（一）奇妙的斐波那契數(shù)列：
斐波那契數(shù)列的由來(lái)是“兔子問(wèn)題”。
從中總結(jié)的規(guī)律就是：
（1）每個(gè)月小兔子數(shù) = 上個(gè)月的大兔子數(shù)；
（2）每個(gè)月的大兔子數(shù) = 上個(gè)月的大兔子數(shù) + 上個(gè)月的小兔子數(shù)；
（3）每個(gè)月的大兔子數(shù) = 上個(gè)月的大兔子數(shù) + 上上個(gè)月的大兔子數(shù)。
1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，89，,144......
即前兩項(xiàng)是1， 1，后面的每一項(xiàng)是前面兩項(xiàng)的和，這就是斐波那契數(shù)列。提到數(shù)列，作為大學(xué)生，學(xué)過(guò)高等數(shù)學(xué)，很自然想到求極限。所以，這里斐波那契數(shù)列后一項(xiàng)與前一項(xiàng)比值的極限就是二分之根號(hào)五減一，約等于0.618.這就是后面要說(shuō)的黃金分割比。
遞推公式為：
發(fā)現(xiàn)斐波納契數(shù)&&尋找斐波那契數(shù)列：
1.自然中的斐波那契數(shù)：
花基數(shù)（花瓣的數(shù)目），樹(shù)杈的生長(zhǎng)， 菜花，松子，
向日葵：
順時(shí)針?lè)较虻膶?duì)數(shù)螺線，逆時(shí)針?lè)较虻膶?duì)數(shù)螺線都是斐波納契數(shù)。更為驚人的是，順時(shí)針?lè)较虻膶?duì)數(shù)螺線和逆時(shí)針?lè)较虻膶?duì)數(shù)螺線是兩個(gè)相繼斐波納契數(shù)。還曾經(jīng)發(fā)現(xiàn)過(guò)一個(gè)更大的向日葵，順時(shí)針對(duì)數(shù)螺線144條，逆時(shí)針對(duì)數(shù)螺線233條。
如下圖：
葉子的生長(zhǎng)方式也是如此，對(duì)于許多植物來(lái)說(shuō)，每片葉子從中軸附近生長(zhǎng)出來(lái)，為了在生長(zhǎng)的過(guò)程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長(zhǎng)出來(lái)，而不是一下子同時(shí)出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個(gè)角度稱為“黃金角度”，因?yàn)樗驼麄€(gè)圓周360度之比是黃金分割數(shù)0.618033989……的倒數(shù)，而這種生長(zhǎng)方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時(shí)能達(dá)到89，甚至144條。
這就是神秘的大自然！
這些現(xiàn)象是植物生長(zhǎng)動(dòng)力學(xué)特性造成的。相鄰器官原基之間的夾角是一個(gè)特殊角，這使種子的堆積效率達(dá)到最高。
2.斐波那契數(shù)列的推廣：
首先，思考一下，斐波那契數(shù)列的前兩項(xiàng)是1， 1，那可不可以是1，2呢？
如果是1,2 的話，這就成了缺少第一項(xiàng)的斐波那契數(shù)列，即1， 2， 3 ，5， 8，......,這不算是本質(zhì)的推廣。
次簡(jiǎn)單的，如果前兩項(xiàng)是1， 3呢？即1， 3， 4， 7， 11， 18，......
這就是推廣的斐波那契數(shù)列，即盧卡斯數(shù)列。
盧卡斯數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)比值的極限恰好也是二分之根號(hào)五減一，也是黃金比。所以說(shuō)，盧卡斯抓住了斐波那契數(shù)列的本質(zhì)。
3.十秒鐘計(jì)數(shù)：
（1）10個(gè)連續(xù)的斐波那契數(shù)的和 = 第7個(gè)數(shù)的11倍。
（1）前n項(xiàng)和 = 第 n + 2 項(xiàng) - 第 2 項(xiàng)（這是對(duì)于盧卡斯數(shù)列來(lái)說(shuō)，其實(shí)對(duì)于斐波那契數(shù)列也是適用的）。
4.楊輝三角中隱藏著斐波那契數(shù)列：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
......
過(guò)第一行的1向左下方作45度斜線，之后做直線的平行線，將每條直線所經(jīng)過(guò)的數(shù)加起來(lái)，即得一數(shù)列，1， 1， 2， 3， 5， 8，......
5.還有.一個(gè)奇妙的屬性：
從第二項(xiàng)開(kāi)始，每個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)之積多1；每個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的平方都比前后兩項(xiàng)的平方少1.
6.妙之繼續(xù)：
如果任意挑兩個(gè)數(shù)為起始，比如5， -2.4，然后兩項(xiàng)兩項(xiàng)地加下去，形成5， -2.4， 2.6， 0.2， 2.8， 3， 5.8， 8.8，14.6， 23.4，......，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，
（1）隨著數(shù)列的發(fā)展，前后兩相之比越來(lái)越接近黃金分割比，
（2）且某一項(xiàng)的平方與前后兩項(xiàng)之積的差值也交替相差某個(gè)值。
（3）從首項(xiàng)開(kāi)始，依次計(jì)算前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的比值，并精確到小數(shù)第四位，如果這一工作不斷繼續(xù)下去，這個(gè)比值將無(wú)限趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)位于1.6180 與1.6181之間能精確地用黃金數(shù)能表示出來(lái)。
7.數(shù)學(xué)中尋找斐波那契數(shù)列的足跡：
（1）排列組合
有一段樓梯，有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每一步只能跨一級(jí)或跨兩級(jí)，要登上第10級(jí)臺(tái)階，有幾種不同的走法？
這也是一個(gè)斐波那契數(shù)列：
登第一級(jí)臺(tái)階，有一種走法；
登第二級(jí)臺(tái)階，有兩種走法；
登第三級(jí)臺(tái)階，有三種走法；
登第四級(jí)臺(tái)階，有五種走法；
......
即1， 2， 3， 5， 8， 13，......而10級(jí)，就是89種走法。
（1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 33， 54， 89......）
（2）黃金橢圓
如果一個(gè)橢圓和圓的面積相等，那么這個(gè)橢圓就是黃金橢圓。
8.斐波那契數(shù)列的應(yīng)用：
數(shù)學(xué)游戲
一位魔術(shù)師拿著一塊邊長(zhǎng)為8英尺的正方形地毯，對(duì)他的地毯匠朋友說(shuō)：“請(qǐng)您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長(zhǎng)13英尺，寬5英尺的長(zhǎng)方形地毯?！边@位匠師對(duì)魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因?yàn)閮烧咧g面積相差達(dá)一平方英尺呢！
這真是不可思議的事！你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪兒去呢？
實(shí)際上后來(lái)縫成的地毯有條細(xì)縫，面積剛好就是一平方英尺。
9.三角形的三邊關(guān)系定理與斐波那契數(shù)列的一個(gè)聯(lián)系：
現(xiàn)有長(zhǎng)為144cm的鐵絲，要截成n小段（n > 2），每段的長(zhǎng)度不小于1厘米，如果其中任意3段都不能拼成三角形，則n的最大值為多少？
分析：
由于構(gòu)成三角形的條件是:兩邊之和大于第三邊；反之，如果邊之和不超過(guò)（即小于等于）第三邊，則不能構(gòu)成三角形。
截成的鐵絲最小為1，因此可以放兩個(gè)1，第三個(gè)是2，為了n盡可能大，要使剩下來(lái)的鐵絲盡量長(zhǎng)，因此，每一條線段都是前面相鄰兩段之和，依次為 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 35， 55，以上各數(shù)之和為143，與144差1，因此可以取最后一段為56，此時(shí)n最大為10.
經(jīng)過(guò)分析，我們發(fā)現(xiàn)，“每段的長(zhǎng)度的小于1”這個(gè)條件起到了控制全局的作用。正是這個(gè)最小數(shù)1產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列，如果把1換成其他數(shù)，遞推關(guān)系保留了，
但是這個(gè)數(shù)列消失了。這里，三角形的三邊關(guān)系定理與斐波那契數(shù)列發(fā)生了聯(lián)系。
在上面的問(wèn)題中，144 > 143，這個(gè)143就是前n項(xiàng)的和，我們把144超出143的部分加到最后一個(gè)數(shù)上去，如果加到其他數(shù)上，就有三條線段可以構(gòu)成三角形了。
（二）黃金分割比
1.黃金矩形：
一個(gè)矩形，從中減去一個(gè)最大的正方形，剩下的矩形的寬與長(zhǎng)之比與原來(lái)一樣，即剩下的矩形與原來(lái)相似。則稱具有這種長(zhǎng)寬之比的矩形為黃金矩形。黃金矩形可以按上述方法無(wú)限地分割下去。
2.黃金分割：
把任一線段分割成兩段，使 大段/全段 = 小段/大段， 這樣的分割叫做黃金分割。
這樣的比值經(jīng)過(guò)計(jì)算之后，就是黃金分割比（可以有兩個(gè)分割點(diǎn),并且關(guān)于終點(diǎn)對(duì)稱），
x^2 + x - 1 = 0
尺規(guī)作圖，做出黃金分割點(diǎn)
3.黃金連分?jǐn)?shù)：
這不是一個(gè)普通的分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)分母上有無(wú)窮多個(gè)“1”的繁分?jǐn)?shù)，通常稱這樣的分?jǐn)?shù)為連分?jǐn)?shù)。
上述連分?jǐn)?shù)可以看做是x = 1 / ( x + 1)中，把x的表達(dá)式反復(fù)代入等號(hào)右端所得。這一由1構(gòu)成的連分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)單的一個(gè)連分?jǐn)?shù)，它的值為2分之根號(hào)5減1。
4.華羅庚的優(yōu)選法（0.618法）：
（以下為復(fù)制內(nèi)容）
“優(yōu)選法”，即對(duì)某類單因素問(wèn)題，用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到“最佳點(diǎn)”的方法。
例如，煉鋼時(shí)要摻入某種化學(xué)元素加大鋼的強(qiáng)度，摻入多少最合適？假定已經(jīng)知道每噸鋼加入該化學(xué)元素的數(shù)量大約應(yīng)在 1000 克到2000 克之間，現(xiàn)求最佳加量，誤差不得超過(guò) 1 克。最“笨”的方法是分別加入 1001 克，1002 克，…，做 1 千次試驗(yàn)，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。
一種動(dòng)腦筋的辦法是二分法，取 1000 克與 2000 克的中點(diǎn) 1500克。再取進(jìn)一步二分法的中點(diǎn) 1250 克與 1750 克，分別做兩次試驗(yàn)。如果 1750 克處效果較差，就刪去 1750 克到 2000 克的一段，如果 1250克處效果較差，就刪去 1000 克到 1250 克的一段。再在剩下的一段中取中點(diǎn)做試驗(yàn)，比較效果決定下一次的取舍，這種“二分法”會(huì)不斷接近最好點(diǎn)，而且所用的試驗(yàn)次數(shù)與上法相比，大大減少。 表面上看來(lái)，似乎這就是最好的方法。
但華羅庚證明了，每次取中點(diǎn)的試驗(yàn)方法并不是最好的方法；每1次取試驗(yàn)區(qū)間的 0.618 處去做試驗(yàn)的方法，才是最好的，稱之為“優(yōu)選法”或“0.618 法”。 華羅庚證明了，這可以用較少的試驗(yàn)次數(shù)，較快地逼近最佳方案。
5.黃金分割點(diǎn)的再生性與折紙法：
根據(jù)黃金分割點(diǎn)的再生性，我們可以設(shè)計(jì)一種直觀的優(yōu)選法——“折紙法”。 仍以上邊“在鋼水中添加某種元素”的問(wèn)題為例。 用一個(gè)有刻度的紙條表達(dá) 1000 克——2000 克。在這紙條長(zhǎng)度的0.618 的地方劃一條線，在這條線所指示的刻度上做一次試驗(yàn)，也就是按 1618 克做第一次試驗(yàn)。 然后把紙條對(duì)折，前一條線落在下一層紙的地方，再劃一條線，這條線在 1382 克處，再按 1382 克做第二次試驗(yàn)。
按 1236 克做第三次試驗(yàn)，再和 1382 克的試驗(yàn)效果比較，如果1236 克的效果較差，我們就把 1236 克以外的短的一段紙條剪去。再對(duì)折剩下的紙條，找出第四次試驗(yàn)點(diǎn)是 1472 克。 按 1472 克做試驗(yàn)后，與 1382 克的效果比較，再剪去效果較差點(diǎn)以外的短的一段紙條，再對(duì)折尋找下一次試驗(yàn)點(diǎn)，一次比一次接近我們的需要，直到達(dá)到我們滿意的精確度。 注意，每次剪掉的都是效果較差點(diǎn)以外的短紙條，保留下的是效果較好的部分，而每次留下紙條的長(zhǎng)度是上次長(zhǎng)度的 0.618 倍。因此，紙條的長(zhǎng)度按 0.618 的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于 0。所以，“0.618 法”可以較快地找到滿意的點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)紙條
長(zhǎng)度已經(jīng)很小時(shí)，紙條上的任一個(gè)點(diǎn)都可以作為“滿意”的點(diǎn)了，因?yàn)樽顑?yōu)點(diǎn)就在紙條上，你取的點(diǎn)與最優(yōu)點(diǎn)的誤差一定小于紙條的長(zhǎng)。0.618 這個(gè)“黃金比”能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。
用導(dǎo)數(shù)的方法求極值是用連續(xù)的手段處理最優(yōu)化問(wèn)題，優(yōu)選法“0.618 法”則是用離散的手段處理最優(yōu)化問(wèn)題。
聯(lián)系客服
