追本溯源化繁為簡
目有千萬而綱為一，枝葉繁多而本為一。綱舉則目張，執(zhí)本而末從。如果只在細枝末節(jié)上下功夫，費了力氣卻討不了好。學習就是不斷地歸一，最終以一心一理貫通萬事萬物，則達自由無礙之化境矣（呵呵，這境界有點高，慢慢來）。
關于幾何最值問題研究的老師很多，本人以前也有文章論述，本文在此基礎上再次進行歸納總結，把各種知識、方法、思想、策略進行融合提煉、追本溯源、認祖歸宗，以使解決此類問題時更加簡單明晰。
一、基本圖形
所有問題的老祖宗只有兩個：①[定點到定點]：兩點之間，線段最短；②[定點到定線]：點線之間，垂線段最短。
由此派生：③[定點到定點]：三角形兩邊之和大于第三邊；④[定線到定線]：平行線之間，垂線段最短；⑤[定點到定圓]：點圓之間，點心線截距最短（長）；⑥[定線到定圓]：線圓之間，心垂線截距最短；⑦[定圓到定圓]：圓圓之間，連心線截距最短（長）。
余不贅述，下面僅舉一例證明：[定點到定圓]：點圓之間，點心線截距最短（長）。
已知⊙O半徑為r，AO=d，P是⊙O上一點，求AP的最大值和最小值。
證明：由“兩點之間，線段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小時點P在B處，最大時點P在C處。即過圓心和定點的直線截得的線段AB、AC分別最小、最大值。(可用“三角形兩邊之和大于第三邊”，其實質也是由“兩點之間，線段最短”推得）。
上面幾種是解決相關問題的基本圖形，所有的幾何最值問題都是轉化成上述基本圖形解決的。
二、考試中出現(xiàn)的問題都是在基本圖形的基礎上進行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動點的形式確定的；再如過定點的直線與動點所在路徑不相交而需要進行變換的。類型分三種情況：（1）直接包含基本圖形；（2）動點路徑待確定；（3）動線（定點）位置需變換。
（一）直接包含基本圖形。
例1.在⊙O中，圓的半徑為6，∠B=30°，AC是⊙O的切線，則CD的最小值是 。
簡析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定點，C是直線AC上的動點，即為求定點D到定線AC的最短路徑，求得當CD⊥AC時最短為3。
（二）動點路徑待確定。
例2.，如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點（不與點B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長度的最小值是 。
簡析：A是定點，B'是動點，但題中未明確告知B'點的運動路徑，所以需先確定B'點運動路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B'的路徑是以C為圓心，BC為半徑的圓弧，從而轉化為定點到定圓的最短路徑為AC-B'C=1。
例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，將△ABC繞點C順時針旋轉，得到△A'B'C，點E是BC上的中點，點F為線段AB上的動點，在△A'B'C繞點C順時針旋轉過程中，點F的對應點是F'，求線段EF'長度的最大值與最小值的差。
簡析：E是定點，F(xiàn)'是動點，要確定F'點的運動路徑。先確定線段A'B'的運動軌跡是圓環(huán)，外圓半徑為BC，內圓半徑為AB邊上的高，F(xiàn)'是A'B'上任意一點，因此F'的運動軌跡是圓環(huán)內的任意一點，由此轉化為點E到圓環(huán)的最短和最長路徑。
E到圓環(huán)的最短距離為EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圓環(huán)的最長距離為EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為7.2。
（三）動線（定點）位置需變換。
線段變換的方法：（1）等值變換：翻折、平移；（2）比例變換：三角、相似。
【翻折變換類】典型問題：“將軍飲馬”。
例4.如圖，∠AOB=30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分∠AOB，且OP=6，當△PMN的周長最小值為 。
簡析：動線段（或定點）應居于動點軌跡的兩側，本題的三條動線段PM、MN、PN在OA、OB的內側。所以本題的關鍵是把定線段變換到動點軌跡的兩側，從而把三條動線段PM、MN、PN轉化為連接兩點之間的路徑。如圖，把點P分別沿OA、OB翻折得P1、P2，△PMN的周長轉化為P1M+MN+P2N，這三條線段的和正是連接兩個定點P1、P2之間的路徑，從而轉化為求P1、P2兩點之間最短路徑，得△PMN的周長最小值為線段P1P2＝OP＝6。
例5.如圖，在銳角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是 。
簡析：本題的問題也在于動線段BM、MN居于動點軌跡AD的同側，同樣把點N沿AD翻折至AC上，BM+MN＝BM+MN'，轉化為求點B到直線AC的最短路徑，即BN'⊥AC時，最小值為2√2。
【平移變換類】典型問題：“造橋選址”。
例6.如圖，m、n是小河兩岸，河寬20米，A、B是河旁兩個村莊，要在河上造一座橋，要使A、B之間的路徑最短應該如何選址（橋須與河岸垂直）？
簡析：橋長為定值，可以想像把河岸m向下平移與n重合，同時把點A向下平移河寬，此時轉化成n上的一點到A、B的路徑之和最短，即轉化為定點A'到定點B的最短路徑。如下圖：
思路是把動線AM平移至A'M，A'N+BN即轉化為求定點A'與定點B之間的最路徑。本題的關鍵是定長線段MN把動線段分隔，此時須通過平移把動線段A'N、BN變?yōu)檫B續(xù)路徑，也可以把點B向上平移20米與點A連接。
例7.如圖，CD是直線y=x上的一條定長的動線段，且CD=2，點A（4，0），連接AC、AD，設C點橫坐標為m，求m為何值時，△ACD的周長最小，并求出這個最小值。
解析：兩條動線段AC、AD居于動點所在直線的兩側，不符合基本圖形中定形（點線圓）應在動點軌跡的兩側。首先把AC沿直線CD翻折至另一側，如下圖：
現(xiàn)在把周長轉化為A'C+CD+AD，還需解決一個問題：動線段A'C與AD之間被定長線段CD阻斷，動線段必須轉化成連續(xù)的路徑。同上題的道理，把A'C沿CD方向平移CD的長度即可，如下圖。
現(xiàn)在已經轉化為A''D+AD的最短路徑問題，屬定點到定點，當A''D與AD共線時A''D+AD最短，即為線段AA''的長。
【三角變換類】典型問題：“胡不歸”。
例8.如圖，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距離AH＝2√3，AB＝2√19，在公路BC上行進的速度是在沙漠里行駛速度的2倍。某人在B地工作，A地家中父親病危，他急著沿直線BA趕路，誰知最終沒能見到父親最后一面，其父離世之時思念兒子，連連問：“胡不歸，胡不歸……！”（怎么還不回來），這真是一個悲傷的故事，也是因為不懂數(shù)學而導致的。那么，從B至A怎樣行進才能最快到達？
簡析：BP段行駛速度是AP段的2倍，要求時間最短即求BP/2+AP最小，從而考慮BP/2如何轉化，可以構造含30°角利用三角函數(shù)關系把BP/2轉化為另一條線段。如下圖，作∠CBD=30°，PQ⊥BD，得PQ=1/2BP，由“垂線段最短”知當A、P、Q共線時AP+PQ＝AQ'最小。
【相似變換類】典型問題：“阿氏圓”。
“阿氏圓”：知平面上兩點A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓，如下圖所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k。
例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB與x軸交于點E，以點E為圓心，ED長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求 1/2AM+CM 的最小值。
簡析：本題的主要問題在于如何轉化1/2AM，注意到由條件知在M的運動過程中，EM：AE＝1：2保持不變，從而想到構造相似三角形，使之與△AEM的相似比為1：2，這樣便可實現(xiàn)1/2AM的轉化，如下圖取EN：EM＝1：2，即可得△EMN∽△EAM，再得MN=1/2AM，顯然，MN+CM的最小值就是定點N、C之間的最短路徑。
之后便是常規(guī)方法先求N點坐標，再求CN的長。
【解法大一統(tǒng)】
萬法歸宗：路徑成最短，折線到直線。
（所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時即為最短路徑）
基本圖形：動點有軌跡，動線居兩邊。
（動點軌跡可以是線或圓，動線指動點與定點或定線、定圓的連線，動線與折線同指）
核心方法：同側變異側，分散化連續(xù)。
（動線在同側進，要變?yōu)楫悅?，一般用翻折、三角、相似的方法構造；動折線被定長線段分散時需化為連續(xù)折線，一般用平移的方法構造，如造橋選址問題）
下圖是構造完成的目標圖形：
再舉2例說明上述規(guī)律的運用方法：
1.如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑為2和1，P、E、F分別是CD、⊙A、⊙B上的動點，則PE+PF的最小值為 。
思考方法如下圖所示：
2.菱形ABCD中，∠BAC=60°，P是AC上的動點，求BP+1/2AP的最小值。
思考方法如下圖所示：
