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1、定理內(nèi)容：

文字形式：直角三角形的兩直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

幾何形式：如果直角三角形的直角邊分別為ａ、ｂ，斜邊為ｃ，那么

a²＋b²＝c²

2、相關(guān)知識(shí)鏈接：

直角三角形

1）我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊叫作勾，較長(zhǎng)的直角邊叫作股，斜邊叫作弦；

2）漢代數(shù)學(xué)家趙爽把勾股定理敘述成：勾股各自乘，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之即弦；

3）國(guó)外稱之為畢達(dá)哥拉斯定理；

4）也有人稱勾股定理為千古第一定理。

3、勾股定理的作用：

1）已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊長(zhǎng)；

2）知道一邊長(zhǎng)時(shí)，能夠確定直角三角形的其余兩個(gè)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系；

3）在證明含平方問(wèn)題時(shí)，有時(shí)就可以考慮構(gòu)造直角三角形幫助解決問(wèn)題。

4、勾股定理的各種表達(dá)式

    在

中，

，

A、

B、

C的對(duì)邊分別為a、b、c，則

，

，

，

，

，

。

 

5、定理證明及典型例題：

例1、已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊為a、b、c。求證：a²＋b²＝c²。

證明方法一：取四個(gè)與Ｒｔ△ABC全等的直角三角形，把它們拼成如圖所示的正方形。

如圖，正方形ABCD的面積 ＝ 4個(gè)直角三角形的面積 ＋ 正方形PQRS的面積

∴ ( a ＋ b )² ＝ 1/2 ab × 4 ＋ c²

a² ＋ 2ab ＋ b² ＝ 2ab ＋ c²

故 a² ＋ b² ＝c²

證明方法二：

圖1中，甲的面積 ＝ (大正方形面積) － ( 4個(gè)直角三角形面積)。

圖2中，乙和丙的面積和＝(大正方形面積)－( 4個(gè)直角三角形面積)。

因?yàn)閳D1和圖2的面積相等，

所以甲的面積＝乙的面積＋丙的面積

即：c² ＝ a² ＋ b² 

證明方法三：

四個(gè)直角三角形的面積和 ＋小正方形的面積 ＝大正方形的面積，

2ab ＋ ( a －b ) ² ＝ c²，

2ab ＋ a² － 2ab ＋ b² ＝ c²

故 a² ＋ b²＝c² 

證明方法四：

梯形面積 ＝ 三個(gè)直角三角形的面積和

1/2 × ( a ＋ b ) × ( a ＋ b ) ＝ 2 × 1/2 × a × b ＋ 1/2 × c × c

(a ＋ b )² ＝ 2ab ＋ c²

a ² ＋ 2ab ＋ b² ＝ 2ab ＋ c²

故 a² ＋ b²＝c²

例2、在Rt△ABC，∠C＝90°

⑴已知a＝b＝5，求c。

⑵已知a＝1，c＝2， 求b。

⑶已知c＝17，b＝8， 求a。

⑷已知a：b＝1：2，c＝5， 求a。

⑸已知b＝15，∠A＝30°，求a，c。

分析：⑴已知兩直角邊，求斜邊直接用勾股定理。⑵⑶已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊，用勾股定理的變形式。⑷⑸已知一邊和兩邊比，求未知邊。

解：由a² ＋ b²＝c²得，

（1）c²＝ 5² ＋ 5²＝50，   即：c＝

；

（2）1² ＋ b²＝2²，b²＝3，即：b＝

；

（3）a² ＋ 8²＝17² ，a²＝225，即：a＝15；

（4）由a：b＝1：2得，b＝2a，

則：a² ＋ (2a)²＝5²

即：a＝

；

（5）由∠A＝30°得，c＝2a，

則：a² ＋15²＝(2a)² ，

解得：a＝

，c＝2

。

例3、已知：如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)是6cm。⑴求等邊△ABC的邊AB上的高CD。⑵求S△ABC。

分析：等邊三角形的每邊上的高、中線和該邊所對(duì)的角的角平分線，三線合一。

解：（1）∵△ABC 是等邊三角形

CD⊥AB

∴CD平分AB

∵△ABC的邊長(zhǎng)是6cm

∴AD＝BD＝

AB＝3 cm

在直角三角形ACD中，

AD²＋CD²＝AC²

3²＋CD²＝6²

CD＝

（2）S_△ABC＝

AB·CD＝

×6×

＝3

 （cm²）

例4、飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到一個(gè)男孩頭頂正上方4000 米處，過(guò)了 20 秒，飛機(jī)距離這個(gè)男孩頭頂5000米，飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米？

分析：根據(jù)題意，可以先畫出符合題意的圖形。如圖，圖中△ABC的∠C＝90°，AC＝4000米，AB＝5000，米欲求飛機(jī)每小時(shí)飛行多少千米，就要知道20秒時(shí)間里飛行的路程，即圖中的CB的長(zhǎng)，由于△ABC的斜邊AB＝5000米，AC＝4000米，這樣BC就可以通過(guò)勾股定理得出，這里一定要注意單位的換算。

解：由勾股定理得

即 BC＝3千米

飛機(jī) 20秒飛行3 千米．那么它 l 小時(shí)飛行的距離為：

（千米／時(shí)）

答：飛機(jī)每小時(shí)飛行 540千米。

例5、如圖在

中，，，的平分線AD交BC于D，求證：。

證明：

，

平分

在

中

例6、如圖，在

中，于D，求CD的長(zhǎng)。

解：

是直角三角形

，由勾股定理有

又

答：CD的長(zhǎng)是24cm。

例7、在一棵樹(shù)的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹(shù)走到離樹(shù)20m處的池塘A處，另一只爬到樹(shù)頂后直接躍向池塘的A處，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，試問(wèn)這棵樹(shù)有多高？

分析：如圖所示，其中一只猴子從

共30m，另一只猴子從

也共走了30m。并且樹(shù)垂直于地面，于是此問(wèn)題可化歸到直角三角形解決。

解：如圖，設(shè)

，由題意知

中，

，解之得

答：這棵樹(shù)高15m。