23.在等邊三△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，點D為△ABC外一點，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究:當M，N分別在直線AB、AC上移動時，BM，NC，MN之間的數量關系及△AMN的周長Q與等邊△ABC的周長L的關系。
(1) 如圖1：當點M、N在AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是________,此時Q:L= _______
(2) 如圖2：點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想(1)問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并證明；
(3)如圖3，當M、N分別在邊AB、AC的延長線上時，若AN=x，則Q=_______(用x,L表示)
解：(1)BM CN=MN, 2:3
(2)兩個結論仍然成立。
將△DCN以D點中心逆時針旋轉120°，得到△DBN’，如圖所示，
∴DN=DN’，CN=BN’，∠CDN=∠BDN’，∠N’BD=∠NCD
又∵∠BAC=60°，∠BDC=120°
∴∠ABD ∠ACD=180°，所以點A、B、N’三點在同一條直線上。
∵∠NDM=60°∴∠BDM ∠CDN=60°∴∠MDN’=∠MDN=60°
在△MD N’和△MDN中
DN’=DN ∠N’DM=∠NDM DM=DM
∴△MD N’≌△ MDN
∴MN=MN’=BM BN’=BM CN
∴Q=AM MN NA=AM BM CN AN
=AB AC=2AB
L=AB BC AC=3AB 即Q:L=2:3
(3) 仍將△DCN以D點中心逆時針旋轉120°，得到△DBN’，如圖所示，
∴CN=BN’
同理（同第2小問）可證：△MD N’≌△ MDN∴MN=MN’
∴Q= AM MN NA=AB BM MN’ NA
=AB CN NA= AB CA NA NA
