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解法研究|例說處理幾何證明題的兩種不同策略

panyunbo >《數(shù)學(xué)》

2016.02.21

關(guān)注

近期在“草根初中數(shù)學(xué)研討群”內(nèi)就一道幾何證明題展開了激烈的討論，筆者認(rèn)真學(xué)習(xí)后從中挑選幾種比較有代表性的解法與大家分享……

注：本文由我與張宏偉老師合作完成，并將在“初中數(shù)學(xué)微課程”與“初中數(shù)學(xué)解法研究”兩個平臺同時展播

問題

如圖所示，矩形BEFC是矩形紙片ABCD的一部分，現(xiàn)在把矩形BEFC切割下來，發(fā)現(xiàn)剛好能夠完美地嵌入剩下的矩形AEFD中（BE=IJ、BC=IH），

試證明：J是AB中點

初步分析圖形

∵ ∠IFH=∠IHG=∠D=90°

∴ ∠FIH=∠DHG,∠FHI=∠DGH

繼而可得：∠FIH=∠IJE=∠JGA=∠GHD,

∠FHI=∠EIJ=∠GJA=∠DGH

∵ IJ=HG,IH=GJ

∴ △IEJ≌△DHG,△FIH≌△JGA

演繹推理

解法一

構(gòu)造等腰梯形

聯(lián)接CE、JH，

易知梯形EJHC是等腰梯形

設(shè)CF=KH=b，則FK=EJ=HD=a（△IEJ≌△HGD）

可知BJ=JA=a+b，即J是邊AB的中點

【類似的，還可以構(gòu)造平行四邊形】

解法二

構(gòu)造全等三角形

∵ IH=CB=HK，HJ=HJ

∴ △IHJ≌△HJK（H.L）

設(shè)BE=a，則IJ=JK=BE=a

設(shè)EJ=b，則EJ=HD=AK=b

∴ BJ=JA=a+b，即J是邊AB的中點

運(yùn)用三角比

解法三

解答

筆者認(rèn)為這些解法共同的特征就是“構(gòu)造”，前者構(gòu)形：造等腰梯形、平行四邊形、全等三角形，后者構(gòu)等式，前者通過添加輔助線，重組、轉(zhuǎn)化條件使之聚攏在某一特殊圖形或特殊圖形關(guān)系中，后者是數(shù)形結(jié)合，將形的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來探討。

筆者認(rèn)為，這兩種思路恰恰就是初中階段解決幾何證明問題的主要策略。

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