能量守恒定律和不確定度關(guān)系在量子力學(xué)中占有重要地位。能量守恒定律規(guī)定了系統(tǒng)的總能量守恒，它的值就是完全確定的，但是能量-時(shí)間不確定度關(guān)系又說能量是不確定的，兩者不是互相矛盾嗎？這的確是一個(gè)很基本的問題，不僅是能量守恒定律，而且動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律也會(huì)受到同樣的質(zhì)疑。
經(jīng)典力學(xué)里，在測(cè)量之前，能量、動(dòng)量及角動(dòng)量都已經(jīng)被確定，測(cè)量只是把它們的值“發(fā)現(xiàn)出來”而已，每次測(cè)量結(jié)果都必然滿足能量守恒定律、動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律。至于量子力學(xué)中，測(cè)量之前它們的值未必已經(jīng)確定，如果波函數(shù)是幾個(gè)本征態(tài)的疊加態(tài)，測(cè)量結(jié)果就會(huì)從它們相應(yīng)的幾個(gè)本征值里隨機(jī)地選取一個(gè)。從理論上已經(jīng)可以嚴(yán)格證明，系統(tǒng)中全部粒子總能量的平均值是守恒的。但是平均值只有在多次測(cè)量之后才能得到，每次測(cè)量結(jié)果必然是在平均值上下浮動(dòng)的，因此每次驗(yàn)證量子力學(xué)中的能量守恒律只能夠達(dá)到“不確定度關(guān)系”所規(guī)定的精確度。對(duì)于動(dòng)量守恒定律和角動(dòng)量守恒定律，我們可以有完全類似的結(jié)論。
例1，能量守恒定律。在勢(shì)阱中的一個(gè)粒子，測(cè)量前處于若干能量本征態(tài)（例如基態(tài)、第一激發(fā)態(tài)和第二激發(fā)態(tài)這三個(gè)本征態(tài)）的疊加態(tài)，量子力學(xué)可以預(yù)言能量的平均值。測(cè)量粒子的能量可能得到不同的結(jié)果，可以是基態(tài)能量，也可以是第一激發(fā)態(tài)能量，或者第二激發(fā)態(tài)能量。這些不同的結(jié)果都不是能量的平均值，但是它們都在能量的平均值上下浮動(dòng)，其浮動(dòng)范圍則局限于“能量-時(shí)間不確定關(guān)系”所規(guī)定的精確度之內(nèi)。如果對(duì)于這樣的一個(gè)系綜的每個(gè)系統(tǒng)測(cè)量，從多次測(cè)量的結(jié)果可以得到能量的平均值，它是滿足能量守恒定律的。
例2，動(dòng)量守恒定律。繼續(xù)考慮勢(shì)阱的例子，假定在測(cè)量它的能量之后，發(fā)現(xiàn)它處于基態(tài)?；鶓B(tài)不是動(dòng)量算符的本征態(tài)，對(duì)許多這樣的系統(tǒng)測(cè)量動(dòng)量，將會(huì)得到不同的數(shù)值，因此每次測(cè)量動(dòng)量不是嚴(yán)格守恒的，測(cè)量結(jié)果將會(huì)在平均值上下浮動(dòng)。如果測(cè)量足夠多的系統(tǒng)，測(cè)量得到的動(dòng)量平均值滿足動(dòng)量守恒定律?？梢?，在這個(gè)處于基態(tài)的系統(tǒng)中，動(dòng)量守恒定律只在坐標(biāo)-動(dòng)量不確定度關(guān)系的精確度范圍之內(nèi)成立。
例3，角動(dòng)量守恒定律。考慮在EPR實(shí)驗(yàn)中測(cè)量電子自旋。在糾纏態(tài)電子對(duì)產(chǎn)生的時(shí)候，兩個(gè)電子之間的關(guān)聯(lián)就受到總角動(dòng)量守恒定律的約束。沿某一方向（垂直于傳播方向）測(cè)量第一個(gè)電子的自旋，都會(huì)使得另一個(gè)電子的自旋同時(shí)改變，其結(jié)果一定是滿足角動(dòng)量守恒定律的本征態(tài)。這是對(duì)糾纏態(tài)的第一次測(cè)量。這一次測(cè)量之后，兩個(gè)電子就不再處于糾纏態(tài)。如果又測(cè)量了第二個(gè)電子沿另一方向的自旋，那么該電子自旋改變了，但是第一個(gè)電子的自旋不變。所以測(cè)量的結(jié)果僅僅在“廣義的不確定度關(guān)系”的范圍內(nèi)滿足守恒定律。當(dāng)然，對(duì)于一個(gè)系綜里多個(gè)系統(tǒng)測(cè)量的平均值滿足守恒定律[1]。
朗道在解釋能量-時(shí)間不確定度關(guān)系時(shí)說[2]：“通過兩次測(cè)量來驗(yàn)證量子力學(xué)中的能量守恒律只有?/Δt數(shù)量級(jí)的精確度，其中的Δt為兩次測(cè)量之間的時(shí)間間隔。”這就是說，量子力學(xué)中實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證能量守恒定律，其精確度受到海森伯不確定度關(guān)系的限制。
在1923年，康普頓效應(yīng)剛剛被發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，實(shí)驗(yàn)還比較粗糙，無法觀察單個(gè)光子與電子的相互作用，因此測(cè)量結(jié)果只在平均意義上證實(shí)了能量動(dòng)量守恒定律。當(dāng)時(shí)玻爾試圖用類似經(jīng)典的理論解釋光被電子散射，沒有把康普頓效應(yīng)看作“光子和電子的碰撞”，認(rèn)為能量動(dòng)量守恒定律只在統(tǒng)計(jì)平均意義上成立，在單一的過程中則可以違背[3]。玻爾解釋康普頓效應(yīng)的時(shí)候沒有用到“不確定度關(guān)系”。不久以后的實(shí)驗(yàn)揭示了單個(gè)電子的反沖動(dòng)能與散射光的角度之間的定量關(guān)聯(lián)，玻爾在1925年放棄了自己的觀點(diǎn)。
結(jié)論是，在量子力學(xué)實(shí)驗(yàn)中驗(yàn)證守恒定律，只能在不確定度關(guān)系的精確度之內(nèi)實(shí)現(xiàn)。盡管單次測(cè)量的結(jié)果可能違背守恒定律，但是對(duì)大量系統(tǒng)測(cè)量結(jié)果的統(tǒng)計(jì)平均，總是滿足守恒定律的。量子力學(xué)沒有否定守恒定律，但是界定了驗(yàn)證守恒定律可以達(dá)到的精確度。
[1] 丁鄂江，量子力學(xué)的奧秘和困惑，北京：科學(xué)出版社，2019。
[2] 朗道，栗弗席茨，量子力學(xué)-非相對(duì)論理論，北京：人民教育出版社，1980。
[3] Bohr, N., Kramers, H. A. and Slater, J. C.(1924) “LXXVI. The quantum theory of radiation”, Philosophical Magazine Series 6,47: 281, 785 — 802.
聯(lián)系客服
