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今天與您分享的內(nèi)容來自于《吳軍·數(shù)學(xué)通識50講》。
我們前面講了數(shù)學(xué)的預(yù)見性，以及數(shù)學(xué)思維的用處，但是這講我想和你談?wù)剶?shù)學(xué)的局限性，大家可能會有一個疑問，就是這種局限性是來自于我們自己的數(shù)學(xué)知識不夠，還是來源于數(shù)學(xué)本身的局限性呢？
應(yīng)該講這兩方面的原因都有，第一部分因素在大家聽完這門課后會補上很多，不用擔(dān)心；第二部分則是我們這一講要講的內(nèi)容。我們有必要了解數(shù)學(xué)本身的局限性，才能更好地使用它的原理和思維方式。今天我們還是從畢達(dá)哥拉斯定理的推廣說起。
在幾何上有很多整數(shù)組滿足畢達(dá)哥拉斯定理，它們就是勾股數(shù)，比如（3，4，5），（5，12，13）等。從代數(shù)上解釋勾股數(shù)，就是方程a^2+b^2=c^2的整數(shù)解。
當(dāng)然，人類總是很好奇，人們就在想，如果上面方程中的平方變成立方，甚至任意N次方，它還有整數(shù)解嗎？比如，是否有三個整數(shù)a，b，c，使得，a^3+b^3=c^3？
這個問題困擾了人類幾千年。后來有一個叫費馬的數(shù)學(xué)愛好者就提出一個假說，說除了平方的情況，其他更高次方的方程都找不到整數(shù)解，它被稱為費馬大定理（或者費馬最后定理）。
雖然它被稱為定理，但數(shù)學(xué)家們只是把它看成是猜想，或者假說，因為沒有證明。我們前面講到，猜想，哪怕用很多數(shù)據(jù)驗證過了，只要沒有證明，就無法成為數(shù)學(xué)大廈中的一塊磚，就無法在它的基礎(chǔ)上搭建新的東西。
因此，在費馬之后的幾百年里，很多數(shù)學(xué)家都試圖證明它，但是都不得要領(lǐng)。費馬自己說他已經(jīng)證明了這個定理，只是那張紙不夠大寫不下，但后人認(rèn)為是費馬搞錯了。
于是費馬大定理就成了一道跨越了三個多世紀(jì)的超級難題。直到1994年，才由著名的英國旅美數(shù)學(xué)家懷爾斯證明出來，而這個過程也是一波三折。
1986年，懷爾斯在做了十多年的準(zhǔn)備后，覺得證明費馬大定理的時間成熟了，終于決定將全部精力投入到該定理的證明上了。為了確保別人不受他的啟發(fā)率先證明了這個著名的定理，他決定在證明出這個定理以前不發(fā)表任何關(guān)鍵性的論文。
但是，如果一個人苦思冥想，推導(dǎo)的邏輯錯了自己也看不出來，為了避免這種情況的發(fā)生，懷爾斯利用在普林斯頓大學(xué)教課的機會，不斷地將自己部分的想法作為課程的內(nèi)容講出來，讓博士生們來挑錯。
1993年6月底，懷爾斯覺得自己準(zhǔn)備好了，便回到他的故鄉(xiāng)英國劍橋，在劍橋大學(xué)著名的牛頓研究所舉行三場報告會。為了產(chǎn)生爆炸性的新聞效果，懷爾斯甚至沒有預(yù)告報告會的真實目的。因此，前兩場報告其實人不多，但是這兩場報告之后，大家都明白接下來他要證明費馬大定理了。
于是在舉行最后一場報告時，牛頓研究所里擠滿了人，據(jù)估計可能只有1/4的人能聽懂講座，其余的人來這里是為了見證一個歷史性的時刻。
很多聽眾帶來了照相機，而研究所所長也事先準(zhǔn)備好了一瓶香檳酒。當(dāng)懷爾斯寫完費馬大定理的證明時，很平靜地說道：“我想我就在這里結(jié)束”，會場上爆發(fā)出一陣持久的鼓掌聲。這場報告會被譽為了20世紀(jì)該研究所最重要的報告會。
不過故事到此并沒有結(jié)束，數(shù)學(xué)家們在檢查懷爾斯長達(dá)170頁證明的邏輯之后，發(fā)現(xiàn)了一個小漏洞。懷爾斯開始認(rèn)為這個小漏洞很快能補上，但是后來才發(fā)現(xiàn)這個小漏洞會顛覆整個證明的過程。
懷爾斯又獨立地工作了半年，但毫無進(jìn)展，在他準(zhǔn)備放棄之前，向普林斯頓大學(xué)的另一個數(shù)學(xué)家講述了自己的困境。對方告訴他，他需要一位信得過的，可以討論問題的助手幫忙。
經(jīng)過一段時間的考慮和物色，懷爾斯請了劍橋大學(xué)年輕的數(shù)學(xué)家泰勒來一同工作，最后在泰勒的幫助下懷爾斯補上了那個小漏洞。由于有了上一次帶有烏龍性質(zhì)的經(jīng)歷，懷爾斯這次有點懷疑自己是在做夢。于是他到外面轉(zhuǎn)了20分鐘，發(fā)現(xiàn)自己沒有在做夢，這才喜出望外。
由于懷爾斯在證明這個定理時已經(jīng)超過了40歲，無法獲得菲爾茲獎，因此國際數(shù)學(xué)大會破例給他頒發(fā)了一個特別貢獻(xiàn)獎，這也是迄今為止唯一一個特別貢獻(xiàn)獎。關(guān)于費馬大定理證明過程的更多細(xì)節(jié)，大家可以聽羅輯思維的第85期節(jié)目。
那么證明這個古老的數(shù)學(xué)難題有什么意義呢？這個定理證明過程本身導(dǎo)致了很多數(shù)學(xué)研究成果的出現(xiàn)，特別是對于橢圓方程的研究。今天區(qū)塊鏈技術(shù)用到的橢圓加密方法，就是以它為基礎(chǔ)的。
在懷爾斯之前，有一批數(shù)學(xué)家，特別是日本的谷山豐，對這一系列理論做出了重大的貢獻(xiàn)，懷爾斯的成功是在他們的工作基礎(chǔ)之上的。今天的比特幣可以講完全是谷山豐理論的一次有意義的應(yīng)用。而在懷爾斯之后，泰勒等人還在不斷發(fā)展這方面的理論。
對于三個世紀(jì)數(shù)學(xué)家們證明費馬大定理的過程，我和大家分享我的三點體會：
今天的數(shù)學(xué)（指純粹數(shù)學(xué)，不是應(yīng)用數(shù)學(xué)）真的很難，想在這方面取得突破性貢獻(xiàn)不容易，懷爾斯從10歲開始就立志解決這個問題，他努力了30年。他最后的證明長達(dá)200頁。但是，有了理論，使用它做有意義的事情，還是容易得多。比特幣就是一個很好的例子。
數(shù)學(xué)是世界上最嚴(yán)密的知識體系，任何的推導(dǎo)不能有絲毫的紕漏。懷爾斯差點因為一個小的疏忽毀掉了整個工作，希望通過這一點，大家對數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性有所體會。
數(shù)學(xué)走到今天這一步，是在一個個定理的基礎(chǔ)上一點點搭建起來的，而今天的成就，又為明天的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，這樣數(shù)學(xué)就獲得了可疊加的進(jìn)步。
畢達(dá)哥拉斯定理是，a的平方+b的平方=c的平方的情形。費馬大定理是，a的N次方+b的N次方=c的N次方的情形。因此，前者是起點，后者是一個普遍情況的延伸。接下來，如果我們沿著畢達(dá)哥拉斯定理和費馬大定理繼續(xù)往前拓展，會是什么情況呢？
比如任意一個多項式方程2x^2 + 3 y^3 = z^4，或者 x^2 + 3 y^3 - w^5 = z^4，請問它們有沒有整數(shù)解？這個問題就是著名的希爾伯特第十問題（簡稱第十問題）。
對于任意一個多項式方程，我們能否在有限步內(nèi)，判定它是否有解？
對于一些特例，我們知道有整數(shù)解，比如x^2 + y^2 = z^2就有；對于另一些特例，我們知道沒有整數(shù)解，比如費馬大定理所描述的情況。
但是，對于更多的，一般性的不確定方程，我們不僅不知道怎么解，甚至無法判斷一個方程有沒有整數(shù)解。因此，1900年在巴黎舉行的國際數(shù)學(xué)大會上，希爾伯特在提出23個著名的數(shù)學(xué)問題時，把它列為了第十個。
第十問題其實隱含了一個更為深刻的認(rèn)識論問題，就是對于大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題，我們能否找到答案？到目前為止，我們所能解決的數(shù)學(xué)問題其實只是所有數(shù)學(xué)問題中很小的一部分。
當(dāng)然，很多人會說尚未找到答案不等于沒有答案。第十問題實際上在直接挑戰(zhàn)數(shù)學(xué)的邊界，也就是說，通過數(shù)學(xué)的方法，我們可能根本無法判斷一些問題的答案存在與否。如果連答案是否存在都不知道，就更不用說通過數(shù)學(xué)的方法解決它們了。
這樣就為數(shù)學(xué)劃定了一個明確的邊界。從1900年之后，特別是在二戰(zhàn)之后，歐美不少數(shù)學(xué)家致力于解決這個問題，因為這也涉及到計算機所能處理問題的邊界。
第十問題的解決頗具戲劇性。在上個世紀(jì)60年代，被認(rèn)為最可能解決這個難題的是美國著名的女?dāng)?shù)學(xué)家朱莉婭·羅賓遜，她從博士一畢業(yè)就致力于研究這個問題，也取得了很多突破性的進(jìn)展。
雖然羅賓遜因為這方面的貢獻(xiàn)成為了美國科學(xué)院第一位女院士，美國數(shù)學(xué)學(xué)會第一位女會長，她離解決這個問題最終還是差幾步。1970年，俄羅斯天才的數(shù)學(xué)家尤里·馬季亞謝維奇在大學(xué)畢業(yè)后一年就解決了這個問題，證明了這類問題是無解的，從此在世界上一舉成名。
純數(shù)學(xué)這個學(xué)科除了需要一些運氣之外，比拼的是人的智力，智力到哪個程度，成就就到哪個水平，這倒不是宿命論，而是說明人要根據(jù)自己的特長選擇做事。
第十問題的解決其實撲滅了人類的一絲希望，但是也讓人類老老實實地在邊界內(nèi)做事情。人類過去常常希望找到一個工程問題的解析解，即答案是以一個公式的形式存在，這樣套入任何數(shù)字，就得到了具體的答案。
但是，很多問題最后證明找不到嚴(yán)格推導(dǎo)出來的解析解，當(dāng)然這也不妨礙大家在工程上可以使用近似的數(shù)值解，解決實際問題。認(rèn)清這一點，做事的方法也就改變了。
搞流體力學(xué)和控制理論的人都知道，那里面有很多復(fù)雜的非線性方程要解決。在上個世紀(jì)，美蘇兩國走了兩條不同的道路。前蘇聯(lián)因為數(shù)學(xué)水平較高，而計算機技術(shù)很落后，因此他們習(xí)慣于下硬功夫做很難的數(shù)學(xué)題，找到非線性問題的解析解。
而在美國方面，數(shù)學(xué)水平高的人沒有前蘇聯(lián)多，但是計算機技術(shù)先進(jìn)，因此他們習(xí)慣于把很麻煩的非線性問題變成很多計算量大，但是卻很簡單的線性問題（或者其它數(shù)值計算問題），找到工程上能接受的近似解。
那么誰取得的效果好呢？從結(jié)果來看，美國似乎更好些。關(guān)于什么是線性方程，我們后面會講到，這里大家記住線性方程簡單，非線性方程非常復(fù)雜即可。
要點總結(jié)：
我們介紹了費馬大定理的來龍去脈，它往前和畢達(dá)哥拉斯定理的關(guān)系，往后和希爾伯特第十問題的關(guān)系。我也和大家分享了我對這個定理被證明過程的體會。
我們通過希爾伯特第十問題介紹了數(shù)學(xué)的邊界，這是一個硬的邊界，大家不要試圖逾越。但是數(shù)學(xué)的邊界有些時候不是我們解決問題的邊界，因為世界上除了數(shù)學(xué)的方法，還有其他方法。
當(dāng)理解了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性之后，不經(jīng)感嘆：我們的認(rèn)識以及所有能夠解決的問題真的太少了。
