大學(xué)內(nèi)容, 以期讓教師們站得更高, 從而更有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)工作. 不管效果如何, 這是走出了有前瞻性的第一步, 如果能持續(xù)下去, 效果會(huì)顯現(xiàn)出來(lái)的.
大學(xué)課堂更應(yīng)該成為素質(zhì)教育的主要場(chǎng)所, 因?yàn)橄鄬?duì)中學(xué)而言, 大學(xué)具有先天的優(yōu)勢(shì). 大學(xué)不再面臨高考指揮棒了, 可以自主安排教學(xué)計(jì)劃, 嘗試不同的培養(yǎng)模式. 大學(xué)生也不用再圍繞幾個(gè)主要科目了, 而是有專業(yè)性的選擇, 盡管這種選擇未必是根據(jù)個(gè)人興趣做出的. 大學(xué)教師也有條件按照好的教育理念來(lái)實(shí)施教育, 雖然目前的評(píng)價(jià)機(jī)制讓教學(xué)淪為雞肋. 大學(xué)更需要在教育理念上做變革, 做一些有意義的實(shí)質(zhì)性探索, 而不是僅僅在各種場(chǎng)合空談教育理念. 我們要走的路還很長(zhǎng), 因?yàn)榇髮W(xué)數(shù)學(xué)教育有自身的嚴(yán)重問題. 比如, van der Waerden（范德瓦爾登, 1903-1996）的名著 Algebra 中大概是為了敘述方便, 把一個(gè)明顯的小結(jié)論寫成了命題的形式. 一位老先生在寫書的時(shí)候美其名曰“挖補(bǔ)定理”, 結(jié)果國(guó)人如獲至寶, 又是注記, 又是探索, 又是推廣, 為之發(fā)表了數(shù)十篇文章, 順便也寫入教材, 納入習(xí)題, 忙得不亦樂乎. 發(fā)表文章是為了生存, 這倒也罷了, 要命的是學(xué)生們都好騙, 工工整整把“定理”及其證明都抄寫下來(lái)以備不時(shí)之需. 這招的確有點(diǎn)用, 一些半開卷的數(shù)學(xué)考試是允許學(xué)生們帶一張寫滿字的 A4 紙到考場(chǎng)的, 于是學(xué)生們也多了一項(xiàng)技能, 能在一張紙上盡可能地寫下更多的字. 這不由讓人有了一點(diǎn)憧憬: 過(guò)一段時(shí)間后學(xué)生們應(yīng)該有能力在一張紙上抄下整本書, 這可是與微雕有異曲同工之妙啊. 更有趣的是, 也許是有的考試要求學(xué)生們只能帶寫了一面的 A4 紙（可能只是段子, 沒有考證過(guò)）, 學(xué)生們就活學(xué)活用地“發(fā)明”了只有一面的 Mobius 紙. 也有一些考試的題目有七八十分的往年考題, 于是, 考前輔導(dǎo)班就應(yīng)運(yùn)而生了, 都是高年級(jí)同學(xué)義務(wù)做的, 并且還贈(zèng)送精心收集的往年考題收藏版. 當(dāng)然也可能會(huì)搞砸了, 因?yàn)槿握n教師偶爾也會(huì)一時(shí)心血來(lái)潮換題了......
就像羅博深教授所說(shuō)的, 帶領(lǐng)“學(xué)生盡情享受數(shù)學(xué), 讓更多人喜歡數(shù)學(xué)才是最重要的”. 然而做起來(lái)并不容易. 有句老話說(shuō)得好: 興趣是最好的老師. 然而在教學(xué)過(guò)程中, 我們會(huì)發(fā)現(xiàn)情況很不樂觀: 真正對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生屈指可數(shù). 也許是孤陋寡聞了, 兄弟院?？赡軙?huì)好很多. 學(xué)生們是從什么時(shí)候開始喪失了對(duì)數(shù)學(xué)的興趣? 我們應(yīng)該如何呵護(hù)學(xué)生們的脆弱的好奇心, 讓他們“不憚以前驅(qū)”, 敢于探索數(shù)學(xué), 發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學(xué)之美; 擅于應(yīng)用數(shù)學(xué), 解決生活中遇到的問題?
挪威數(shù)學(xué)家 Abel 曾經(jīng)說(shuō)過(guò), 應(yīng)該讀大師的著作, 這樣才能更好地向大師們學(xué)習(xí). 當(dāng)然, 對(duì)于大部分人而言, 讀大師的原著既不現(xiàn)實(shí), 也沒必要. 由于近幾百年尤其是近一百年的發(fā)展, 數(shù)學(xué)已經(jīng)今非昔比. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)有更精準(zhǔn)的語(yǔ)言, 更合理的記號(hào), 更深刻的理論, 從而可以更簡(jiǎn)潔明快地闡述以前的數(shù)學(xué).
高中有一門選修課是數(shù)學(xué)史, 問學(xué)生的時(shí)候, 不少人都不知道. 有的說(shuō)好像有一本教材, 只是課從來(lái)沒開過(guò). 歷史首先是精彩的, 如果只是時(shí)間、地點(diǎn)、人物、事情的流水賬, 比如赤壁之戰(zhàn)寫成: “東漢末年, 在長(zhǎng)江赤壁一帶, 孫劉聯(lián)軍以火攻大破曹軍”, 那就成了簡(jiǎn)單的“歸納中心思想”, 毫無(wú)趣味了. 看看《資治通鑒》或《三國(guó)演義》 的描寫, 情節(jié)曲折, 跌宕起伏, 令人手不釋卷. 更重要的是, 作為歷史上為數(shù)不多的以弱勝?gòu)?qiáng)的戰(zhàn)役, 苦肉計(jì)、連環(huán)計(jì), 妙計(jì)疊出, 給后人留下了太多可借鑒的地方, 又有多少文人墨客爭(zhēng)相傳誦, 成就了多少千古名篇.
翻過(guò)幾本數(shù)學(xué)史方面的書籍包括高中教材, 大多數(shù)乏善可陳, 其主要問題就是記流水賬, 既缺乏精彩的語(yǔ)言文字, 又沒有必要的數(shù)學(xué)理論的推理. 要知道, 與人類發(fā)展史一樣, 數(shù)學(xué)發(fā)展史同樣也是波瀾壯闊的, 尤其是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)多年的苦心探索, 在某一個(gè)歷史時(shí)刻靈光乍現(xiàn), 新的思想火花的迸發(fā)實(shí)現(xiàn)了歷史性的突破, 其精彩程度不亞于一場(chǎng)驚心動(dòng)魄的戰(zhàn)役, 有時(shí)還是結(jié)合了多國(guó)數(shù)學(xué)家智慧的世界大戰(zhàn)! 而其中的數(shù)學(xué)思想是彌足珍貴的財(cái)富, 是數(shù)學(xué)史教材中應(yīng)該花大力氣展現(xiàn)的地方, 因?yàn)檫@才能讓后人了解到奇妙的數(shù)學(xué)理論的發(fā)展歷程, 領(lǐng)悟到其中閃光的思想, 從而得到借鑒和啟發(fā).
其實(shí)每一本數(shù)學(xué)教材就是一部數(shù)學(xué)思想史, 是前人多年智慧的結(jié)晶. 只是大多數(shù)教材都是把數(shù)學(xué)理論單獨(dú)拿出來(lái), 其中充斥著從天而降的定義、晦澀難懂的命題, 看似精彩但卻莫名奇妙的證明, 這難免令人望而生畏; 再加上多如牛毛的練習(xí), 學(xué)生們的好奇心和求知欲逐漸被消磨殆盡了. 等到他們進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)更為系統(tǒng)的理論的時(shí)候無(wú)所適從, 搞得大學(xué)數(shù)學(xué)教育也很狼狽. 所以教學(xué)中的一個(gè)關(guān)鍵之處是把略顯枯燥的數(shù)學(xué)理論與流水賬式的數(shù)學(xué)史更好地結(jié)合起來(lái), 引導(dǎo)學(xué)生們追隨前人的足跡, 走數(shù)學(xué)家走過(guò)的路, 切身經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程, 體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的苦與樂, 感知數(shù)學(xué)家們?cè)跉v史突破的那一瞬間的情懷. 這樣, 學(xué)生們通過(guò)自己的努力重復(fù)前人的發(fā)現(xiàn), 體會(huì)“再發(fā)現(xiàn)”的樂趣, 就能更好地欣賞數(shù)學(xué)之美, 領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想, 體會(huì)到數(shù)學(xué)好玩, 而不僅僅滿足于記住結(jié)論, 會(huì)做難題或考個(gè)高分. 大部分?jǐn)?shù)學(xué)理論都是從實(shí)際問題中來(lái), 最后又回到解決實(shí)際問題中去, 所以學(xué)生們?nèi)缒軕?yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí), 解決身邊的問題, 他們的好奇心會(huì)被激發(fā), 求知欲會(huì)增強(qiáng), 探索能力得以培養(yǎng). 當(dāng)然, “冰凍三尺, 非一日之寒”, 要改變現(xiàn)狀實(shí)現(xiàn)目標(biāo)談何容易! 不過(guò), 也不可小視微薄的個(gè)人之力, “愚公移山”、“蚍蜉撼樹”未必是貶義詞.
錢理群教授在中學(xué)進(jìn)行的語(yǔ)文教育的嘗試失敗了, 如果進(jìn)行數(shù)學(xué)方面的嘗試結(jié)果會(huì)如何呢? 這是我很想知道的事情. 在數(shù)學(xué)教育過(guò)程中, 問題引導(dǎo)的方式應(yīng)該起到關(guān)鍵的作用. 當(dāng)然, 問題的選擇很關(guān)鍵, 也是最為困難的. 哪些有趣的數(shù)學(xué)問題可以介紹給學(xué)生, 供其中力所能及的并且有興趣的學(xué)生探索? 初步的選擇自然是課本知識(shí)的整理和升華, 這即使是對(duì)于考試來(lái)說(shuō)也是不無(wú)裨益的. 除此以外, 最好是在數(shù)學(xué)發(fā)展史中起到關(guān)鍵的推動(dòng)作用的問題, 沿著歷史足跡走, 按照人類的認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行教學(xué). 我根據(jù)自己的研究興趣列舉一些有趣的問題, 不過(guò)沒有經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn), 未必適合大部分中學(xué)生.
首先是代數(shù)學(xué). 我正在寫代數(shù)學(xué)發(fā)展史方面的系列: 尺規(guī)作圖、高次方程求根、線性方程組、線性空間, 后面還有群、環(huán)、域、表示論等. 這個(gè)歷史過(guò)程可以參看文獻(xiàn)[2]. 其中的很多問題都是從中學(xué)代數(shù)學(xué)內(nèi)容中稍微提升一下即可.
其次是在微積分. 中小學(xué)階段至少有兩個(gè)遺留問題: 圓和矩形的面積公式. 估計(jì)有不少人會(huì)覺得矩形的面積公式?jīng)]問題, 實(shí)際上這需要一個(gè)中學(xué)證明不了的平行線分線段成比例定理. 這兩個(gè)問題的核心就是微積分, 微積分的歷程可以參看文獻(xiàn)[3].
第三是幾何學(xué). 中學(xué)的平面幾何在大學(xué)里用得很少, 倒是中學(xué)不怎么用的尺規(guī)作圖有用處. 古希臘還有一個(gè)杰出成就是知道正多面體只有五個(gè), 這個(gè)問題很有意思, 與群論有關(guān), 也與更深刻的數(shù)學(xué)理論有對(duì)應(yīng). 當(dāng)然更深刻的就是幾何公理尤其是平行公理的獨(dú)立性問題, 這引出了非歐幾何.
第四是數(shù)論. 眾所周知的 Goldbach 猜想的影響力并不像它在國(guó)內(nèi)的名聲那樣, 真正有趣的是 Fermat 大定理. Simon Singh 的杰作《費(fèi)馬大定理: 一個(gè)困惑了世間智者 358 年的迷》[7] 堪稱此類書籍的典范. 其中會(huì)涉及到 Bernoulli 數(shù), 這與
的公式有關(guān), 也與很多數(shù)論問題如 Riemann 猜想關(guān)系密切. 當(dāng)然初等數(shù)論也有很多有趣的問題[1], 不過(guò)如果懂一點(diǎn)群論再看初等數(shù)論會(huì)好很多, 不論是理解理論本身還是欣賞其中的美.
第五是組合數(shù)學(xué). 有趣的問題很多, 只舉一個(gè)我關(guān)心的問題------和諧圖. 考慮一個(gè)連通圖（也就是由平面上一些點(diǎn)——稱為頂點(diǎn)——和某些頂點(diǎn)之間的連線得到的圖, 整個(gè)圖形是連在一起的）, 給每個(gè)頂點(diǎn)賦一個(gè)正整數(shù)值. 如果存在一種賦值方法使得每個(gè)頂點(diǎn)的賦值的 2 倍等于與之相鄰的頂點(diǎn)的賦值之和, 則稱這種圖為和諧圖. 例如
這個(gè)圖在代數(shù)里也能見到, 它與前面提到的 Peter McMullen 的鉛筆畫是一回事. 從某種意義上說(shuō), 它與正二十面體也是一回事. 算是代數(shù)、幾何、組合的聯(lián)合體. 當(dāng)然不僅僅是這一個(gè)圖. 讀者可以嘗試把所有的調(diào)和圖都找出來(lái), 它們與所有正多邊形和正多面體有完美的對(duì)應(yīng)關(guān)系（McKay 對(duì)應(yīng)）, 也與代數(shù)學(xué)的其他分支如 Lie 群 Lie 代數(shù)、箭圖等有密切關(guān)系.
以上都是一家之言, 由于對(duì)中學(xué)教學(xué)不是很熟悉而難免有失偏頗. 教育是一個(gè)長(zhǎng)期的事情, 不能看短期效應(yīng). 其中的很多問題需要探索, 很多想法需要實(shí)踐檢驗(yàn), 需要有思想的數(shù)學(xué)教師的參與, 更需要有好奇心和求知欲的學(xué)生的參與. 歡迎有想法的同行和感興趣的同學(xué)來(lái)探討數(shù)學(xué)教育問題, 我的郵箱是 zhufuhai@nankai.edu.cn 或 526373490@qq.com.
參考文獻(xiàn)
本文轉(zhuǎn)自：數(shù)林廣記，感謝朱教授授權(quán)轉(zhuǎn)載。
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