離散時間的Fourier變換(DTFT)是對離散信號的Fourier變換，其頻譜是連續(xù)的。但實際上，我們在處理數(shù)字信號的時候，其頻譜也通常需要離散。例如，我們做離散信號x(n)的傅里葉變換，你怎么用計算機來實現(xiàn)？公式是：
你要用計算機實現(xiàn)，必須將連續(xù)的頻率也離散吧，需要選擇一個離散的頻率間隔w0：
如果用Matlab編程序，應該是：
w0=0.5*2*pi; %設置離散頻率間隔
N=500； %頻率從0到250Hz；
for k=1:N
tp=0;
for n=1: length(x)
tp=tp+x(n)*exp(-j*n*k*Ts*w0);
end
X(k)=tp;
end
現(xiàn)在的問題是，頻率離散的間隔w0取多少合適啊？取小點，保險而且精確，但是計算量太大了。取大了，會不會將其頻譜變形導致其失真?。恳簿褪钦f，頻率離散的時候，離散的間隔最大是多少其頻譜的信息不丟失？是不是聽著比較耳熟啊，沒錯，這是頻率采樣定理。也就是說頻率采樣和時間采樣一樣都是有講究的。時間采樣定理說，信號必須帶限于[-pi. pi]，那么頻率采樣定理呢？
我們現(xiàn)在需要把離散的信號變換為離散的頻譜，怎么離散，怎么辦？讓我們來思考一下：離散信號的頻譜是連續(xù)的，連續(xù)信號的頻譜是離散的，那么離散且連續(xù)的頻譜應該是什么樣子的？例如有這樣的一個離散的周期信號，其最小正周期為N，如圖所示：
這是一個周期函數(shù)，其周期為N*Ts（Ts為采樣頻率），那么其頻譜應該是離散的，即頻譜是基頻的整數(shù)倍。基頻w0=2*pi/(N*Ts)，在證書次諧波處，其頻譜就是周期函數(shù)的傅里葉系數(shù)：
通過上式我們可以看出，當頻率離散的時候，等價于時域內信號的周期延拓。因此，同樣道理，要想頻率離散后信號不失真，要求信號必須是時限的。如果信號時限于[0,N]，那么離散頻率的間隔必須小于等于2*pi/N，這稱為頻率采樣定理。上式又稱為離散的Fourier變換（DFT）。
由此可見，離散傅里葉變換（DFT）實際上是時限信號的周期延拓的頻譜?？墒谴蠹蚁胂?，這里面是不是有什么不對頭？時域采樣的時候，要求信號是帶限的，可是頻域采樣的時候又要求信號是時限的，有什么信號既是時限又是帶限的嗎？沒有啊，測不準原理說，世界上沒那么多好事，時間窗和頻率窗的乘積不小于1/2。這又怎么解釋呢？實際上，我們在離散過程中，不可能不造成損失，所謂沒有信息的損失不過是一種近似而已。更深層次的理解可以參考I.Daubechies 著的《ten lectures on wavelets》。
大家觀察離散傅里葉變換，這是一個二維的疊加，n、k兩個整數(shù)變量。疊加的內容是x(n)和exp(-j2*pi*k *n/N)。隨著k和n的變化，實際上這個因子在不斷地重復。FFT就是觀察到這個特點后構造的DFT的快速算法。
當然無論是DTFT還是DFT，都對信號有較高的要求，即要求離散的信號是絕對值可和的：
當然大多數(shù)工程中的實際信號并不滿足這個條件，為了拓展離散傅里葉變換的范圍，借鑒Laplace變換，設計了Z變換：將信號加上一個衰減因子，然后再進行Fourier變換
同樣道理，不僅拓展了Fourier變換的范圍，同時，可以根據(jù)令Z變換有意義的r的取值范圍（收斂域）來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。即如果收斂域的邊界r>0, 即1>|Z|>exp(-r)，即收斂域包含單位圓，則說明，r必須為正，即必須給信號加上收斂因子后，傅里葉變換才有意義，這說明信號本身是發(fā)散的。但如果r邊界為負，即收斂域|z|>exp(-r)>1，則說明把原信號放大了還收斂，說明信號本身就是收斂的。
由此可見，聯(lián)系信號的fourier變換、laplace變換，實際上都是一回事，他們的目的都是為了能夠方便的分析和表征系統(tǒng)，只不過，Laplace變換拓展了fourier變換的范圍，并增加了一個功能，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。離散系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)之間的紐帶就是香農(nóng)采樣定理，不難證明離散系統(tǒng)的頻譜是其采樣的連續(xù)系統(tǒng)頻譜的周期延拓，Z變換是為了拓展離散傅里葉變換的范圍，并能判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。
有了上述這些變換，我們就可以用系統(tǒng)的沖擊響應的Laplace變換來表征一個系統(tǒng)，這就是傳說中的傳遞函數(shù)。當然，我們也可以用離散系統(tǒng)的單位脈沖響應的z變換表征一個離散的系統(tǒng)。一個線性的系統(tǒng)其傳遞函數(shù)或z變換可以表示為有理多項式分式的形式，其零點和極點對于系統(tǒng)的特征具有重要意義，對于我們分析系統(tǒng)、設計系統(tǒng)也具有重要指導作用。那么線性系統(tǒng)的零極點又具有什么特征呢？請看下一講。
