| 數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。縱觀近幾年各地的中考題，以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。 以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究，在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動，就其運動形式而言，有平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、滾動等。 動態(tài)幾何型試題題目靈活多變，動中有靜、動靜結(jié)合，能夠在運動變化中發(fā)展學(xué)生空間想象能力，綜合分析能力，是近幾年中考命題的熱點。下面以06、07年各地中考題為例，將動態(tài)幾何問題進(jìn)行分類分析。 題型一：點動型 點動型就是在三角形、矩形、梯形等一些幾何圖形上，設(shè)計一個或幾個動點，并對這些點在運動變化的過程中產(chǎn)生的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究。 1.單動點型 例1（2007年遼寧十二市）如圖， 已知等邊三角形ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的位置改變時， △DMN也隨之整體移動） ． ?。?）如圖①，當(dāng)點M在點B左側(cè)時，請你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點F是否在直線NE上？都請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由； ?。?）如圖②，當(dāng)點M在BC上時，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請利用圖②證明；若不成立，請說明理由； ?。?）若點M在點C右側(cè)時，請你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立?請直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由．  練習(xí)1（2007年福州市）如圖，直線AC∥BD，連結(jié)AB，直線AC，BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連結(jié)PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角．） （1）當(dāng)動點P落在第①部分時，求證：∠APB =∠PAC +∠PBD； （2）當(dāng)動點P落在第②部分時，∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？ ?。?）當(dāng)動點P落在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關(guān)系，并寫出動點的具體位置和相應(yīng)的結(jié)論．選擇其中一種結(jié)論加以證明．  練習(xí)2（2006年綿陽市）在正方形ABCD中，點P是CD上一動點，連結(jié)PA，分別過點B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分別為E、F，如圖①． ?。?）請?zhí)剿鰾E、DF、EF這三條線段長度具有怎樣的數(shù)量關(guān)系．若點P在DC 的延長線上（如圖②），那么這三條線段的長度之間又具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？若點P在CD 的延長線上呢（如圖③）？請分別直接寫出結(jié)論； ?。?）請在（1）中的三個結(jié)論中選擇一個加以證明．
 解決此類動點幾何問題常常用的是“類比發(fā)現(xiàn)法”，也就是通過對兩個或幾個相類似的數(shù)學(xué)研究對象的異同進(jìn)行觀察和比較，從一個容易探索的研究對象所具有的性質(zhì)入手，去猜想另一個或幾個類似圖形所具有的類似性質(zhì)，從而獲得相關(guān)結(jié)論。類比發(fā)現(xiàn)法大致可遵循如下步驟：（1）根據(jù)已知條件，先從動態(tài)的角度去分析觀察可能出現(xiàn)的情況。（2）結(jié)合某一相應(yīng)圖形，以靜制動，運用所學(xué)知識（常見的有三角形全等、三角形相似等）得出相關(guān)結(jié)論。（3）類比猜想出其他情況中的圖形所具有的性質(zhì)。 2.雙動點型 例2（2007聽哈爾濱市）如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點E，AF平分∠BAC，交BD于點F． ?。?）求證：  （2）點C1從點C出發(fā)，沿著線段CB向點B運動（不與點B重合），同時點A1從點A出發(fā)，沿著BA的延長線運動，點   ?。?）在（2）的條件下，當(dāng)A1E1=3，C1E1=2時，求BD的長． 3.多動點型 例3（2006年眉山市）如圖，∠MON = 90°，在∠MON的內(nèi)部有一個正方形AOCD，點A、C分別在射線OM、ON上，點B1是ON上的任意一點，在∠MON的內(nèi)部作正方形AB1C1D1. ?。?）連結(jié)D1D，求證：∠ADD1 = 90°； ?。?）連結(jié)CC1，猜一猜，∠C1CN的度數(shù)是多少？并證明你的結(jié)論； ?。?）在ON上再任取一點B2，以AB2為邊，在∠MON的內(nèi)部作正方形AB2C2D2，觀察圖形，并結(jié)合（1）、（2）的結(jié)論，請你再做出一個合理的判斷. 練習(xí)（2007年宜昌市）如圖1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，連接AE，AC和BE相交于點O. ?。?）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由； ?。?）如圖2，P是線段BC上一動點（圖2），（不與點B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點Q，QR⊥BD，垂足為點R. ?、偎倪呅蜳QED的面積是否隨點P的運動而發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積； ?、诋?dāng)線段BP的長為何值時，△PQR與△BOC相似？ 通過上述例題可以發(fā)現(xiàn)，雙動點的題型可以轉(zhuǎn)化為單動點題型求解，關(guān)鍵是抓準(zhǔn)決定整道題的那個關(guān)鍵的動點，從而將問題轉(zhuǎn)化. 題型二：線動型 1.線平移型 ?。?）當(dāng)∠CPD=30°時，求AE的長； ?。?）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由． 2.線旋轉(zhuǎn)型 例5（2006年衡陽市） 已知：如圖，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1， (1)證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90°時，四邊形ABEF是平行四邊形； (2)試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等； (3)在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎?如果不能，請說明理由；如果能，說明理由并求出此時AC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)的度數(shù). 線動實質(zhì)就是點動，即點動帶動線動，進(jìn)而還會產(chǎn)生面動，因而線動型幾何問題可以通過轉(zhuǎn)化成點動型問題來求解.解決此類題的關(guān)鍵是要把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系.從運動變化得圖形的特殊位置，進(jìn)而探索出一般的結(jié)論或者從中獲得解題啟示，這種由特殊到一般的思想對我們解決運動變化問題是極為重要的. 題型三：圖動型圖形的運動變換主要有平移、旋轉(zhuǎn)和翻折這三種基本變換。主要是對給定的圖形（或其一部分）實行某種位置變化，然后在新的圖形中分析有關(guān)圖形之間的關(guān)系，這類問題常與探究性、存在性等結(jié)合在一起，考察學(xué)生動手能力、觀察能力、探索與實踐能力. 例6（2007年河北省）ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G．一等腰直角三角尺按如圖1所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點B． （1）在圖1中請你通過觀察、測量BF與CG的長度，猜想并寫出BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想； ?。?）當(dāng)三角尺沿AC方向平移到圖2所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交BC邊于點D，過點D作DE⊥BA于點E．此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE＋DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想； （3）當(dāng)三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移到圖3所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用說明理由） 圖形平移實質(zhì)上就是線的平移，線的平移會產(chǎn)生相似圖形，所以這類問題解題的關(guān)鍵思路是利用相似得到待求量之間的關(guān)系。本題是一道利用三角板為背景設(shè)計的題目，求解時一定要了解三角板的特性，使求解難度降低，通過求解我們還可以看出，三角板通過適當(dāng)?shù)牟僮髂茏兓贸鲈S多精彩的中考數(shù)學(xué)試題，近兩年的中考中就頻頻出現(xiàn)此類問題。 2.圖形旋轉(zhuǎn)型 例7（2007年臨沂市） 如圖1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點D放在AC的中點上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），將直角三角板DEF繞D點按逆時針方向旋轉(zhuǎn). ?、旁趫D1中，DE交AB于M，DF交BC于N. ?、僮C明DM＝DN； ②在這一過程中，直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN，請說明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明是如何變化的？若不發(fā)生變化，求出其面積； ?、评^續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置，延長AB交DE于M，延長BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由； ?、抢^續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖3的位置，延長FD交BC于N，延長ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，請寫出結(jié)論，不用證明. 練習(xí)1（2006年常德市）把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點P，射線DF與線段BC相交于點Q． （1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過點B，即點Q與點B重合時，易證△APD∽△CDQ．此時，AP·CQ＝ ； （2）將三角板DEF由圖9所示的位置繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，其中0°＜α＜90°，問AP·CQ的值是否改變？說明你的理由； ?。?）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）
(1) 求證：BP=DP； (2) 如圖2，若四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明； (3) 試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與四邊形PECF的兩個頂點連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形PECF繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論 .
（1）以圖中已標(biāo)有字母的點為端點連結(jié)兩條線段（正方形的對角線除外），要求所連結(jié)的兩條線段相交且互相垂直，并說明這兩條線段互相垂直的理由； （2）若正方形的邊長為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為 解：（1）我連結(jié)的兩條相交且互相垂直的線段是______和______． 理由如下： 圖形的旋轉(zhuǎn)實質(zhì)就是線的旋轉(zhuǎn)，也可抓住旋轉(zhuǎn)圖形和不變圖形的交點，轉(zhuǎn)化成動點問題先動后靜來求解. 3.圖形翻折型 例8（2007年濟(jì)寧市）如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN，再把B點疊在折痕線上，得到△ABE.過B點折紙片使D點疊在直線AD上，得折痕PQ. (1)求證：△PBE∽△QAB； (2)你認(rèn)為△PBE和△BAE相似嗎？如果相似給出證明，如不相似請說明理由； (3)如果沿直線EB折疊紙片，點A是否能疊在直線EC上？為什么？ 練習(xí)1（2007年孝感市）在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，其具體操作過程是： 第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）； 第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）. 圖1 圖2 請解答以下問題： （1）如圖1，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結(jié)論； ?。?）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關(guān)系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結(jié)論的三角形紙片BMP ？ （3）設(shè)矩形ABCD的邊AB=2，BC=4，并建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系. 設(shè)直線BM′為y=kx，當(dāng)∠M′BC=60°時，求k的值.此時，將△ABM′沿BM′折疊，點A是否落在EF上（E、F分別為AB、CD中點）？為什么？ 圖3
（1）判斷△OCD與△ADE是否相似？請說明理由； ?。?）求直線CE與x軸交點P的坐標(biāo)； ?。?）是否存在過點D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由． 圖形翻折實際上是軸對稱變換，變換前后的對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等。常常與角平分線、線段垂直平分線、等腰三角形的高相聯(lián)系。解決旋轉(zhuǎn)、平移、翻折的動態(tài)幾何問題關(guān)鍵是結(jié)合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有關(guān)知識，全面尋找圖形運動過程中的不變量。 例9（2007義烏）如圖1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示） 圖1 圖2 圖3 小明在對這兩張三角形紙片進(jìn)行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決. ?。?）將圖3中的△ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點B與點F 重合，請你求出平移的距離； ?。?）將圖3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)30°到圖5的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度； （3）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH﹦DH.
圖4 圖5 圖6 本題是圍繞圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)設(shè)計的一道綜合題，不但考察學(xué)生對翻折、平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握程度，而且還考察了學(xué)生們的綜合運用能力. 解決運動型試題需要用運動與變化的眼光去觀察和研究圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系，并特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系. |
