我們討論班的教材。一直覺得很好，今天被我從網(wǎng)上找到了。
致讀者的話
“你們的事業(yè)的成長，應(yīng)該像一棵樹的成長一樣。應(yīng)該是順其自然，無間斷和全面的。我希望你們的根能夠在這個學(xué)院的肥沃土地下面盡量深入，以使你們的樹干長的既粗且壯。這樣，將來無論樹葉無論多么茂盛豐滿，也永遠(yuǎn)不會有水分供應(yīng)不暇的毛病。在上空將不時有狂風(fēng)大雨，也會有行雷閃電。所以切勿長得太快太高。”
以上的一段話，是當(dāng)代英國演員羅倫士奧利維亞在1947年Old Vic戲劇學(xué)院開幕典禮中，向?qū)W生致詞的一部分。這幾句話對你們是有特殊意義的。應(yīng)為這本書是一本很初步的。如果你們有意細(xì)讀這本書的話，則最少要弄清楚從這本書中你們能夠得到什么。目前一般研究生心目中，最迫切的問題似乎是：有沒有一個可以寫一篇文章的小題目？因此我要先此聲明：這本書不討論這一類的小題目。我寫這本書的原意，只是希望能使“你們的根盡量向下深入”。以后是否開枝發(fā)葉，就只能看你們自己的努力和天賦。書內(nèi)所討論的題目，都是一般性的和基礎(chǔ)性的，而且也是任何一個幾何學(xué)家所熟悉的。要是你們能夠好好掌握著幾個基本性的概念，并且在將來能對幾何學(xué)有一個比較全面的理解則日后自然能夠挑一些有意義的大題目來做。急功好利，只顧眼前的收獲，和只找易做的小題目來寫文章，這都不是一個數(shù)學(xué)工作者應(yīng)有的態(tài)度。這本書應(yīng)該是你們向前邁進(jìn)的踏腳石之一。我希望你們能夠很快就能超過這本書的范圍。
每一本書的作者都有一點和一個魔術(shù)師相同的地方，就是希望觀眾或讀者所看見的一切，剛好也是他希望他的讀者或觀眾所看到的一切。那么在我心目中，幻想你們能夠從這本書中看到的是什么呢？
第一，你們會了解書內(nèi)的定義和定理既都是人為的，又同時是合理的。也許你們認(rèn)為一本書要寫得高深莫測，才能顯出作者的學(xué)問淵博，但是我卻希望你們會覺得書中的一切，不但是理所當(dāng)然的，而且是容易得只要肯花一點功夫就可以自己做出來的。要做到這一點，除了一般的“定義->定理->證明”基本形式以外，我設(shè)法多加一些按語來說清楚每個主要定義和主要定理的來龍去脈和直觀意義。另一方面我也要指出，書中的概念和結(jié)果所以被認(rèn)為是基本性的，并不是因為某某權(quán)威說過是如此如此，而是因為經(jīng)過時間的考驗后，發(fā)現(xiàn)確切是如此的。就是說，從經(jīng)驗的總結(jié)，我們現(xiàn)在知道這些概念和定理是有用和必需的。所以一個初學(xué)者應(yīng)該致力于探求所學(xué)的為什么是有用的和必需的，否則不能對所學(xué)有一個全面的了解。這種治學(xué)態(tài)度，其實不單是適用于數(shù)學(xué)上，而且是適用于一切學(xué)問的領(lǐng)域上的，包括社會科學(xué)在內(nèi)。
其次，我希望你們能夠把握全書的要點，同時也能把握每個定理，每個證明，和每個概念的要點。一個好的數(shù)學(xué)書應(yīng)該不同于一本字典。在后者當(dāng)中每一個字都占有同等地位。但是如果說這本書內(nèi)無數(shù)定義，定理和證明都是同樣重要的，就未免荒謬無稽了。比方說，弧長的二次變分公式只是一個一般性的技巧的結(jié)果，要點在于弄清楚如何把它應(yīng)用于具體的情況，而不在于探討這個公式本身的深度或者研究這個公式的推導(dǎo)。所以不應(yīng)該只算出這個公式而不給應(yīng)用，更不應(yīng)該把這個公式當(dāng)作主要定理之一。又比如說，Synge定理的證明看來是相當(dāng)累贅的。但是從一個很直觀的的事實作出發(fā)點，就是“任何一個非單連通的緊致黎曼流形上必存在一個非同倫于零的最短閉曲線”，則其他一切都是順理成章的了。
所以我希望你們養(yǎng)成一個習(xí)慣，總要問：這本書的要點何在？這一章的要點何在？這個證明的要點何在？能找到所有這些問題的答案，才能說有真正的了解。
最后，我希望你們能夠完全以直觀的眼光去了解這本書的內(nèi)容。所有數(shù)學(xué)書都是充滿了技術(shù)性的術(shù)語的，因為為了要表達(dá)清楚，作者毫無選擇的余地。但是一個數(shù)學(xué)工作者的思考，大部分時間是靠直觀（甚至是過分簡化的直觀）的想法來向前推進(jìn)的。在幾何學(xué)上這一點尤其是重要。所以書內(nèi)這一類直觀的討論，比其他的數(shù)學(xué)課本會多一些。也許你們還迷信所謂的“數(shù)學(xué)嚴(yán)格性”，以為數(shù)學(xué)上最重要的事是每一步推論的正確性。這個論點，相當(dāng)于說魯迅文章的好處，主要是每句話都寫得很通順。我希望你們不會犯這個“見小不見大”的毛病。
當(dāng)然以上三點只是我個人的幻想。現(xiàn)實和幻想的距離可能很大。但是當(dāng)知道我的意圖之后，希望你們能夠用自己的想象力來填補這本書的不足之處。我講這個課的時候，剛好和奧運會重合。由于祖國在奧運會上的豐收，自然引起了“為什么中國數(shù)學(xué)家不能拿數(shù)學(xué)界的金牌”的問題。于是“拿金牌”這個口號不脛而走，暑期中心的同志們?nèi)巳嗣嫔隙紥炝送粋€問號：“中國什么時候才能拿數(shù)學(xué)界的第一塊金牌？”這個問題甚至在雜志，報章上也被提出來了。這個想法實在很具刺激性。若真是能把一門嚴(yán)肅的學(xué)問當(dāng)作一種體育比賽，以后可以玩的花樣不可想象。比方說，人民日報第一頁可能有如下標(biāo)題：“Poincare與高斯在拓?fù)鋱錾霞?zhàn)，Poincare大勝，五比零。”又或：“群論決賽，Abel苦戰(zhàn)Galois，不幸以二比三敗北”等等。不過我猜想提倡在數(shù)學(xué)上“拿金牌”，主要的用意不過是一種鼓勵罷了。這個用意自然是很好的，但是，這個口號卻不幸被人誤解，以為學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的，不外是拿一個什么獎之類。這就和古代“十載寒窗，一舉成名”的封建思想，有太多重合之處了。你們一定很清楚認(rèn)識到，在你們自己這一代當(dāng)中，這種功利主義的想法已是與日俱增，犯不著再用“金牌”作為鼓勵了。我覺得比較值得做的事，倒是鼓勵你們?nèi)ヅ囵B(yǎng)一種“實事求是，為這門有悠久歷史的學(xué)問盡一己之力”的學(xué)者風(fēng)度。但是這件事一說開來不是三言兩語能夠說清楚的，而且恐怕也有一些說教的味道，所以我還是回過頭來和你們討論數(shù)學(xué)罷。
“拿金牌”的另一個用意，就是舉出一個目標(biāo)，希望大家朝這個方向走，從一個數(shù)學(xué)工作者的立場來看，這個做法似乎不夠徹底。如果真要堅持這個觀點，就索性舉出最偉大的數(shù)學(xué)家作青年人的榜樣。古語云：“取法乎上，得法乎中。”根據(jù)學(xué)問遠(yuǎn)勝于我的人的看法，數(shù)學(xué)史上登峰造極的數(shù)位，還要數(shù)十九世紀(jì)的高斯，黎曼，Abel，Poinare等等。Hermann Weyl在1944年寫Hilbert的悼文時就說過，偉大如Hilbert，他的學(xué)術(shù)成就還不及高斯和黎曼。但也是Weyl，毫不含糊的加上一句話：“在我們（即Weyl本人）這一代當(dāng)中，并沒有一個能夠和Hilbert相比的數(shù)學(xué)家。”Weyl被公認(rèn)為本世紀(jì)數(shù)一數(shù)二的數(shù)學(xué)家，同時些許是數(shù)學(xué)史上最后一個全才?？墒菑乃@個評價，就可以了解為什么要是想攀登數(shù)學(xué)的高峰，就非要拿這些十九世紀(jì)的大師們做榜樣不可。要認(rèn)識他們的成就，就得念他們的全集。
如果只談“拿金牌”而不談這個明顯的事實，則無形中變成鼓勵年輕人“取法乎中”，結(jié)果自然“得法乎下”。這就和提倡這個口號的原意脫節(jié)了。
你們一定以為“向大師學(xué)習(xí)”，只是一句說來動聽而不切實際的話。這是可以理解的。畢竟年輕人愛時髦，看的文章總要越新越好。所以一二十年前的文章便已有過時之嫌，更遑論十九世紀(jì)的文章？可是這個提法是無需我來辯護(hù)的，因為有才學(xué)遠(yuǎn)超過我的人來代替我做。在我做研究生的時候，有一次去聽Andre Weil演講。他一開頭就說年輕人一定要找高斯，Euler等第一流的數(shù)學(xué)家的全集來讀。在這方面，Weil是一個言行十分一致的人。1947年有一段時間他的情緒低落，但從翻閱高斯的文集中得到啟發(fā)，因而作了一連串的猜想。
這就是支配了過去三十年來代數(shù)幾何發(fā)展的“Weil猜想”。其實相像的例子是太多了。與其多舉，還不如推薦下列數(shù)篇文章，讓你們自己親身體會罷：
一 高斯創(chuàng)造近代曲面幾何學(xué)的文章：Disquisitiones generales circa superficies curves.這篇文章最近剛有新的英文翻譯和注釋。請閱 P.Dombrowski,150 Years After Gauss's Disquisitiones.. ,Asterisque,Vol.62, Soc. Math. France.1979
二 黎曼創(chuàng)造“黎曼幾何”的短文：Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 這篇文章的英文翻譯和詳細(xì)解釋可在本書參考文獻(xiàn)[S8,II]中找到。
三 Poincare創(chuàng)造代數(shù)拓?fù)涞囊幌盗形恼拢?
Analysis situs, J.Ecole Polytechnique (2) 1(1895), 1-121;
1r Complement, Rend.circ.mat.Palermo 13(1899), 285-343;
2d Complement, Proc.London.Math.Soc. 32(1900), 277-308;
3e Complement, Bull.Soc.Math.France 30(1902), 49-70;
4e Complement, J.Math.Pure.Appl. (5) 8(1902), 169-214;
5e Complement, Rend.circ.mat.Palermo 18(1904), 45-110.
這些文章都是你們基本上能夠看懂的。同時我也可以保證，他們會使你們感覺無限鼓舞的。
最后我們再回到“拿金牌”這個問題罷。一般人以為參加奧運會的唯一目的就是拿金牌。去年李寧拿了三塊金牌，舉國稱慶，而童非一面也拿不到。所以用“拿金牌”的尺度來看衡量，成功和失敗的分野，真是一目了然。但是“金牌得主”的李寧，他個人的想法又是怎么樣呢？你們可以去圖書館翻看他在1984年底發(fā)表在報章上，以“童非是真正的英雄”為題的文章，就可以看到另一個觀點。其實參加體育競賽，或者是鉆研數(shù)學(xué)，也只不過是人生的一部份而已。探求人生的意義，是我們致死的一天都學(xué)不完的大學(xué)問。下面錄出的兩段話，也許足以提供一些與眾不同的看法給大家作參考。第一段是近代奧運會的創(chuàng)始人Pierre de Coubertin 說的：
運動的目的不在勝利而在競爭
人生的意義不在克服而在奮斗
另一段則是古代希臘奧運會的格言之一：
切勿要求勝利，只應(yīng)要求有一往無前的勇氣。因為從堅韌不拔的奮斗中，你將為自己迎來榮譽。但更重要的，你將為全人類迎來光榮。
伍鴻熙
1985年6月于北京大學(xué)
