海倫公式又譯作希倫公式、海龍公式、希羅公式、海倫－秦九韶公式，傳說是古代的敘拉古國王 希倫（Heron,也稱海龍）二世發(fā)現(xiàn)的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據(jù)Morris Kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實(shí)是阿基米德所發(fā)現(xiàn)，以托希倫二世的名發(fā)表（未查證）。 我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p為半周長：p=(a+b+c)/2由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時(shí)候，不用測三角形的高，只需測兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。證明（1）：與海倫在他的著作"Metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面積S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]證明（2）：我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土地面積時(shí)，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數(shù)學(xué)家九韶提出了“三斜求積術(shù)”。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜。“術(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個(gè)數(shù)小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除馮所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，Q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]當(dāng)P＝1時(shí)，△ 2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}因式分解得1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=1/2(a+b+c)這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱為“海倫－秦九韶公式”。S=c/2*根號下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.根據(jù)海倫公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：已知四邊形ABCD為圓的內(nèi)接四邊形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四邊形ABCD的面積這里用海倫公式的推廣S圓內(nèi)接四邊形= 根號下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p為周長一半，a,b,c,d,為4邊）代入解得s=8√ 3海倫公式的幾種另證及其推廣關(guān)于三角形的面積計(jì)算公式在解題中主要應(yīng)用的有：設(shè)△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，ha為a邊上的高，R、r分別為△ABC外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p = (a+b+c),則S△ABC = aha= ab×sinC = r p= 2R2sinAsinBsinC ==其中，S△ABC = 就是著名的海倫公式，在希臘數(shù)學(xué)家海倫的著作《測地術(shù)》中有記載。海倫公式在解題中有十分重要的應(yīng)用。一、 海倫公式的變形S== ①= ②= ③= ④= ⑤二、 海倫公式的證明證一 勾股定理分析：先從三角形最基本的計(jì)算公式S△ABC = aha入手，運(yùn)用勾股定理推導(dǎo)出海倫公式。證明：如圖ha⊥BC，根據(jù)勾股定理，得:x = y =ha = = =∴ S△ABC = aha= a× =此時(shí)S△ABC為變形④，故得證。證二：斯氏定理分析：在證一的基礎(chǔ)上運(yùn)用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△ABC邊BC上任取一點(diǎn)D，若BD=u，DC=v,AD=t.則t 2 =證明：由證一可知，u = v =∴ ha 2 = t 2 = －∴ S△ABC = aha = a ×=此時(shí)為S△ABC的變形⑤，故得證。證三：余弦定理分析：由變形② S = 可知，運(yùn)用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 對其進(jìn)行證明。證明：要證明S =則要證S === ab×sinC此時(shí)S = ab×sinC為三角形計(jì)算公式，故得證。證四：恒等式分析：考慮運(yùn)用S△ABC =r p，因?yàn)橛腥切蝺?nèi)接圓半徑出現(xiàn)，可考慮應(yīng)用三角函數(shù)的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1證明：如圖，tg = ①tg = ②tg = ③根據(jù)恒等式，得：+ + =①②③代入，得：∴r2(x+y+z) = xyz ④如圖可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x∴x = 同理：y = z =代入 ④，得： r 2 · =兩邊同乘以 ，得：r 2 · =兩邊開方，得： r · =左邊r · = r·p= S△ABC 右邊為海倫公式變形①，故得證。證五：半角定理半角定理：tg =tg =tg =證明：根據(jù)tg = = ∴r = × y ①同理r = × z ② r = × x ③①×②×③,得： r3 = ×xyz∵由證一，x = = －c = p－cy = = －a = p－az = = －b = p－b∴ r3 = ∴ r =∴S△ABC = r·p = 故得證。三、 海倫公式的推廣由于在實(shí)際應(yīng)用中，往往需計(jì)算四邊形的面積，所以需要對海倫公式進(jìn)行推廣。由于三角形內(nèi)接于圓，所以猜想海倫公式的推廣為：在任意內(nèi)接與圓的四邊形ABCD中，設(shè)p= ,則S四邊形=現(xiàn)根據(jù)猜想進(jìn)行證明。證明：如圖，延長DA，CB交于點(diǎn)E。設(shè)EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD∴ = = =解得： e = ① f = ②由于S四邊形ABCD = S△EAB將①，②跟b = 代入公式變形④，得：∴S四邊形ABCD =所以，海倫公式的推廣得證。四、 海倫公式的推廣的應(yīng)用海倫公式的推廣在實(shí)際解題中有著廣泛的應(yīng)用，特別是在有關(guān)圓內(nèi)接四邊形的各種綜合題中，直接運(yùn)用海倫公式的推廣往往事半功倍。例題：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四邊形可能為等腰梯形。解：設(shè)BC = x由海倫公式的推廣，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0當(dāng)x = 1時(shí)，AD = BC = 1∴ 四邊形可能為等腰梯形。 