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　　1．等邊三角形的高是h，則它的面積是(        )

　　A． h²B． h²C． h²D． h²

　　答案：B

　　說明：如圖，ΔABC為等邊三角形，AD⊥BC，且AD=h，因為∠B=60º，AD⊥BC，所以∠BAD=30º；設(shè)BD=x，則AB=2x，且有x²+h²=(2x)²，解之得x= h，因為BC=2BD= h，所以SΔABC= BC•AD= • h•h= h²，所以答案為B．

　　2．直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，其面積為(        )

　　A． 12cm²      B． 10cm ²      C． 8cm²      D． 6cm²

　　答案：D

　　說明：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為xcm、ycm，依題意得：

　　由①得x+y=7③，由③得(x+y)²=7²，即x²+y²+2xy=49，因為x²+y²=25，所以25+2xy=49，即xy=12，這樣就有S= xy = ×12=6，所以答案為D．

　　3．下列命題是真命題的個數(shù)有(        )

　?、僦苯侨切蔚淖畲筮呴L為 ，短邊長為1，則另一條邊長為

　　②已知直角三角形的面積為2，兩直角邊的比為1：2，則它的斜邊長為

　?、墼谥苯侨切沃校魞蓷l直角邊長為n²−1和2n，則斜邊長為n²+1

　　④等腰三角形面積為12，底邊上的高為4，則腰長為5

　　A．1個      B．2個      C．3個      D．4個

　　答案：D

　　說明：①因為另一條直角邊長的平方為( )²−1²=3−1=2，所以另一條邊長為 是正確的；②設(shè)兩直角邊為k和2k，而由已知 •k•2k=2，所以k= ，故兩直角邊長為 ，2 ，所以斜邊長為 = ，故②正確；③因為(n²−1)²+(2n)²=n⁴−2n²+1+4n²=n⁴+2n²+1=(n²+1)²，故③正確；④由面積、底邊上的高可得底邊為6，故底邊的一半為3，所以斜邊長為 =5，故④正確；所以答案為D．

　　4．直角三角形的面積為S，斜邊上的中線長為m，則這個三角形的周長是(        )

　　A． + 2mB． +mC．2( +m)D．2 +m

　　答案：C

　　說明：如圖，設(shè)AC=x，BC=y，則 xy=S；因為CD為中線，且CD=m，所以AB=2CD=2m，所以x²+y²=( 2m)²=4m²，(x+y)²=x²+2xy+y²=(x²+y²)+2xy=4m²+4S，即x+y= ，所以ΔABC的周長為：AC+BC+AB=x+y+2m = +2m=2( +m)，答案為C．

　　5．如圖，已知邊長為5的等邊ΔABC紙片，點E在AC邊上，點F在AB邊上，沿著EF折疊，使點A落在BC邊上的點D的位置，且ED⊥BC，則CE的長是(        )

　　A．10 −15B．10−5 C．5 −5D．20−10

　　答案：D

　　說明：設(shè)DC=x，因為∠C=60º，ED⊥BC，所以EC=2x

　　因為ΔAEF≌ΔDEF，所以AE=DE=5−2x

　　由勾股定理得：x²+(5−2x)²=(2x)²，即x²−20x+25=0，解得x= =10±5

　　因為DC<BC=5，所以x=10+5 應(yīng)舍去，故x=10−5 ，所以CE=2x=2(10−5 )=20−10 ，答案為D．

　　6．如果直角三角形的三條邊長分別為2、4、a，那么a的取值可以有(        )

　　A．0個      B．1個      C．2個      D．3個

　　答案：C

　　說明：①若a為斜邊長，則由勾股定理有2²+4²=a²，可得a=2 ；②若a為直角邊長，則由勾股定理有2²+a²=4²，可得a=2 ，所以a的取值可以有2個，答案為C．

　　7．小明搬來一架2.5米長的木梯，準備把拉花掛在2.4米高的墻上，則梯腳與墻腳的距離為(        )米

　　A．0.7      B． 0.8      C．0.9      D．1.0

　　答案：A

　　說明：因為墻與地面的夾角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯腳與墻腳的距離為 = = =0.7，答案為A．

　　8．一個直角三角形的斜邊長比直角邊長大2，另一直角邊長為6，則斜邊長為(        )

　　A．6      B． 8      C．10      D．12

　　答案：C

　　說明：設(shè)直角邊長為x，則斜邊為x+2，由勾股定理得x²+6²=(x+2)²，解之得x=8，所以斜邊長為8+2=10，答案為C．

　　 9．如圖，在ΔABC中，若AB>AC，AE為BC上的中線，AF為BC邊上的高，求證：AB²−AC²=2BC·EF

　　證明：因為AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB²=AF²+BF²

　　在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC²=AF²+FC²

　　所以AB²−AC²=BF²−FC²=(BF+FC)(BF−FC)=BC•(BF−FC)

　　因為BF=BE+EF，F(xiàn)C=EC−EF，BE=EC

　　所以BF−FC=2EF

　　所以AB²−AC²=BC•2EF=2BC•EF

　　10．如圖，ΔABC中，∠A=90º，E是AC的中點，EF⊥BC，F(xiàn)為垂足，BC=9，F(xiàn)C=3，求 AB．

　　解：如圖，作AD⊥BC

　　因為EF⊥BC，所以AD//EF

　　因為E為AC中點，所以F為DC的中點

　　因為FC=3，所以DF=3，DC=3+3=6

　　因為BC=9，所以BD=9−6=3

　　設(shè)EC=x，則AC=2x

　　由勾股定理得：AC²=AD²+DC²，AB²=AD²+BD²

　　所以AC²−AB²=DC²−BD²①

　　即AC²−AB²=6²−3²=27

　　因為∠A=90º，由勾股定理得AB²+AC²=BC²=81②

　　由②−①得2AB²=81−27=54，所以AB²=27，即AB= =3

　　1．判斷題

　　⑴在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角．

　?、泼}：“在一個三角形中，有一個角是30°，那么它所對的邊是另一邊的一半．”的逆命題是真命題．

　?、枪垂啥ɡ淼哪娑ɡ硎牵喝绻麅蓷l直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．

　　⑷△ABC的三邊之比是1：1： ，則△ABC是直角三角形．

　　答案：對，錯，錯，對；

　　2．△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（    ）

　　A．如果∠C－∠B=∠A，則△ABC是直角三角形．

　　B．如果c²=b²—a²，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°．

　　C．如果（c＋a）（c－a）=b²，則△ABC是直角三角形．

　　D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形．

　　答案：D

　　3．下列四條線段不能組成直角三角形的是（    ）

　　A．a(chǎn)=8，b=15，c=17　　B．a(chǎn)=9，b=12，c=15　　C．a(chǎn)= ，b= ，c= 　　D．a(chǎn)：b：c=2：3：4

　　答案：D

　　4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？

　　⑴a= ，b= ，c= ；          ⑵a=5，b=7，c=9；

　?、莂=2，b= ，c= ；             ⑷a=5，b= ，c=1．

　　答案：⑴是，∠B；⑵不是；⑶是，∠C；⑷是，∠A．

　　5．?dāng)⑹鱿铝忻}的逆命題，并判斷逆命題是否正確．

　?、湃绻鸻³＞0，那么a²＞0；

　?、迫绻切斡幸粋€角小于90°，那么這個三角形是銳角三角形；

　?、侨绻麅蓚€三角形全等，那么它們的對應(yīng)角相等；

　?、汝P(guān)于某條直線對稱的兩條線段一定相等．

　　答案：⑴如果a²＞0，那么a³＞0；假命題．

　?、迫绻切问卿J角三角形，那么有一個角是銳角；真命題．

　?、侨绻麅蓚€三角形的對應(yīng)角相等，那么這兩個三角形全等；假命題．

　?、葍蓷l相等的線段一定關(guān)于某條直線對稱；假命題．

　　6．填空題．

　?、湃魏我粋€命題都有        ，但任何一個定理未必都有         ．

　?、?#8220;兩直線平行，內(nèi)錯角相等．”的逆定理是          ．

　?、窃凇鰽BC中，若a²=b²－c²，則△ABC是        三角形，         是直角；若a²＜b²－c²，則∠B是          ．

　?、热粼凇鰽BC中，a=m²－n²，b=2mn，c=m²＋n²，則△ABC是         三角形．

　　答案：⑴逆命題，逆定理；⑵內(nèi)錯角相等，兩直線平行；⑶直角，∠B，鈍角；⑷直角．

　?、尚娫诓賵錾舷驏|走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是               ．

　　答案：向正南或正北．

　　7．若三角形的三邊是  ⑴1、、2；  ⑵ ；  ⑶3²，4²，5²  ⑷9，40，41；  ⑸(m+n)²－1，2(m+n)，(m+n)²+1；則構(gòu)成的是直角三角形的有（    ）

　　A．2個         B．3個　　　　?。茫?個　　　　　　Ｄ．5個

　　答案：B

　　8．若△ABC的三邊a、b、c，滿足(a－b)(a²＋b²－c²)=0，則△ABC是（    ）

　　A．等腰三角形；　　B．直角三角形；　　C．等腰三角形或直角三角形；　　D．等腰直角三角形．

　　答案：C

　　9．如圖，在操場上豎直立著一根長為 2米的測影竿，早晨測得它的影長為 4米，中午測得它的影長為 1米，則A、B、C三點能否構(gòu)成直角三角形？為什么？

　　答案：能，因為BC²=BD²+CD²=20，AC²=AD²+CD²=5，AB²=25，所以BC²+AC²=AB²

　　 10．如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截．已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向？

　　答案：由△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，所以有∠CAB=40°，航向為北偏東50°．

　　11．如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量．小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3米，CD=13米， DA=12米，又已知∠B=90°．

　　提示：連結(jié)AC．AC²=AB²+BC²=25，AC²+AD²=CD²，因此∠CAB=90°，

　　S_四邊形=S_△ADC+S_△ABC=36平方米．

　　12．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD²=AD·BD．求證：△ABC中是直角三角形．

　　提示：∵AC²=AD²+CD²，BC²=CD²+BD²，∴AC²+BC²=AD²+2CD²+BD²=AD²+2AD·BD+BD²=（AD+BD）²=AB²，∴∠ACB=90°．

　　13．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中線BD=5cm．求證：△ABC是等腰三角形．

　　提示：因為AD²+BD²=AB²，所以AD⊥BD，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=BC．

　　 14．已知：如圖，∠1=∠2，AD=AE，D為BC上一點，且BD=DC，AC²=AE²+CE²．求證：AB²=AE²+CE²．

　　提示：有AC²=AE²+CE²得∠E=90°；由△ADC≌△AEC，得AD=AE，CD=CE，∠ADC=∠BE=90°，根據(jù)線段垂直平分線的判定可知AB=AC，則AB²=AE²+CE²．

　　15．已知△ABC的三邊為a、b、c，且a+b=4，ab=1，c= ，試判定△ABC的形狀．

　　提示：直角三角形，用代數(shù)方法證明，因為（a+b）²=16，a²+2ab+b²=16，ab=1，所以a²+b²=14．又因為c²=14，所以a²+b²=c² ．