論數(shù)學(xué)的起源
馮·諾依曼
討論任意領(lǐng)域中智力活動(dòng)的性質(zhì)是一件困難的任務(wù)，對(duì)處于人類(lèi)智能中心領(lǐng)域的數(shù)學(xué)就更是如此。對(duì)人類(lèi)智能的性質(zhì)作一般的討論，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是困難的，它在任何情況下總比只涉及那些特殊范圍的智能的討論要更為困難。理解飛機(jī)的結(jié)構(gòu)和升力、推力的力學(xué)原理，比乘坐飛機(jī)、以至駕駛它要更為困難。
在沒(méi)有以直觀的和經(jīng)驗(yàn)的方式獲得某些知識(shí)之前，在沒(méi)有預(yù)先了解、熟悉以及駕駛過(guò)飛機(jī)之前，人們就能理解原理及其過(guò)程，這是罕見(jiàn)的。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，這種討論如果以一種非數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行的話(huà)，限制將更為苛刻。討論必然會(huì)顯示出某些不良的特性，得到的結(jié)果所依據(jù)的材料決不可能充分；相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。盡管我甚至意識(shí)到，我將要提出的說(shuō)法有不少短處，但是很抱歉我還是得說(shuō)下去。此外，我準(zhǔn)備表述的觀點(diǎn)，也完全可能不為許多其他數(shù)學(xué)家所贊同。你可能獲得一個(gè)人為的不太系統(tǒng)的印象和解釋。我提出的看法，對(duì)這些討論究竟有多少價(jià)值，也許是很小的。
在我看來(lái)，刻畫(huà)數(shù)學(xué)特點(diǎn)的最有力的事實(shí)，是它和自然科學(xué)的特有聯(lián)系?；蛘吒话愕卣f(shuō)，它和任何一類(lèi)比處于純粹描述水準(zhǔn)更高級(jí)一些的、能對(duì)經(jīng)驗(yàn)作出解釋的科學(xué)的特有聯(lián)系。大多數(shù)數(shù)學(xué)家和非數(shù)學(xué)家將會(huì)同意，數(shù)學(xué)不是一門(mén)經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，或者至少可以說(shuō)它不是以某種來(lái)自經(jīng)驗(yàn)科學(xué)技術(shù)的方法實(shí)現(xiàn)的，但是它的發(fā)展和自然科學(xué)卻緊密相聯(lián)。它的一個(gè)主要分支幾何學(xué)，實(shí)際上起源于自然科學(xué)、經(jīng)驗(yàn)科學(xué)。某些現(xiàn)代科學(xué)中最大的靈感（我認(rèn)為是最大的）清楚地來(lái)源于自然科學(xué)，數(shù)學(xué)方法滲透和支配著自然科學(xué)的許多“理論”分支。在現(xiàn)代經(jīng)驗(yàn)科學(xué)中，能否接受數(shù)學(xué)方法或與數(shù)學(xué)相近的物理學(xué)方法，已愈來(lái)愈成為該學(xué)科成功與否的主要標(biāo)準(zhǔn)。確實(shí)，整個(gè)自然科學(xué)一系列不可割斷的相繼現(xiàn)象的鏈，它們都被打上數(shù)學(xué)的標(biāo)志，幾乎和科學(xué)進(jìn)步的理念是一致的，這也變得越來(lái)越明顯了。生物學(xué)變得更受到化學(xué)和物理滲透，這些化學(xué)是實(shí)驗(yàn)和理論的物理，而物理是形式甚為數(shù)學(xué)化的理論物理。
有一個(gè)甚為特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì)的兩重性，人們必須理解它，接受它，并且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，我不相信無(wú)需犧牲事物的實(shí)質(zhì)，就可能簡(jiǎn)化和單一化對(duì)事物的看法。
因而我并不試圖為你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫(xiě)數(shù)學(xué)所具有的多重現(xiàn)象。無(wú)可否認(rèn)，在人們能想象的那部分純粹數(shù)學(xué)中，某些最為激動(dòng)人心的靈感來(lái)自自然科學(xué)，我將提及兩個(gè)最值得紀(jì)念的事實(shí)。
第一個(gè)例子是幾何學(xué)。幾何學(xué)是古代數(shù)學(xué)中的一個(gè)主要部分，現(xiàn)在仍然是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中幾個(gè)主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經(jīng)驗(yàn)的，它開(kāi)始成為一門(mén)學(xué)科并不像當(dāng)今的理論物理。離開(kāi)這些跡象，就很難說(shuō)“幾何學(xué)”是什么了，歐氏的公理化處理是幾何學(xué)脫離經(jīng)驗(yàn)向前跨出一大步的標(biāo)志，但是它全然不能簡(jiǎn)單地被看成是決定性的、絕對(duì)的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面并不能滿(mǎn)足現(xiàn)代絕對(duì)的公理化對(duì)嚴(yán)格性的要求，當(dāng)然這不是主要的方面。最本質(zhì)的是某些無(wú)疑是經(jīng)驗(yàn)的學(xué)科，如力學(xué)和熱力學(xué)，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出歐幾里得的程序。
盡管自歐幾里得以來(lái)，在使幾何學(xué)與經(jīng)驗(yàn)脫離方面已經(jīng)逐步地取得了進(jìn)展，但是哪怕在今天，它也沒(méi)有變得十分完備。非歐幾何學(xué)的討論提供了這方面的一個(gè)好的說(shuō)明。
廣義相對(duì)論的發(fā)現(xiàn)，迫使人們對(duì)關(guān)于幾何學(xué)相互關(guān)系的觀點(diǎn)進(jìn)行修正。這種修正是在全新的背景下進(jìn)行的。最后，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最后的進(jìn)展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現(xiàn)代公理派邏輯數(shù)學(xué)家處理成為完全非經(jīng)驗(yàn)的和抽象的。這兩種表面上似乎是沖突的態(tài)度，完美地合并成一種數(shù)學(xué)思想；因此，希爾伯特在公理幾何學(xué)和廣義相對(duì)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn)。
第二個(gè)例子是微積分，或者說(shuō)是由它生成的數(shù)學(xué)分析。微積分是近代數(shù)學(xué)的最早的成果，它的重要性怎樣評(píng)價(jià)都不過(guò)分。微積分的起源顯然是經(jīng)驗(yàn)的，開(kāi)普勒嘗試著做的最早的積分，被叫做小桶的量度——即量度由曲面包圍起來(lái)的物體的容積。這是非公理化的，經(jīng)驗(yàn)的幾何學(xué)，而不是歐幾里得以后的那種幾何學(xué)，開(kāi)普勒是完全知道這些的。牛頓和萊布尼茲的那些主要成果和主要發(fā)現(xiàn)確實(shí)起源于物理學(xué)。牛頓發(fā)明的“流數(shù)”運(yùn)算，本質(zhì)上是為了力學(xué)。事實(shí)上，這兩門(mén)學(xué)科，微積分和力學(xué)，是由它們或多或少地結(jié)合在一齊而得到發(fā)展的。
對(duì)任何數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，很難相信數(shù)學(xué)是一門(mén)純粹經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，或者說(shuō)，所有數(shù)學(xué)概念都起源于經(jīng)驗(yàn)主體。首先讓我們來(lái)考察陳述的第二部分?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)中有各種各樣重要部分，它的經(jīng)驗(yàn)來(lái)源是不可追溯的。代數(shù)符號(hào)是為了數(shù)學(xué)本身的使用而發(fā)明的。當(dāng)然也可以合理地?cái)嘌裕核訌?qiáng)了與經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，但是，現(xiàn)代的抽象代數(shù)，已經(jīng)愈來(lái)愈朝著與經(jīng)驗(yàn)很少相聯(lián)的方向發(fā)展。關(guān)于拓?fù)湟部梢赃@樣講。在所有這些領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家主觀上的成功標(biāo)準(zhǔn)和作用價(jià)值，是自身相容、符合美學(xué)和脫離（或幾乎脫離）經(jīng)驗(yàn)。
在集合論中，這更為明顯，一個(gè)無(wú)窮的“冪”和“序”，可以是有限數(shù)概念的推廣，但是在他們的無(wú)限形式中（特別是“冪”），它們和這個(gè)世界很難有任何聯(lián)系。然后在十年之后，有的可能在一個(gè)世紀(jì)之后，卻變得對(duì)物理學(xué)十分有用。它們主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非應(yīng)用的精神。
數(shù)學(xué)概念來(lái)源于經(jīng)驗(yàn)，盡管有時(shí)系譜是長(zhǎng)遠(yuǎn)的曲折的，這種說(shuō)法是一個(gè)適當(dāng)?shù)膶?duì)真理的逼近。真理是太復(fù)雜了，以至能容納任何事物，而不是逼近。但是一旦它們被設(shè)想出來(lái)后，這個(gè)主題開(kāi)始按它自己特有的活力生長(zhǎng)，并且在幾乎完全按美學(xué)動(dòng)機(jī)給出的創(chuàng)造物方面；它將比任何事物，特別是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)來(lái)得好。
但是也有一種重大的危險(xiǎn)，學(xué)科只沿著遠(yuǎn)離根源的流一直持續(xù)展開(kāi)下去，并且分割成多種沒(méi)有意義的分支，學(xué)科將變成一種繁煩的資料堆積。換言之，遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)來(lái)源，一直處于“抽象的”近親交配之中，一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科將有退化的危險(xiǎn)。開(kāi)始時(shí)，風(fēng)格是古典的，當(dāng)它顯示出怪異時(shí)，危險(xiǎn)就來(lái)了。要給出這樣的例子是容易的，它們沿著一些特殊進(jìn)展進(jìn)入怪異的，以至高度奇異的狀態(tài)，但是細(xì)說(shuō)這些就太技術(shù)化了。
