“一線三等角”相似模型
(一)情景再現(xiàn)
問題1:如圖,在等腰△ABC中,AB=AC ∠BAC=120°,點(diǎn)P為BC邊上的點(diǎn),過點(diǎn)P作∠MPN=30°,將∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn),∠MPN的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí),問:△BPE與△PCF是否相似?證明你的結(jié)論。
問題2:如圖,在等邊△ABC中,邊長為6,點(diǎn)D是BC上的動點(diǎn),∠MDN=60°,當(dāng)BD=1,NC=3時(shí),求BM的長。
問題3:如圖,在正方形ABCD中,邊長為1,點(diǎn)E在線段BC上,BE=,∠AEF=90°,邊EF交DC于F,求EF的長。
（二）抽象模型
1、模型定義
所謂“一線三等角模型”，即兩個(gè)相等的角一邊在同一直線上，另一邊在該直線的同側(cè)或異側(cè)，第三個(gè)與之相等的角的頂點(diǎn)在前一組等角的頂點(diǎn)所確定的線段上或線段的延長線上，該角的兩邊分別位于一直線的同側(cè)或異側(cè)，并與兩等角兩邊相交，就會形成一組相似三角形，習(xí)慣上把該組相似三角形稱為“一線三等角”型相似三角形.(通俗地講，一條直線上有三個(gè)相等的角一般會存在相似三角形)
2、基本圖形：
（1）點(diǎn)P在線段AB上
（2）點(diǎn)P在線段AB延長線上
三、載體
(1)等腰或等邊三角形底邊上的“一線三等角”模型
(2) 矩形或正方形中的“一線三等角”模型(“K”字型)
（3）平面直角坐標(biāo)系中的“一線三等角”模型
（三）問題探究
問題:如圖16,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,點(diǎn)D、E分別在BC、AC上,連接AD、DE,使∠1=∠B 求線段CE的最大值
變式1:(2017年無錫中考副卷第28題改編)如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)P在AD上，AB=2，AP=1，將三角板的直角頂點(diǎn)放于P處，三角板的兩直角邊分別與AB、BC邊相交于點(diǎn)E、F，連接EF。
（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合，求此時(shí)PC的長
（2）將三角板從圖1中點(diǎn)的位置開始，繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)停止，∠PEF的大小是否發(fā)生變化?
變式2:（1）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，直線l1:y=-2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將△OAB沿l1翻折，求O的對稱點(diǎn)P的坐標(biāo)
（2）直線l2過點(diǎn)P,且與直線l1的夾角是45°,求兩直線l1、l2的交點(diǎn)的坐標(biāo)。
變式2解答后,問學(xué)生:還有其他思路嗎?
另解：連接OP，過P作PC⊥x軸交x軸于點(diǎn)c，
