中考模擬試卷壓軸題精選1
2007年各地中考模擬試卷壓軸題精選1
1．（本題滿分12分）
如圖，二次函數(shù)（m<4）的圖象與
軸相交于點A、B兩點．
（1）求點A、B的坐標（可用含字母的代數(shù)式表示）；
（2）如果這個二次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點C，且
∠BAC的余弦值為，求這個二次函數(shù)的解析式．
解：（1）當，，………………………………（1分）
，．……………………………（2分）
∵，∴A（–4，0），B（，0）………………………………（4分）
（2） 過點C作CD⊥軸，垂足為D，
cos∠BAC,設(shè)AD=4k,AC=5k, 則CD=3k. ……………………（5分）
∵OA=4,∴OD=4k–4, 點C(4k–4,3k) . …………………………………（6分）
∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，∴. ………………（7分）
. ……………………………（8分）
∴C(2，).……………………（1分） ∵點C在二次函數(shù)的圖象上，
∴，………（1分） ∴ ………………(10分)
∴二次函數(shù)的解析式為. ……………………………（12分）
2．（本題滿分14分）
如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，∠C＝60°，AD＝3cm，BC＝9cm．⊙O1的圓心O1從點A開始沿折線A—D—C以1cm/s的速度向點C運動，⊙O2的圓心O2從點B開始沿BA邊以cm/s的速度向點A運動，⊙O1半徑為2cm，⊙O2的半徑為4cm，若O1、O2分別從點A、點B同時出發(fā)，運動的時間為ts
（1）請求出⊙O2與腰CD相切時t的值；
（2）在0s＜t≤3s范圍內(nèi)，當t為何值時，⊙O1與⊙O2外切？
解：（1）如圖所示，設(shè)點O2運動到點E處時，⊙O2與腰CD相切．
過點E作EF⊥DC，垂足為F，則EF＝4cm．………………1分
方法一，作EG∥BC，交DC于G，作GH⊥BC，垂足為H．
通過解直角三角形，求得EB＝GH＝cm．………………4分
所以t＝（）秒．………………6分
方法二，延長EA、FD交于點P．通過相似三角形，也可求出EB長．
方法三，連結(jié)ED、EC，根據(jù)面積關(guān)系，列出含有t的方程，直接求t．
（2）由于0s<t≤3s，所以，點O1在邊AD上．………………7分
如圖所示，連結(jié)O1O2，則O1O2＝6cm．………………8分
由勾股定理得，，即．………………10分
解得t1＝3，t2＝6（不合題意，舍去）．………………12分
所以，經(jīng)過3秒，⊙O1與⊙O2外切．………………14分
3．（本題滿分12分）
正方形ABCD的邊長為4，P是BC上一動點，QP⊥AP交DC于Q，設(shè)PB=x,△ADQ的面積為y.
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.
（2）（1）中函數(shù)若是一次函數(shù)，求出直線與兩坐標軸圍成的三角形面積，若是二次函數(shù)，請利用配方法求出拋物線的對稱軸和頂點坐標.
（3）畫出這個函數(shù)的圖象.
（4）點P是否存在這樣的位置，使△APB的面積是△ADQ的面積的，若存在，求出BP的長，若不存在，說明理由.
解:（1）畫出圖形，設(shè)QC=z，由Rt△ABP~Rt△PCQ，
=，
z=，①
把①代入② y=x2-2x+8（0＜x＜4）.
（2）y=x2-2x+8=(x-2)2+6.
∴對稱軸為x=2,頂點坐標為（2，6）.
(3)如圖所示 第25題圖（2）
(4)存在，由S△APB＝S△ADQ，可得y＝3x，
∴x2—2x+8＝3x，
∴x＝2，x＝8(舍去)，
∴當P為BC的中點時，△PAB的面積等于△ADQ的面積的.
4．（14分）函數(shù)y=-x-12的圖象分別交x軸，y軸于A,C兩點，
（1）求出A、C兩點的坐標.
（2）在x軸上找出點B，使△ACB~△AOC，若拋物線經(jīng)過A、B、C三點，求出拋物線的解析式.
（3）在（2）的條件下，設(shè)動點P、Q分別從A、B兩點同時出發(fā)，以相同的速度沿AC、BA向C、A運動，連結(jié)PQ，設(shè)AP=m，是否存在m值，使以A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，若存在，求出所有的m值；若不存在，請說明理由.
解．（1）A（-16，0） C（0，-12） 2分
（2）過C作CB⊥AC，交x軸于點B，顯然，點B為所求， 3分
則OC2=OA×OB 此時OB=9，可求得B（9，0） 5分
此時經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式為：
y=x2+x-12 8分
（3）當PQ∥BC時，△APQ ~△ACB 9分
得= 10分
∴=解得m= 11分
當PQ⊥AB時，△APQ ~△ACB 12分
得：= 13分
∴= 解得m= 14分
（1）求D點坐標．
（2）若B、C、D三點在拋物線上，求這個拋物線的解析式．
（3）若⊙A的切線交x軸正半軸于點M，交y軸負半軸于點N，切點為P，∠OMN=30º，試判斷直線MN是否經(jīng)過所求拋物線的頂點？說明理由．
解：（1）連結(jié)AD，得OA=，AD=2 ……………………1分
∴OD=3， D(0，-3) ………………………………………………2分
（2）由B(-，0)，C(3，0)，D(0，-3)三點在拋物線上，……3分
得 解得 ………………………………5分
∴ …………………………………………………………6分
∴AM=4， M (5，0) …………………………7分
∴N(0，-5) ……………………………………………8分
直線MN解析式為：
拋物線頂點坐標為(，-4) ………………………………9分
∵
∴拋物線頂點在直線MN上． ……………………………10分
6、（12分）如圖3.以A(0，)為圓心的圓與x軸相切于坐標點O,與y軸相交于點B,弦BD的延長線交x軸的負半軸于點E, 且∠BEO = 600 , AD的延長線交x軸于點C.
（1)分別求點E, C的坐標．
(2)求經(jīng)過A、C兩點，且以過E而平行于y軸的直線為對稱軸的拋物線的函數(shù)解析式．
解略
7.
一個圓柱的一條母線為AB,BC是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā),沿著圓柱的表面爬行到點C．
⑴如圖①，如果底面周長為24cm,高為4cm,那么螞蟻的最短行程是多少cm?
⑵如圖②，如果底面半徑為rcm,高為hcm,那么你認為螞蟻可能有哪幾種行程較短的路徑?試畫出平面展開圖說明路徑(至少畫兩種不同的路徑),不必說明理由．
⑶通過計算比較②中各種路徑的長度，你能得到什么一般性的結(jié)論？或者說，螞蟻選擇哪條路徑可使行程最短？
解略
8、（12分）某企業(yè)有員工300人，生產(chǎn)A種產(chǎn)品，平均每人每年可創(chuàng)造利潤萬元（為大于零的常數(shù)）。為減員增效，決定從中調(diào)配人去生產(chǎn)新開發(fā)的B種產(chǎn)品，根據(jù)評估，調(diào)配后，繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的員工平均每人每年創(chuàng)造的利潤可增加20%，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的員工平均每人每年可創(chuàng)造利潤1.54萬元。
（1）調(diào)配后，企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤為_________萬元，企業(yè)生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤為_________萬元（用含和的代數(shù)式表示）。若設(shè)調(diào)配后企業(yè)全年總利潤為萬元，則與之間的關(guān)系式為＝____________。
（2）若要求調(diào)配后，企業(yè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品的年利潤不小于調(diào)配前企業(yè)年利潤的，生產(chǎn)B種產(chǎn)品的年利潤大于調(diào)配前企業(yè)年利潤的一半，應有哪幾種調(diào)配方案 ？請設(shè)計出來，并指出其中哪種方案全年總利潤最大（必要時，運算過程可保留3個有效數(shù)字）。
（3）企業(yè)決定將（2）中的年最大總利潤（設(shè)＝2）繼續(xù)投資開發(fā)新產(chǎn)品?，F(xiàn)有6種產(chǎn)品可供選擇（不得重復投資同一種產(chǎn)品）各產(chǎn)品所需資金及所獲年利潤如下表：
產(chǎn) 品 | C | D | E | F | G | H |
所需資金（萬元） | 200 | 348 | 240 | 288 | 240 | 500 |
年 利 潤（萬元） | 50 | 80 | 20 | 60 | 40 | 85 |
如果你是企業(yè)決策者，為使此項投資所獲年利潤不少于145萬元，你可以投資開發(fā)哪些產(chǎn)品？請寫出兩種投資方案。
解：（1），，
（2）由題意得
解得＜≤100。注：寫97.5＜≤100或97.4＜≤100均視為正確
∵為整數(shù) ∴只能取98、99、100。
故共有三種調(diào)配方案：
①202人繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品，調(diào)98人生產(chǎn)B種產(chǎn)品；
②201人繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品，調(diào)99人生產(chǎn)B種產(chǎn)品；
③200人繼續(xù)生產(chǎn)A種產(chǎn)品，調(diào)100人生產(chǎn)B種產(chǎn)品；
又＝，由于＞0，函數(shù)隨的增大而增大。故當＝100，即按第三種方案安排生產(chǎn)時，獲總利潤最大。
（3）當＝2時，最大總利潤為788萬元。根據(jù)題意，可投資開發(fā)產(chǎn)品F、H或C、D、E或C、D、G或C、F、G。
9、已知：如圖1，直線y=kx+3(k>0)交x軸于點B，交y軸于點A，以A點為圓心，AB為半徑作⊙A交x軸于另一點D，交y軸于點E、F兩點，交直線AB于C點，連結(jié)BE、CF，∠CBD的平分線交CE于點H.
（1）求證：BE=HE；
（2）若AH⊥CE，Q為 ⌒上一點，連結(jié)DQ交y軸于T，連結(jié)BQ并延長交y軸于G，
求AT•AG的值；
（3）如圖2, P為線段AB上一動點(不與A、B兩點重合)，連結(jié)PD交y軸于點M，過P、M、B三點作⊙O1交y軸于另一點N，設(shè)⊙O1的半徑為R，當k=4時，給出下列兩個結(jié)論：①MN的長度不變；②R的值不變.其中有且只有一個結(jié)論是正確的，請你判斷哪一個結(jié)論正確，證明正確的結(jié)論并求出其值.
證明：(1)∵AE⊥BD，∴⌒=⌒，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH，∠BHE=∠ECB+∠CBH，∠HBE=∠DBH+∠EBD，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE.
解： (2)連結(jié)QC、TB，則∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB，∴ΔABG∽ΔATB，∴AB2=AG•AT，∵AH⊥CE，∴H為CE的中點，∴BE=2EC，∴ΔBEO∽ΔCBE，∴BO=EC=2. 設(shè)⊙A的半徑為R，由AB2－OA2=BO2，OE=R－3，得R2－32=4(R－3)2，解得，R=5，或R=3(不合題意，舍去).∴AT•AG=AB2=25.
(方法二提示:可連結(jié)AD,CD證ΔBAG∽ΔTAD)
(3)答：②R的值不變.
證明：作O1K⊥MN于K，連結(jié)O1N、PN、BM，
則MN=2NK， 且∠N O1K=∠NPM，
∴R=O1N=2sin∠NO1K=2sin∠NPM，
由直線y=4x+3 得 OB=OD=4，OM⊥BD，
∴∠BMO=∠DMO，
又∠BMO=∠ABM+∠BAM，∠DMO=∠MPN+∠PNM，
∵∠ABM=∠PNM，
∴∠MPN=∠BAM=∠NO1K，R=2sin∠BAM=2×AB= 5，
所以R的值不變，其值為 5.
10.（15分）已知拋物線與直線：的交點除了原點外，還相交于另一點.
（2）將拋物線沿著軸對折（翻轉(zhuǎn)）后，得到的圖象叫做“新拋物線”，則：
①當時，求這個“新拋物線”的解析式，并判斷這個“新拋物線”的頂點是否在直線上；
②在①的條件下，“新拋物線”上是否存在一點，使點到直線的距離等于線段的？若存在，請直接寫出滿足條件的點坐標；若不存在，請說明理由。
解略
11、（8分）如圖：直線y=x-2與x軸、y軸分別交于點A、B，M（t，0）是x軸上異于A的一點，以M為圓心且過點A的圓記為⊙M.
（1）求證：直線AB將⊙M的周長分為1：3兩部分；
（2）若直線AB被⊙M所截得的弦長為，求t的值；
（3）若點N是⊙M上的一點，是否存在實數(shù)t，使得四邊形ABMN為平行四邊形？若存在，求出t的值，并寫出N的坐標；若不存在，說明理由.
解略
