一個(gè)例子，究竟能說明什么？
師：喜歡聽故事嗎？
生：喜歡。
師：那就給大家講一個(gè)“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽完故事，想說些什么嗎？
結(jié)合學(xué)生發(fā)言，教師板書：3+4=4+3。
師：觀察這一等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：我發(fā)現(xiàn)，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。
(教師板書這句話)
師：其他同學(xué)呢？(見沒有補(bǔ)充)老師的發(fā)現(xiàn)和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結(jié)論，你想說些什么？
生2：我覺得您(老師)給出的結(jié)論只代表了一個(gè)特例，但他(生1)給出的結(jié)論能代表許多情況。
生3：我也同意他(生2)的觀點(diǎn)，但我覺得單就黑板上的這一個(gè)式子，就得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個(gè)數(shù)相加的時(shí)候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點(diǎn)更準(zhǔn)確、更科學(xué)一些。
師：的確，僅憑一個(gè)特例就得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這樣的結(jié)論，似乎草率了點(diǎn)。但我們不妨把這一結(jié)論當(dāng)作一個(gè)猜想(教師隨即將生1給出的結(jié)論中的“。”改為“？”)。既然是猜想，那么我們還得——
生：驗(yàn)證。
驗(yàn)證猜想，需要怎樣的例子？
師：怎么驗(yàn)證呢？
生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？
師：怎樣的例子，能否具體說說？
生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數(shù)的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學(xué)生普遍認(rèn)可這一想法）
師：那你們覺得需要舉多少個(gè)這樣的例子呢？
生2：五、六個(gè)吧。
生3：至少要十個(gè)以上。
生4：我覺得應(yīng)該舉無數(shù)個(gè)例子才行。不然，你永遠(yuǎn)沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個(gè)加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點(diǎn)頭贊同）
生5：我反對(duì)！舉無數(shù)個(gè)例子是不可能的，那得舉到什么時(shí)候才好？如果每次驗(yàn)證都需要這樣的話，那我們永遠(yuǎn)都別想得到結(jié)論！
師：我個(gè)人贊同你（生5）的觀點(diǎn)，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點(diǎn)，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個(gè)例子，全班合起來那就多了。同時(shí)大家也留心一下，看能不能找到“交換加數(shù)位置和發(fā)生變化”的情況，如果有及時(shí)告訴大家行嗎？
學(xué)生一致贊同，隨后在作業(yè)紙上嘗試舉例。
師：正式交流前，老師想給大家展示同學(xué)們?cè)趧偛排e例過程中出現(xiàn)的兩種不同的情況。
（教師展示如下兩種情況：1．先寫出12＋23和23＋12，計(jì)算后，再在兩個(gè)算式之間添上“＝”。2．不計(jì)算，直接從左往右依次寫下“12＋23＝23＋12”。）
師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？
生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號(hào)寫上去了。這叫不負(fù)責(zé)任。（生笑）
生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個(gè)加數(shù)的位置和到底等不等，但這位同學(xué)只是照樣子寫了一個(gè)等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對(duì)的，不能驗(yàn)證我們的猜想。
（大家對(duì)生6、生7的發(fā)言表示贊同。）
師：哪些同學(xué)是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？
（幾位同學(xué)不好意思地舉起了手。）
師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點(diǎn)頭）為了驗(yàn)證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補(bǔ)救的機(jī)會(huì)，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。
師：其余同學(xué)，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？
生8：我舉了三個(gè)例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來看，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。
生9：我也舉了三個(gè)例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺得，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。
（注：事實(shí)上，選生8、生9進(jìn)行交流，是教師有意而為之。）
師：兩位同學(xué)舉的例子略有不同，一個(gè)全是一位數(shù)加一位數(shù)，另一個(gè)則有一位數(shù)加一位數(shù)、二位數(shù)加兩位數(shù)、三位數(shù)加三位數(shù)。比較而言，你更欣賞誰？
生10：我更欣賞第一位同學(xué)，他舉的例子很簡(jiǎn)單，一看就明白。
生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數(shù)加一位數(shù)，那么我們最多只能說，交換兩個(gè)一位數(shù)的位置和不變。至于加數(shù)是兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學(xué)的。
生12：我也更喜歡第二位同學(xué)的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應(yīng)該這樣，要考慮到方方面面。
（多數(shù)學(xué)生表示贊同。）
師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學(xué)的舉例，又給了你哪些新的啟迪？
教師出示作業(yè)紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。
生：我們?cè)谂e例時(shí)，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。
生：他還舉到了分?jǐn)?shù)的例子，讓我明白了，不但交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變，交換兩個(gè)分?jǐn)?shù)的位置和也不變。
師：沒錯(cuò)，因?yàn)槲覀儾恢皇且f明“交換兩個(gè)整數(shù)的位置和不變”，而是要說明，交換——
生：任意兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。
師：看來，舉例驗(yàn)證猜想，還有不少的學(xué)問?，F(xiàn)在，有了這么多例子，能得出“交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變”這個(gè)結(jié)論了嗎？（學(xué)生均表示認(rèn)同）有沒有誰舉例時(shí)發(fā)現(xiàn)了反面的例子，也就是交換兩個(gè)加數(shù)位置和變了？（學(xué)生搖頭）這樣看來，我們能驗(yàn)證剛才的猜想嗎？
生：能。
（教師重新將“？”改成“。”，并補(bǔ)充成為：“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。”）
師：回顧剛才的學(xué)習(xí)，除了得到這一結(jié)論外，你還有什么其它收獲？
生：我發(fā)現(xiàn)，只舉一、兩個(gè)例子，是沒法驗(yàn)證某個(gè)猜想的，應(yīng)該多舉一些例子才行。
生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。
師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進(jìn)而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗(yàn)證了猜想，得到了這一規(guī)律。該給這一規(guī)律起什么名稱呢？
（學(xué)生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）
師：在這一規(guī)律中，變化的是兩個(gè)加數(shù)的――（板書：變）
生：位置。
師：但不變的是――
生：它們的和。（板書：不變）
師：原來，“變”和“不變”有時(shí)也能這樣巧妙地結(jié)合在一起。
結(jié)論，是終點(diǎn)還是新的起點(diǎn)？
師：從個(gè)別特例中形成猜想，并舉例驗(yàn)證，是一種獲取結(jié)論的方法。但有時(shí)，從已有的結(jié)論中通過適當(dāng)變換、聯(lián)想，同樣可以形成新的猜想，進(jìn)而形成新的結(jié)論。比如（教師指讀剛才的結(jié)論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個(gè)加數(shù)的位置和不變。”那么，在——
生1：（似有所悟）減法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置，差會(huì)不會(huì)也不變呢？
（學(xué)生中隨即有人作出回應(yīng)，“不可能，差肯定會(huì)變。”）
師：不急于發(fā)表意見。這是他（生1）通過聯(lián)想給出的猜想。
（教師隨即板書：“猜想一：減法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置差不變？”）
生2：同樣，乘法中，交換兩個(gè)乘數(shù)的位置積會(huì)不會(huì)也不變？
（教師板書：“猜想二：乘法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置積不變？”）
生3：除法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置商會(huì)不變嗎？
（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個(gè)數(shù)的位置商不變？”）
師：通過聯(lián)想，同學(xué)們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價(jià)值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？
生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個(gè)加數(shù)”換成“三個(gè)加數(shù)”、“四個(gè)加數(shù)”或更多個(gè)加數(shù)，不知道和還會(huì)不會(huì)不變？
師：這是一個(gè)與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對(duì)“加法交換律”的認(rèn)識(shí)。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個(gè)加數(shù)的位置和不變？”)現(xiàn)在，同學(xué)們又有了不少新的猜想。這些猜想對(duì)嗎？又該如何去驗(yàn)證呢？選擇你最感興趣的一個(gè)，用合適的方法試著進(jìn)行驗(yàn)證。
（學(xué)生選擇猜想，舉例驗(yàn)證。教師參與，適當(dāng)時(shí)給予必要的指導(dǎo)。然后全班交流。）
師：哪些同學(xué)選擇了“猜想一”，又是怎樣驗(yàn)證的？
生5：我舉了兩個(gè)例子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認(rèn)為，減法中交換兩個(gè)數(shù)的位置差會(huì)變的，也就是減法中沒有交換律。
師：根據(jù)他舉的例子，你們覺得他得出的結(jié)論有道理嗎？
生：有。
師：但老師舉的例子中，交換兩數(shù)位置，差明明沒變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數(shù)的位置后，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著呢。
生6：我反對(duì)，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數(shù)和減數(shù)不一樣，那就不行了。
生7：我還有補(bǔ)充，我只舉了一個(gè)例子，2－1≠1－2，我就沒有繼續(xù)往下再舉例。
師：哪又是為什么呢？
生7：因?yàn)槲矣X得，只要有一個(gè)例子不符合猜想，那猜想肯就錯(cuò)了。
師：同學(xué)們?cè)趺蠢斫馑挠^點(diǎn)。
生8：（略。）
生9：我突然發(fā)現(xiàn)，要想說明某個(gè)猜想是對(duì)的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個(gè)猜想是錯(cuò)的，只要舉出一個(gè)不符合的例子就可以了。
師：瞧，多深刻的認(rèn)識(shí)！事實(shí)上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數(shù)學(xué)上我們就稱作――
生：反例。
（有略。）
師：關(guān)于其它幾個(gè)猜想，你們又有怎樣的發(fā)現(xiàn)？
生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發(fā)現(xiàn)乘法中交換兩數(shù)的位置積也不變。
師：能給大家說說你舉的例子嗎？
生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。
（另有數(shù)名同學(xué)交流自己舉的例子，都局限在整數(shù)范圍內(nèi)。）
師：那你們都得出了怎樣的結(jié)論？
生11：在乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變。
生12：我想補(bǔ)充。應(yīng)該是，在整數(shù)乘法中，交換兩數(shù)的位置積不變，這樣說更保險(xiǎn)一些。
師：你的思考很嚴(yán)密。在目前的學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，我們暫且先得出這樣的結(jié)論吧，等學(xué)完分?jǐn)?shù)乘法、小數(shù)乘法后，再補(bǔ)充舉些例子試試，到時(shí)候，我們?cè)賮硗晟七@一結(jié)論，你們看行嗎？
（對(duì)猜想三、四的討論略。）
隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生選擇完成教材中的部分習(xí)題（略），從正、反兩面鞏固對(duì)加法、乘法交換律的理解，并借助實(shí)際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯(lián)系。
怎樣的收獲更有價(jià)值？
師：通過今天的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？
生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。
生：我發(fā)現(xiàn)，有了猜想，還需要舉許多例子來驗(yàn)證，這樣得出的結(jié)論才準(zhǔn)確。
生：我還發(fā)現(xiàn)，只要能舉出一個(gè)反例，那我們就能肯定猜想是錯(cuò)誤的。
生：舉例驗(yàn)證時(shí)，例子應(yīng)盡可能多，而且，應(yīng)盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結(jié)論才更可靠。
師：只有一個(gè)例子，行嗎？
生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。
（作為補(bǔ)充，教師給學(xué)生介紹了如下故事：三位學(xué)者由倫敦去蘇格蘭參加會(huì)議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊。“真有意思，”天文學(xué)家說：“蘇格蘭的羊都是黑的。”“不對(duì)吧。”物理學(xué)家說，“我們只能得出這樣的結(jié)論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的。”數(shù)學(xué)家馬上接著說：“我覺得下面的結(jié)論可能更準(zhǔn)確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個(gè)地方，有至少一只羊，它是黑色的。”）
必要的拓展：讓結(jié)論增殖！
師：在本課即將結(jié)束的時(shí)候，依然有一些問題需要留給大家進(jìn)一步展開思考。
（教師出示如下算式：20－8－6○20－6－8 ; 60÷2÷3○60÷3÷2）
師：觀察這兩組算式，你發(fā)現(xiàn)什么變化了嗎？
生：我發(fā)現(xiàn)，第一組算式中，兩個(gè)減數(shù)交換了位置，第二組算式中，兩個(gè)除數(shù)也交換了位置。
師：交換兩個(gè)減數(shù)或除數(shù)，結(jié)果又會(huì)怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進(jìn)一步的舉例驗(yàn)證猜想并得出結(jié)論嗎？這些結(jié)論和我們今天得出的結(jié)論有沖突嗎，又該如何去認(rèn)識(shí)？
(周衛(wèi)東和賁友林兩位兄長就上述二文給予過指導(dǎo)，在此一并表示感謝。)
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