編者按：
浙江大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院教授、詩人蔡天新最新出版力作——《數(shù)學(xué)簡史》。《知識分子》在征得作者本人及出版社同意，擬先行分三篇文章連載該書的第八章：《抽象化：20世紀(jì)以來》。
今天推送《數(shù)學(xué)簡史》第八章第一節(jié)：《走向抽象化》。
撰文 | 蔡天新
責(zé)編 | 呂浩然
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正如從古典藝術(shù)到現(xiàn)代藝術(shù)的演變以詩歌為先導(dǎo)，科學(xué)革命的最早動力來源于數(shù)學(xué)，尤以幾何學(xué)的變革為標(biāo)志。它們的共同特點是，從模仿到機智，從形象到抽象。現(xiàn)代科學(xué)與現(xiàn)代藝術(shù)之所以能在同一個時段到達(dá)這一境界，我們相信這與現(xiàn)實世界的發(fā)展和人類思維方式的改變和進(jìn)化有關(guān)。無論如何，其困難程度可想而知。以非歐幾何學(xué)為例，它的出現(xiàn)與哥白尼的日心說、牛頓的萬有引力定律、達(dá)爾文（Darwin，1809—1882）的進(jìn)化論一樣，遇到了重重阻力，并因此在科學(xué)、哲學(xué)、宗教等領(lǐng)域產(chǎn)生了革命性的影響。
自從亞里士多德以來，在文學(xué)藝術(shù)以模仿說為準(zhǔn)則的同時，科學(xué)尤其是數(shù)學(xué)也一直被視作絕對真理的典范。古典數(shù)學(xué)在西方思想中擁有與宗教一樣神圣不可侵犯的地位，歐幾里得是廟堂中職位最高的“神父”。1804年去世的德國哲學(xué)家康德正是在歐幾里得幾何毋庸置疑的真理觀之上，建立起深奧難懂的哲學(xué)體系。可是，到了1830年前后，一向被視為關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的真理的數(shù)學(xué)，卻突然出現(xiàn)了幾種相互矛盾的幾何學(xué)，而且這些不同的幾何學(xué)似乎都是正確的。
事實上，幾千年來，非歐幾何一直在人們的眼皮子底下（現(xiàn)代主義詩人筆下的素材也早已存在）。但是，即使最偉大的數(shù)學(xué)家也沒有想到通過檢驗球的幾何特性去推翻平行公設(shè)。他們中的個別人曾經(jīng)嘗試通過四邊形來證實平行公設(shè)，而人類卻一直生活在一個堪稱非歐幾何模型的地球表面之上。這一點表明，人們是多么容易受慣性思維和傳統(tǒng)習(xí)俗的束縛。難怪功成名就的高斯遲遲不肯把他發(fā)現(xiàn)的非歐幾何學(xué)公之于眾，他怕惹來不必要的麻煩，以至于讓兩位俄羅斯和匈牙利的年輕人搶得先機。
?“數(shù)學(xué)王子”高斯
然而，歐幾里得幾何最終交出了它的絕對統(tǒng)治權(quán)，這意味著絕對真理統(tǒng)治時代的終結(jié)，正如愛倫·坡和波德萊爾的出現(xiàn)結(jié)束了浪漫派詩人的絕對統(tǒng)治一樣。但是，數(shù)學(xué)在喪失絕對真理和權(quán)威的同時，也獲得了自由發(fā)展的機遇。正如G.康托爾所說：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的充分自由。1830年以前，數(shù)學(xué)家的處境可以比作一位非常熱愛純藝術(shù)，卻又不得不接受為雜志繪制封面的藝術(shù)家。”無疑，非歐幾何學(xué)正是推動這種變革的首要因素，而它本身就是人類所能創(chuàng)造出來的最高智慧結(jié)晶。
非歐幾何學(xué)的誕生和代數(shù)學(xué)的革命，與微積分學(xué)產(chǎn)生的原因并不一致，不是出于科學(xué)和社會經(jīng)濟發(fā)展的需要，而是出于數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要。一般來說，在我們的日常生活中，歐幾里得幾何更適用；在宇宙空間或原子核世界，羅巴切夫斯基幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。
不過，空間和物理之間總存在難以厘清的關(guān)系，要確定某些物理空間適用歐幾里得幾何還是非歐幾何并不容易。因為只要在假定的空間和物理性質(zhì)方面做適當(dāng)?shù)难a充和改變，一個觀察結(jié)果就可以用多種方法解釋。盡管如此，隨著非歐幾何學(xué)的誕生和代數(shù)學(xué)的解放，數(shù)學(xué)已從科學(xué)中分離出來，正如科學(xué)已從哲學(xué)中分離出來，哲學(xué)已從神學(xué)中分離出來。數(shù)學(xué)家可以探索任何可能的問題和體系，而當(dāng)新的數(shù)學(xué)創(chuàng)造逐漸完善之后，它必將做出反饋，指點人類描繪宇宙的藍(lán)圖。
數(shù)是各類藝術(shù)最終的抽象表現(xiàn)
—— 瓦西里·康定斯基
19世紀(jì)幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)的變革，給20世紀(jì)的數(shù)學(xué)帶來飛速的發(fā)展和空前的繁榮?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)不再只是幾何、代數(shù)和分析這幾門傳統(tǒng)學(xué)科，而成為分支眾多、結(jié)構(gòu)龐雜的知識體系，并仍在不斷地發(fā)展和變化。數(shù)學(xué)的特點不只是嚴(yán)密的邏輯性，更添加了另外兩條，即高度的抽象性和廣泛的應(yīng)用性，并因此形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的兩個大的范圍，即純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。其中后者的一部分發(fā)展出計算機科學(xué)，撇開它的重要性，僅從為人類所提供的就業(yè)崗位來說，它就超過了所有其他數(shù)學(xué)分支的總和。
純粹數(shù)學(xué)最初主要受兩個因素推動，即集合論的滲透和公理化方法的應(yīng)用。集合論本來是由G·康托爾于19世紀(jì)后期創(chuàng)立的，曾遭到包括克羅內(nèi)克等在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家的反對，后來因其在數(shù)學(xué)中的作用越來越明顯才獲得承認(rèn)。集合最初是建立在數(shù)集或點集之上，不久它的定義范圍得以擴大，可以是任何元素的集合，如函數(shù)的集合、幾何圖形的集合等。這就使得集合論作為一種普遍的語言進(jìn)入數(shù)學(xué)的不同領(lǐng)域，引起了數(shù)學(xué)中積分、函數(shù)、空間等基本概念的深刻變化，同時刺激了本章將要談到的數(shù)理邏輯中直覺主義與形式主義的進(jìn)一步發(fā)展。
G·康托爾本是圣彼得堡出生的丹麥人，其猶太父母年輕時在俄國經(jīng)商，生意做到了德國漢堡、英國倫敦乃至美國紐約。他與凱萊一樣，可謂在外從商者子女成才的楷模，只不過G·康托爾家在他祖父母那一代就來到了圣彼得堡。11歲那年，G·康托爾隨父母遷居德國，在那里度過了一生的絕大部分時光。他在荷蘭阿姆斯特丹上了中學(xué)，后來又到瑞士蘇黎世和德國的幾所大學(xué)求學(xué)，逐漸喜歡上數(shù)學(xué)并決定以此為職業(yè)，盡管他在繪畫方面表現(xiàn)出的才能曾使全家為之驕傲。
?集合論的創(chuàng)始人康托爾
在G·康托爾的眼里，集合是一些對象的總體，不管它們是有限的還是無限的。當(dāng)運用“一一對應(yīng)”的方法去研究集合時，他得出了驚人的結(jié)果：有理數(shù)是可數(shù)的，即能與自然數(shù)一一對應(yīng)。他的證明非常有趣，
每行以大小次序排列，所有的正有理數(shù)均在其中，其中分母為i的在第i行，G.康托爾列出的排列順序如上圖所示。與此同時，他證明了全體實數(shù)是不可數(shù)的。
不僅如此，G·康托爾還給出了超越數(shù)存在性的非構(gòu)造性證明。事實上，G·康托爾證明了代數(shù)數(shù)和有理數(shù)一樣也是可數(shù)的，又證明了實數(shù)是不可數(shù)的。這樣一來，由于代數(shù)數(shù)和超越數(shù)的全體構(gòu)成了實數(shù)，超越數(shù)不僅存在而且數(shù)量比代數(shù)數(shù)要多得多。對超越數(shù)的研究后來成為20世紀(jì)數(shù)論研究的一道風(fēng)景。
可是，由于G·康托爾認(rèn)定無限是真實存在的，他受到同行長期的反對和攻擊，尤其是柏林大學(xué)的猶太教授克羅內(nèi)克（Kronecker，1823—1891），后者不僅是一位杰出的數(shù)學(xué)家和成功的商人，在科學(xué)論戰(zhàn)方面也是最有力的斗士。而G.康托爾卻軟弱無能，雖然真理在他那邊，以至于他畢生都在一所三流大學(xué)做教授。
G·康托爾為集合論引進(jìn)了基數(shù)的理論，稱全體整數(shù)的基數(shù)為阿列夫零，稱后面較大的基數(shù)為阿列夫1、阿列夫2，等等（阿列夫是希伯來字母，G.康托爾是猶太人）。也就是說，他對無窮做了分類。他還證明，全體實數(shù)集合的基數(shù)大于阿列夫零。
這就引出了所謂的“康托爾連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”：在阿列夫零與全體實數(shù)的基數(shù)之間不存在任何別的基數(shù)。20世紀(jì)初，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上發(fā)表著名的題為“數(shù)學(xué)問題”演講時，把這個假設(shè)或猜想排在留給20世紀(jì)的23個數(shù)學(xué)問題的第一位（超越數(shù)問題排在第7位）。
當(dāng)G·康托爾發(fā)現(xiàn)“數(shù)學(xué)的肌體”得了重病，古希臘的芝諾傳染給它的疾病還沒有得到診治時，他便不由自主地想醫(yī)治它?？墒牵麑o窮問題所做的普羅米修斯式的進(jìn)攻卻導(dǎo)致他自己精神崩潰，那時他才40歲。很久以后，他死于德國中部的一家精神病院。在希爾伯特發(fā)表演講的第二年，羅素也談了他的看法：
芝諾關(guān)心過三個問題：無窮小、無窮和連續(xù)。每一代最優(yōu)秀的智者都嘗試過解決這些問題，但是確切地說，他們什么也沒得到……魏爾斯特拉斯、戴德金和G.康托爾徹底解決了它們，他們的解答清楚得不再留下絲毫懷疑，這可能是這個時代所能夸耀的最偉大的成就……無窮小的問題是由魏爾斯特拉斯解決的，其他兩個問題的解決是從戴德金開始，最后由G.康托爾完成的。
公理化的方法早在古希臘時代就被歐幾里得發(fā)現(xiàn)了，并在其名著《幾何原本》中加以應(yīng)用。眾所周知，《幾何原本》共建立了5個公設(shè)和5個公理?？墒?，歐幾里得構(gòu)筑的公理體系并不完善。德國數(shù)學(xué)家希爾伯特重新定義了現(xiàn)代的公理化方法，他指出，“不論這些對象是點、線、面，還是桌子、椅子、啤酒杯，它們都可以成為這樣的幾何對象，對于它們而言，公理所表述的關(guān)系都成立?！?/p>
?剛果郵票上的希爾伯特
以點、線、面為例，歐幾里得給這些對象都賦予描述性的定義，而在希爾伯特眼里它們卻都是純粹抽象的對象，沒有特定的具體內(nèi)容。此外，希爾伯特還考察了各公理之間的相互關(guān)系，明確提出了對公理系統(tǒng)的基本邏輯要求，即相容性、獨立性和完備性。當(dāng)然，公理化只是一種方法，不像集合論有豐富的內(nèi)容。盡管如此，希爾伯特的公理化方法不僅使幾何學(xué)具備了嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，而且逐步滲透到數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域，成為綜合、提煉數(shù)學(xué)知識并推動具體數(shù)學(xué)研究的強有力的工具。
1861年，希爾伯特出生在東普魯士的哥尼斯堡郊外，如今屬于俄羅斯的版圖，周圍是波蘭、立陶宛和波羅的海，并早已更名為加里寧格勒。雖然在那座城市出生的最偉大的公民是哲學(xué)家康德（他的一生都在這座偏遠(yuǎn)的城市度過），可是希爾伯特卻與數(shù)學(xué)結(jié)下了不解之緣。
原來流經(jīng)市區(qū)的普萊格爾河分成兩支，河上共有7座橋，其中5座把河岸和河中的一座小島連接起來，于是產(chǎn)生了一個數(shù)學(xué)問題：假設(shè)一個人只能通過每座橋一次，能否把7座橋都走遍？這個看似簡單的問題后來成為拓?fù)鋵W(xué)的出發(fā)點，并被瑞士數(shù)學(xué)家歐拉解決了。
巧合的是，歐拉長期的通信對象、數(shù)學(xué)家哥德巴赫（Goldbach，1690—1764）也出生在哥尼斯堡，后者以提出一個著名的猜想（任何一個大于或等于6的偶數(shù)必可表示成兩個奇素數(shù)之和）聞名于世，與這個猜想最接近的結(jié)果來自中國數(shù)學(xué)家陳景潤（1966）。
?哥尼斯堡七橋游戲的抽象圖
不過，直接促使希爾伯特堅定地走上數(shù)學(xué)之路的卻是同城的比他小兩歲的赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski，1864—1909）。赫爾曼出生在俄國的亞力克索塔斯（今立陶宛的考納斯），8歲隨家人移居哥尼斯堡，與希爾伯爾家僅一河之隔。這位天才的猶太少年剛滿18歲就贏得了法蘭西科學(xué)院的數(shù)學(xué)大獎，比赫爾曼年長6歲的哥哥奧斯卡·閔可夫斯基（Oscar Minkowski，1858—1931）被稱為“胰島素之父”，奧斯卡發(fā)現(xiàn)了胰島素和糖尿病之間的關(guān)聯(lián)。
與赫爾曼·閔可夫斯基這樣一位曠世才俊為伍，希爾伯特的才華不僅沒有被埋沒，反而得到了磨煉和積淀，并促使他默默奮斗，打下了更為堅實的基礎(chǔ)。兩人（后成為師兄弟）的友誼持續(xù)了四分之一個世紀(jì)，從哥尼斯堡一直延伸到哥廷根。赫爾曼·閔可夫斯基后來因患急性闌尾炎英年早逝，希爾伯特則活到了80多歲，成就了一代大師的偉業(yè)。1900年，希爾伯特在巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上提出了23個數(shù)學(xué)問題，為20世紀(jì)的數(shù)學(xué)發(fā)展指明了方向。
集合論的觀點與公理化的方法在20世紀(jì)逐漸成為數(shù)學(xué)抽象化的范式，它們相互結(jié)合之后力量更強，把數(shù)學(xué)的發(fā)展引向更抽象的道路，推動了20世紀(jì)上半葉實變函數(shù)論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)和抽象代數(shù)這四大抽象數(shù)學(xué)分支的崛起，堪稱4朵抽象數(shù)學(xué)之花。
有意思的是，上一節(jié)提到的5位數(shù)學(xué)家（包括克羅內(nèi)克）都是德國人，德意志可能是最擅長抽象思維的民族之一。數(shù)學(xué)當(dāng)然是最抽象的科學(xué)分支了，無論在最抽象的藝術(shù)——音樂，還是最抽象的人文社會科學(xué)——哲學(xué)方面，德國也是人才輩出。
集合論的觀點首先引起了積分學(xué)的變革，從而推動了實變函數(shù)論的建立。19世紀(jì)末，分析的嚴(yán)格化迫使許多數(shù)學(xué)家認(rèn)真考慮所謂的“病態(tài)函數(shù)”，例如魏爾斯特拉斯定義的處處連續(xù)但處處不可微函數(shù)。又如，
這是由高斯的學(xué)生狄利克雷定義的，這個函數(shù)處處不連續(xù)。在此基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家們研究了如何把積分的概念推廣到更廣泛的函數(shù)類別中去。
?現(xiàn)代分析之父勒貝格
在這方面首先獲得成功的是法國數(shù)學(xué)家勒貝格（Lebesgue，1875—1941），他用集合論的方法定義了測度（勒貝格測度），作為原先“長度”概念的推廣，建立起所謂的“勒貝格積分”，從而把定積分的概念做了推廣。在此基礎(chǔ)上，他利用微分運算與積分運算的互逆性，重建了牛頓和萊布尼茨的微積分基本定理，從而形成了一個新的數(shù)學(xué)分支——實變函數(shù)論。同樣，這一新生事物也受到某些數(shù)學(xué)權(quán)威的斥責(zé)，勒貝格公布自己的研究結(jié)果以后差不多有10年時間找不到工作。今天，人們把勒貝格以前的分析學(xué)稱為“經(jīng)典分析”，而把他以后的分析稱為“現(xiàn)代分析”。
除了實變函數(shù)論以外，現(xiàn)代分析的另一個重要組成部分是泛函分析。“泛函”可以看成是“函數(shù)的函數(shù)”，這個詞由法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)馬（Hadamard，1865—1963，以率先證明數(shù)論中的素數(shù)定理聞名）引進(jìn)，我們在前面講變分法時已經(jīng)舉過例子了。不少數(shù)學(xué)家在泛函分析理論方面都有重要建樹，其中希爾伯特引進(jìn)了無窮實數(shù)組{a1,a2,…,an,…}組成的集合，這里必須是有限數(shù)。在定義“內(nèi)積”等概念和運算法則之后，他建立了第一個無限維空間，即所謂的“希爾伯特空間”。
10 年以后，波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫（Banach，1892—1945）又建立了更大的“賦范線性空間”（巴拿赫空間）概念，用“范數(shù)”替代內(nèi)積來定義距離和收斂性等，極大地拓展了泛函分析的研究領(lǐng)域，同時真正做到空間理論的抽象化。與此同時，函數(shù)概念也進(jìn)一步擴充和抽象化，最有代表性的便是廣義函數(shù)論的誕生，這方面我們僅舉一個例子，英國物理學(xué)家狄拉克（Dirac，1902—1984）定義了如下函數(shù)
這類函數(shù)雖然有悖傳統(tǒng)，但在物理學(xué)中卻十分常見。也正因為如此，泛函分析的觀點和方法后來被廣泛地應(yīng)用到其他科學(xué)甚至是工程技術(shù)領(lǐng)域中。
在集合論的觀點幫助建立實變函數(shù)論和泛函分析的同時，公理化方法也在向數(shù)學(xué)領(lǐng)域滲透，其中最有代表性的結(jié)果就是抽象代數(shù)的形成。自從伽羅華提出群的概念以后，群的類別就從有限群、離散群發(fā)展到了無限群、連續(xù)群。代數(shù)對象也在擴大，進(jìn)一步產(chǎn)生了其他代數(shù)系統(tǒng)，如環(huán)（ring）、域（field）、格（lattice）、理想（ideal）等。
此后，代數(shù)學(xué)研究的中心就轉(zhuǎn)移到了代數(shù)結(jié)構(gòu)上，這種結(jié)構(gòu)由集合元素之間的若干二元關(guān)系合成運算組成，具有以下特點：一是集合的元素必須是抽象的，二是運算法則是通過公理來規(guī)定的。
?抽象代數(shù)奠基人諾特
一般認(rèn)為，德國女?dāng)?shù)學(xué)家諾特（Noether，1882—1935）在1921年發(fā)表的《環(huán)中的理想論》是抽象代數(shù)的開端，她是這個領(lǐng)域最有建樹的數(shù)學(xué)家之一，她的弟子也遍布世界。諾特被視為迄今為止最偉大的女?dāng)?shù)學(xué)家，也就是說，超過了在她之前的4位著名的女?dāng)?shù)學(xué)家，即古希臘的希帕蒂婭、近代意大利的阿涅西（Agnesi，1718—1799）、法國的熱爾曼（Germain，1776—1831）和俄國的柯瓦列夫斯卡婭。盡管如此，由于性別歧視，諾特在哥廷根大學(xué)很長時間都當(dāng)不上講師，到納粹政府上臺時，年過半百的她還不是教授，到美國以后也只是在女子學(xué)院任教授。
?阿涅西箕舌線
最后，我們要談的是拓?fù)鋵W(xué)，德裔美國數(shù)學(xué)家外爾（Weyl，1885—1955）說過，拓?fù)涮焓购痛鷶?shù)魔鬼為占有每一個數(shù)學(xué)地盤而展開了壯觀的斗爭。由此可見這兩門學(xué)科的重要性，相比而言，拓?fù)鋵W(xué)有比抽象代數(shù)更早的淵源和更有趣的例子，比如哥尼斯堡七橋問題（1736），地圖四色問題（1852），以及莫比烏斯帶（1858）。拓?fù)鋵W(xué)研究幾何圖形的連續(xù)性質(zhì)，即在連續(xù)變形（拉伸、扭曲但不能割斷和黏合）的情況下保持不變的性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)這個詞是由高斯的一個學(xué)生引進(jìn)的（1847），其希臘文原意是“位置的學(xué)問”。它雖然最初屬于幾何
學(xué)，但其兩大分支卻分別是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和點集拓?fù)鋵W(xué)。
點集拓?fù)鋵W(xué)又名一般拓?fù)鋵W(xué)，它把幾何圖形看作點的集合，同時把整個集合看作一個空間。數(shù)學(xué)家們從“鄰域”這個概念出發(fā)，引進(jìn)連續(xù)、連通、維數(shù)等一系列概念，再加上緊致性、可分性和連通性等性質(zhì)，建立了這門學(xué)科。它也有一些有趣的實例，比如，在地球的北極每一個方向都是朝南的，這本是經(jīng)緯度的一種缺陷；地球上任何時刻總是至少有一個地方（臺風(fēng)中心）沒有風(fēng)。這兩個完全不同的事實對應(yīng)于拓?fù)鋵W(xué)中的“不動點定理”：n維單形到它自身的連續(xù)變換，至少有一個不動點。
?征服者而非殖民者：龐加萊
?俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼， 因證明龐加萊猜想而獲得 2006 年的菲爾茲獎
代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是法國數(shù)學(xué)家龐加萊（Poincaré，1854—1912），正如墻壁用磚砌成，他將幾何圖形分割成有限個相互連接的小圖形。他定義了所謂的高維流形、同胚和同調(diào)，后來的數(shù)學(xué)家又發(fā)展了同調(diào)論和同倫論，并把拓?fù)鋯栴}轉(zhuǎn)化為抽象代數(shù)問題。這個領(lǐng)域最早的一個著名定理是由笛卡兒（1635）提出后又被歐拉（1752）發(fā)現(xiàn)的，即任何沒有洞的多面體的頂點數(shù)加上面數(shù)再減去棱數(shù)等于2。還有一個“龐加萊猜想”（1904），即任意一個三維的單連通閉流形必與一個三維球面同胚。曾有人懸賞100萬美元以求證明這個猜想。
1854年，即黎曼拓展非歐幾何學(xué)的那一年，龐加萊出生在法國東北部城市南錫的一個顯赫家族。龐加萊有著超常的智力，卻不幸在5歲時患上白喉癥，從此變得體弱多病，不能流暢地用話語表達(dá)自己的思想。但他依然喜歡各種游戲，尤其是跳舞，他讀書的速度也十分驚人，能準(zhǔn)確持久地記住讀過的內(nèi)容，還擅長文學(xué)、歷史、地理、自然史等。他對數(shù)學(xué)的興趣產(chǎn)生得比較晚，大約是在15歲，不過很快就顯露出非凡的才華。19歲那年，龐加萊進(jìn)入巴黎綜合理工學(xué)院。
龐加萊從未在一個研究領(lǐng)域做過久的逗留，一位同行戲稱他是“征服者，而不是殖民者”。從某種意義上講，整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都是龐加萊的“殖民地”（數(shù)學(xué)領(lǐng)域以外的貢獻(xiàn)也難以計數(shù)），但他對拓?fù)鋵W(xué)的貢獻(xiàn)無疑最為重要。龐加萊猜想的證明及其推廣，即四維和四維以上空間的情形使得三位數(shù)學(xué)家前后各相隔20年分別獲得菲爾茲獎（1966、1986、2006），這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。殊為難得的是，龐加萊還是天才的數(shù)學(xué)普及者，其平裝本的通俗讀物被譯成多種文字，在不同的國度和階層得到廣泛傳播，就如同后來的理論物理學(xué)家、《時間簡史》的作者史蒂芬·霍金（Stephen Hawking，1942—）那樣。
不同的是，龐加萊還是一位哲學(xué)家，他的著作《科學(xué)與假設(shè)》《科學(xué)的價值》《科學(xué)與方法》均產(chǎn)生了巨大影響。他是唯心主義哲學(xué)的約定論的代表人物，認(rèn)為公理可以在一切可能的約定中進(jìn)行選擇，但需以實驗事實為依據(jù)，并避開任何矛盾。同時，他反對無窮集合的概念，反對把自然數(shù)歸結(jié)為集合論，認(rèn)為數(shù)學(xué)最基本的直觀概念是自然數(shù)，這又使他成為直覺主義的先驅(qū)者之一。龐加萊相信藝術(shù)家和科學(xué)家之間在創(chuàng)造力方面的共性，相信“只有通過科學(xué)與藝術(shù)，文明才能體現(xiàn)出價值”。
四維空間是非歐幾何學(xué)的一種特殊形式，當(dāng)人們?nèi)栽谵q論非歐幾何學(xué)以及違反歐幾里得第五公設(shè)的哲學(xué)后果時，龐加萊是這樣引導(dǎo)我們想象四維世界的，“外在物體的形象被描繪在視網(wǎng)膜上，視網(wǎng)膜上的是一幅二維圖，而物體的形象是一幅透視圖……”按照他的解釋，既然二維面上的形象是從三維面來的投影，那么三維面上的形象可以看作從四維面來的投影。龐加萊建議，可以將第四維描述成畫布上接連出現(xiàn)的不同透視圖。依照西班牙畫家畢加索的視覺天賦，他認(rèn)為不同的透視圖應(yīng)該在時間的同時性里展示出來，于是就有了《阿維尼翁的少女》（1907）——立體主義的開山之作。
?畢加索的《阿維尼翁的少女》
值得一提的是，在《科學(xué)與假設(shè)》（1902）的眾多讀者里，有一位叫普蘭斯的巴黎保險精算師，在立體主義誕生前夕，他是西班牙畫家畢加索的“洗衣舫”藝術(shù)家圈子的成員。據(jù)說在一段時間里，他的情人和畢加索的情人是同一個。正是在普蘭斯的推介下，新幾何學(xué)成了“充滿熱情地探索著的”新藝術(shù)語言。
畢加索的好友、立體主義的闡釋者阿波利奈爾總結(jié)道，“第四維不是一個數(shù)學(xué)概念，而是一個隱喻，它包含著新美術(shù)的種子。”在他看來，“立體主義用一個無限的宇宙取代了一個以人為中心的有限宇宙?！彼€指出，“幾何圖形是繪畫必不可少的，幾何學(xué)對于造型藝術(shù)就如同語法對于寫作那樣重要?！被蛟S我們可以這樣認(rèn)為，立體主義是文藝復(fù)興以來，繪畫和幾何又一次美妙的邂逅。
“抽象”（abstract）這個詞作為名詞在西文里的意思是摘要，它常常被置于一篇數(shù)學(xué)論文的開頭，在標(biāo)題、作者姓名和單位下面。在藝術(shù)領(lǐng)域，它可以被理解成從自然里提取出來的什么東西。正如集合論這類抽象數(shù)學(xué)的出現(xiàn)曾經(jīng)引起一番爭議，長期以來抽象這個詞用在藝術(shù)上多少有些貶義，也讓人爭論不休。自從亞里士多德以來，繪畫和雕塑一直被當(dāng)成模仿的藝術(shù)，對此我們在第七章已有過較為詳細(xì)的論述。
直到19世紀(jì)中葉，藝術(shù)家才開始傾向于一種新的藝術(shù)觀念，即繪畫是獨立存在的一個實體，而并非對別的什么東西的模仿。后來漸漸產(chǎn)生了這樣一種藝術(shù)：主題變成了附屬的或彎曲變形了的東西，以便強調(diào)造型或表現(xiàn)手段，那是一種不以表現(xiàn)自然為目的的藝術(shù)。塞尚可謂是這種藝術(shù)的先驅(qū)，他發(fā)現(xiàn)眼睛是連續(xù)而同時地觀看一個景色，他對于自然、人以及繪畫的觀念，全都展現(xiàn)在對他的故鄉(xiāng)普魯旺斯地區(qū)的山川、靜物和肖像的繪制中。對塞尚來說，抽象主要是一種方法，目的在于重建獨立繪畫的自然景致。
?塞尚自畫像
?塞尚的《玩紙牌者》
塞尚（Cézanne，1839—1906）被譽為“現(xiàn)代藝術(shù)之父”，在他的引領(lǐng)下，19世紀(jì)末和20世紀(jì)初的藝術(shù)家們掀起了一波波現(xiàn)代主義的浪潮，典型的有以法國畫家馬蒂斯（Matisse，1869—1954）為代表的野獸派和以西班牙畫家畢加索為代表的立體主義。可是，這些畫家的作品里仍有一點兒可以辨認(rèn)的主題，因此它們只能被稱為“抽象的”或“半抽象的”藝術(shù)。至此，抽象只是一個泛泛的形容詞，還不是一個專有名詞。
真正與“抽象代數(shù)”這個數(shù)學(xué)專業(yè)詞匯相對應(yīng)的應(yīng)該是“抽象藝術(shù)”，它專指那些沒有任何可以辨認(rèn)主題的繪畫。俄國畫家康定斯基（Kandinsky，1866—1944）被視為第一個“抽象畫家”。18世紀(jì)以來，彼得大帝和葉卡捷琳娜女皇統(tǒng)治的俄國，在長期聘請像伯努利兄弟和歐拉這樣的大科學(xué)家的同時，也開啟了一種贊助藝術(shù)的傳統(tǒng)，并與西方不斷進(jìn)行著密切的接觸，俄國人經(jīng)常到法國、意大利和德國等地旅行。進(jìn)入19世紀(jì)后，俄國的文學(xué)和音樂達(dá)到了很高的水平，戲劇和芭蕾也取得了長足的進(jìn)步。
?凡·高的《星空》 與康定斯基的《穆爾諾的風(fēng)景》
1866年，正好是黎曼去世的那一年，康定斯基出生在莫斯科，幾個月以后，波德萊爾也在巴黎去世了?？刀ㄋ够易迨莵碜晕鞑麃喌牟枞~商人，有蒙古貴族的血統(tǒng)，據(jù)說康定斯基的祖母是一位中國的蒙古族公主，他的母親則是地地道道的莫斯科人?？刀ㄋ够讜r隨父母和姨母去意大利旅行，不久遷居黑海之濱的敖德薩（今屬烏克蘭）。父母離異后他隨姨母生活，在敖德薩上完中學(xué)，后來成為鋼琴與大提琴的演奏者和業(yè)余畫家。
?康定斯基的作品
20歲那年，康定斯基進(jìn)入莫斯科大學(xué)攻讀法律和經(jīng)濟學(xué)，直至取得博士學(xué)位。其間他仍對繪畫保持著極大的興趣，并在一次去北部的沃洛格達(dá)州進(jìn)行與法律有關(guān)的種族史調(diào)查時，對當(dāng)?shù)孛耖g繪畫中色彩艷麗的非寫實風(fēng)格產(chǎn)生了強烈的興趣。1896年，30歲的康定斯基立志成為畫家，他毅然放棄了莫斯科大學(xué)的助理教授職位，前往德國南方進(jìn)入慕尼黑的一所美術(shù)學(xué)院學(xué)習(xí)，4年后畢業(yè)。同學(xué)中有比他年輕13歲的瑞士人克利（Klee，1879—1940），后來他倆攜手成為20世紀(jì)的繪畫大師。
正是在慕尼黑期間，康定斯基關(guān)于非客觀物體的或沒有實際主題的繪畫風(fēng)格開始形成。經(jīng)過一番探索，他找到并確立了自己的藝術(shù)目標(biāo)：通過線條和色彩、空間和運動，無須參照可見的自然物體，來表現(xiàn)一種精神上的反應(yīng)或決斷。早年的法學(xué)熏陶也幫助康定斯基成為畫家中理論水平最高的人，在《論藝術(shù)的精神》一書里，他談到從法國印象派畫家馬奈（Manet，1832—1883）的作品里第一次察覺到物體的非物質(zhì)化問題，并不斷地吸引著他。自然科學(xué)中的革命性進(jìn)展，也粉碎了他對可觸摸感知的物理世界秉持的信念。
?《論藝術(shù)的精神》德文版
從康定斯基身上我們可以感覺到一種神秘主義的內(nèi)在力量，這是一種精神產(chǎn)品而不是外部景象或手工技巧的產(chǎn)品。他這樣寫道：“色彩和形式的和諧，從嚴(yán)格意義上講必須以觸及人類靈魂的原則為唯一基礎(chǔ)?！痹谒心瓿霭娴摹犊刀ㄋ够貞涗洝防?，有這樣的一段描述：
最初給我留下深刻印象的色彩是明亮的翠綠、白、洋紅、黑，以及褐黃。這些回憶可以追溯到我三歲的時光。我曾在各種不同的物體上觀察它們，如今在我眼中那些物體的形狀已經(jīng)遠(yuǎn)不如色彩那么清晰了。
隨著年齡的增長，康定斯基的作品開始向抽象幾何的風(fēng)格演變，以圓和三角形為主要形式，這從其作品的名字也可以看出來，如《幾個圓圈》《一個中心》《黃紅藍(lán)》《不同的聲音》。
?從具象到抽象：蒙德里安的《紅樹》（上）《灰樹》（中）和《紅、黃、藍(lán)的構(gòu)成》（下）
在他晚年出版的理論著作《康定斯基論點線面》中，他甚至分析了圖畫的抽象因素的想象效果，認(rèn)為橫線表冷、豎線表熱?？刀ㄋ够赡軟]有一幅特別讓人印象深刻的代表作，但是任何一幅作品都具有鮮明的形象和艷麗的色彩，會讓你立刻辨認(rèn)出，并帶給你愉悅感或引人深思。這一點似乎可以說明，抽象藝術(shù)（就像非歐幾何學(xué)）有著更廣闊的表現(xiàn)空間。
?馬列維奇的作品
?波洛克的行動繪畫
除了康定斯基以外，抽象藝術(shù)的畫家代表至少還有法國的馬列維奇（Malevich，1878—1935）、荷蘭的蒙德里安（Mondrian，1872—1944）和美國的波洛克（Pollock，1912—1956）。馬列維奇把抽象帶到一種最后的幾何簡化圖形中，例如，在一張白方塊中畫上一個斜的黑邊方塊。馬列維奇與康定斯基代表了抽象藝術(shù)的兩個方向，他和同時代的蒙德里安都直接從立體主義那里得到啟示；而波洛克則采用了超現(xiàn)實主義的無意識行動技術(shù)，創(chuàng)造了在畫布甚至汽車發(fā)動機蓋上滴落與傾倒顏料的技術(shù)，他和從荷蘭偷渡到美國的庫寧（Kooning，1904—1997）是最早揚名世界的新大陸藝術(shù)家。
