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數(shù)制轉(zhuǎn)換

　　計(jì)算機(jī)中常用幾種不同的進(jìn)位數(shù)制，包括二（八、十六）進(jìn)制和十進(jìn)制。二進(jìn)制數(shù)據(jù)更容易用邏輯線路處理，更接近計(jì)算機(jī)硬件能直接識(shí)別和處理的電子化信息的使用要求，而使用計(jì)算機(jī)的人更容易接受十進(jìn)制的數(shù)據(jù)類型。二者之間的進(jìn)制轉(zhuǎn)換是經(jīng)常遇到的問題，應(yīng)熟練掌握。

　　（1）二 (八、十六) 進(jìn)制 十進(jìn)制數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換
　　公式 (2.3) 確定的運(yùn)算規(guī)則，是不同進(jìn)位計(jì)數(shù)制數(shù)據(jù)之間完成進(jìn)位制轉(zhuǎn)換的依據(jù)。
　　十進(jìn)制到二進(jìn)制的轉(zhuǎn)換,通常要區(qū)分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分和小數(shù)部分,并分別按除2取余數(shù)部分和乘2取整數(shù)部分兩種不同的方法來完成。

　　對(duì)整數(shù)部分,要用除2取余數(shù)辦法完成十→二的進(jìn)制轉(zhuǎn)換,其規(guī)則是:
　　 用2除十進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分，取其余數(shù)為轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制數(shù)整數(shù)部分的低位數(shù)字;
　　 再用2去除所得的商,取其余數(shù)為轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制數(shù)高一位的數(shù)字;
　　 重復(fù)執(zhí)行第二步的操作，直到商為0，結(jié)束轉(zhuǎn)換過程。

　　例如, 將10進(jìn)制的37轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制整數(shù)的過程如下:
　　

　　余數(shù)部分，即轉(zhuǎn)換后的結(jié)果，為(100101) ₂。

　　對(duì)小數(shù)部分，要用乘2取整數(shù)辦法完成十→二的進(jìn)制轉(zhuǎn)換,其規(guī)則是:
　　 用2乘十進(jìn)制數(shù)的小數(shù)部分,取乘積的整數(shù)為轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制數(shù)的最高位數(shù)字;
　　 再用2乘上一步乘積的小數(shù)部分,取新乘積的整數(shù)為轉(zhuǎn)換后二進(jìn)制小數(shù)低一位數(shù)字;
　　 重復(fù)第二步操作,直至乘積部分為0，或已得到的小數(shù)位數(shù)滿足要求,結(jié)束轉(zhuǎn)換過程。

　　例如，將十進(jìn)制的0.43，轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制小數(shù)的過程如下(假設(shè)要求小數(shù)點(diǎn)后取5位):
　　

　　整數(shù)部分，即轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制小數(shù)為(0.01101)₂。
　　對(duì)小數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換的過程中,轉(zhuǎn)換后的二進(jìn)制已達(dá)到要求位數(shù),而最后一次的乘積的小數(shù)部分不為0，會(huì)使轉(zhuǎn)換結(jié)果存在誤差，其誤差值小于求得的最低一位的位權(quán)。

　　對(duì)既有整數(shù)部分又有小數(shù)部分的十進(jìn)制數(shù), 可以先轉(zhuǎn)換其整數(shù)部分為二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)部分,再轉(zhuǎn)換其小數(shù)部分為二進(jìn)制的小數(shù)部分,通過把得到的兩部分結(jié)果合并起來得到轉(zhuǎn)換后的最終結(jié)果。例如，（37.43）₁₀ = （100101.01101）₂ 。

　　在實(shí)現(xiàn)手工轉(zhuǎn)換時(shí),如果對(duì)二進(jìn)制數(shù)已經(jīng)比較熟悉,基本上記住了以2為底的指數(shù)值,即二進(jìn)制數(shù)每一位上的權(quán),對(duì)十進(jìn)制數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí),也可以不采用上述規(guī)則,基本上可以直接寫出來。例如，
　　（45.625）₁₀＝32＋8＋4＋1＋0.5＋0.125＝(10 1 1 01. 10 1) ₂，即（101101.101）₂。
　　　　(1105)₁₀ = 1024+81 = 1024+ 64+16 + 1= (1000 10 10001) ₂，即（10001010001）₂。

　　參照上述方法,也可以實(shí)現(xiàn)十→八進(jìn)制, 十→十六進(jìn)制的轉(zhuǎn)換過程。例如,
　　
　　結(jié)果：（1109）₁₀ =（2125）₈

　　　　

　　結(jié)果：（0.385）₁₀ =（0.305）₈

　　完成 十→十六 進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換方法與前述方法類似，只是乘除16時(shí)，手工運(yùn)算不大方便。

　　（2） 二 八 及 二 十六的進(jìn)制轉(zhuǎn)換
　　用二進(jìn)制表示一個(gè)數(shù)值N，所用的位數(shù)K為log₂N，如表示4096, K為13，寫起來位串較長。為此，計(jì)算機(jī)中也常常采用八進(jìn)制和十六進(jìn)制來表示數(shù)值數(shù)據(jù)，為表示數(shù)值N，分別有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:
　　　　　　　m-1
　　N = ∑ D_i * 8ⁱ (2.5) D_i 的取值為0到7
　　　　　　i = -k
　　例如 (7.44)₈ = 7*8⁰ + 4*8^-1 + 4*8^-2 = (7.5625)₁₀ 。

　　　　　　　m-1
　　N = ∑ D_i * 16ⁱ (2.6) D_i 的取值為0到9和A到F
　　　　　　i = -k
例如 (1A.08) ₁₆ = 1*16¹ + 10*16⁰ + 8*16^-2 = (26.03125)₁₀ 。

　　上述二式中所用符號(hào)的意義與公式（2.3）中所用符號(hào)的意義類同，但此處D_i包含的基本符號(hào)分別限于0-7和0-9、A-F，各位的碼權(quán)分別為8ⁱ和16ⁱ
　　把用二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制表示的數(shù)轉(zhuǎn)換成10進(jìn)制數(shù)的值, 使人能更容易地衡量這個(gè)數(shù)值的大小。

　　二進(jìn)制數(shù)與八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)的關(guān)系
　　由于log₂8=3, log₂16=4, 即一位8進(jìn)制的數(shù)可以用3位二進(jìn)制的數(shù)重編碼來得到, 一位16進(jìn)制的數(shù)可以用4位二進(jìn)制的數(shù)重編碼得到, 故人們通常認(rèn)為, 在計(jì)算機(jī)這個(gè)領(lǐng)域內(nèi), 8進(jìn)制和16進(jìn)制數(shù), 只是二進(jìn)制數(shù)的一種特定的表示形式。表2.1給出少量二、八、十六和十進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

表2.1 二、八、十六和十進(jìn)制的對(duì)應(yīng)關(guān)系

二進(jìn)制數(shù)	八進(jìn)制數(shù)	十六進(jìn)制數(shù)	十進(jìn)制數(shù)的值
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111	00 01 02 03 04 05 06 07 10 11 12 13 14 15 16 17	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

　　在把二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制或十六進(jìn)制表示時(shí)，應(yīng)從小數(shù)點(diǎn)所在位置分別向左、向右對(duì)每三位或每四位二進(jìn)制位進(jìn)行分組，寫出每一組所對(duì)應(yīng)的一位八或十六進(jìn)制數(shù)。若小數(shù)點(diǎn)左側(cè)(即整數(shù)部分)的位數(shù)不是3或4的整數(shù)倍，可以按在數(shù)的最左側(cè)補(bǔ)零的方法理解；對(duì)小數(shù)點(diǎn)右側(cè)(即小數(shù)部分)，應(yīng)按在數(shù)的最右側(cè)補(bǔ)零的方法處理，否則容易轉(zhuǎn)換錯(cuò)。對(duì)不存在小數(shù)部分的二進(jìn)制數(shù)(整數(shù)),應(yīng)從最低位開始向左把每3位劃分成一組，使其對(duì)應(yīng)一個(gè)八進(jìn)制位，或把每4位劃分成一組，使其對(duì)應(yīng)一個(gè)十六進(jìn)制位，例如:

　　(10.101) ₂ 變成八進(jìn)制時(shí)，應(yīng)把它理解為(010.101)₂,是(2.5)₈ , 即八進(jìn)制的2.5。當(dāng)把它轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制時(shí)，應(yīng)首先變?yōu)?0010.1010)₂，是(2.A) ₁₆,即十六進(jìn)制的2.A，而不是(2.5)₁₆。又如，
　　(1100111.10101101) ₂ = (147.532) ₈
　　(1100111.10101101) ₂ = (67.AD)₁₆
　　
　　八和十六進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換不怎么常用，經(jīng)過二進(jìn)制的中間結(jié)果進(jìn)行轉(zhuǎn)換是方便的。