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傅里葉變換的集中形式及應(yīng)用

傅立葉變換是以時(shí)間為自變量的信號(hào)和以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的一種變換關(guān)系。

由于自變量時(shí)間和頻率可以是連續(xù)的，也可以是離散的，因此可以組成幾種不同的變換對(duì)

非周期的連續(xù)時(shí)間，連續(xù)頻率-----傅里葉變換

正變換

X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt

反變換

x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt

練習(xí)一：

時(shí)域函數(shù)：連續(xù)時(shí)間矩形脈沖

頻域：連續(xù)頻率的非周期函數(shù)

周期的連續(xù)性，離散頻率----傅里葉級(jí)數(shù)

周期為T₀的 時(shí)間信號(hào)x(t) 的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的系數(shù)為X(jkΩ₀),構(gòu)成的傅里葉變換對(duì)如下：

正變換

X(jkΩ)= {-T₀/2,+T₀/2}x(t)*exp^-jkΩ₀t dt

反變換

X(t)= ∑k={-∞,+∞} X(jkΩ₀)*exp^jkΩ₀t

式中X(jkΩ₀)是以角頻率Ω₀未見(jiàn)各的離散函數(shù)形成頻域的離散頻譜，Ω₀與時(shí)間信號(hào)的周期之間的關(guān)系為Ω₀=2ΠF=2π/T₀.傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)將連續(xù)時(shí)間周期函數(shù)分解為無(wú)窮多個(gè)角頻率為Ω₀整數(shù)倍的諧波，k為各次諧波序號(hào)。

練習(xí)二

時(shí)域：連續(xù)時(shí)間周期矩形脈沖

頻域：非周期的頻域

時(shí)域的周期性對(duì)應(yīng)于頻域的離散性

非周期的離散時(shí)間、連續(xù)頻率---序列的傅里葉變換

非周期離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換就是序列的傅里葉變換

正變換

X(e^jω)= ∑n={-∞,+∞}x(n) e^jωn

反變換

x(n)=1/2π{-π,+π}X(e^jω) e^jωn   dω

式中，ω是數(shù)字頻率

如果序列x(n)是模擬信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)抽樣得到，抽樣時(shí)間間隔為T_s,抽樣頻率為f_s=1/T_S,抽樣角頻率為Ω_s=2π/T_s，由于數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為ω=ΩT_s，因此抽樣數(shù)字頻率ω_s=Ω_sT_s=2π，則上面的變換對(duì)也可寫(xiě)成

正變換

X(e^jΩT)= ∑n={-∞,+∞}x(nT) e^jnΩT

反變換

x(nT)=1/Ω_s{-Ω_s/2,+ Ω_s/2}X(e^jΩT) e^jnΩT  dΩ

練習(xí)三

時(shí)域：對(duì)連續(xù)時(shí)間矩形脈沖按照T_s為周期進(jìn)行采樣

頻域：以Ω_s為周期嚴(yán)拓

時(shí)域的離散造成頻域的周期嚴(yán)拓，時(shí)域的非周期性對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)性

離散時(shí)間，離散頻率----離散傅里葉變換

由于數(shù)字信號(hào)處理是希望在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)各種運(yùn)算和變換，其所涉及的變量和運(yùn)算都是離散的，而前面三種傅里葉變換對(duì)中，時(shí)域或頻域中至少有一個(gè)域是連續(xù)的，所以都不可以在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行運(yùn)算和實(shí)現(xiàn)，因此對(duì)于數(shù)字信號(hào)處理，應(yīng)該找到在時(shí)域和頻域都是離散的傅里葉變換，即離散傅里葉變換

前面的討論已經(jīng)得出結(jié)論:時(shí)域的周期性導(dǎo)致頻域的離散型，時(shí)域的連續(xù)函數(shù)在頻域形成非周期頻譜；而時(shí)域的離散型造成頻域的周期延拓，時(shí)域的非周期性對(duì)應(yīng)于頻域的連續(xù)函數(shù)形式。那么對(duì)于時(shí)域和頻域都是離散的離散傅里葉變換，應(yīng)該形成時(shí)域和頻域都具有周期性的函數(shù)。

如果序列x(n)是模擬信號(hào)x(t)經(jīng)過(guò)抽樣得到，抽樣時(shí)間間隔為T_s,則頻率函數(shù)的周期為Ω_s=2π/ T_s,如果頻率函數(shù)也是離散的，其采樣間隔為Ω₀，則時(shí)間函數(shù)的周期為T₀=2π/Ω₀，當(dāng)時(shí)間函數(shù)序列一個(gè)周期內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)為N時(shí)，有

N=T₀/T_S=Ω_s/Ω₀

表明在頻域中頻譜函數(shù)的一個(gè)周期內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)也為N，即離散傅里葉變換的時(shí)間序列和頻率序列的周期都是N，可以得到表示于一個(gè)周期內(nèi)的常用的離散傅里葉變換對(duì)如下：

正變換

X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk

反變換

x(n)=1/N∑n={0,N-1}X(k) e^j2π/Nnk

時(shí)域：對(duì)周期矩形脈沖信號(hào)以T_S為周期進(jìn)行抽樣，得到離散時(shí)間序列

頻域：是傅里葉級(jí)數(shù)以周期Ω_S的延拓

傅里葉變換形式的歸納

由于長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列可以看做是周期為N的周期序列的一個(gè)周期，因此利用DFS計(jì)算周期序列的一個(gè)周期，就可以得到有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換

正變換

X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk= X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) W_Nexp^nk

x(n)=1/N∑n={0,N-1}X(k) W_Nexp^-nk

定義幾個(gè)與X(k)相關(guān)的序列

幅度譜A(k)=|X(k)|

相位譜φ(k)=arctan{X_I(k)/ X_R(k)}

功率譜S(k)=A(k)*A(k)

離散傅里葉變換的物理意義及隱含的周期性

1物理意義

設(shè)x(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列，則其傅里葉變換，Z變換與離散傅里葉變換分別用以下三個(gè)關(guān)系式表示

X(e^jω)= ∑n={0,N-1}x(n) e^jωn   

X(z)= ∑n={0,N-1}x(n)z^-n

X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) e^-j2π/Nnk

單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換

離散傅里葉變換是x(n)的頻譜X(e^jω)在[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣,也就是對(duì)序列頻譜的離散化,這就是DFT的物理意義.

2DFT隱含的周期性

DFT的一個(gè)重要特點(diǎn)就是隱含的周期性,從表面上看,離散傅里葉變換在時(shí)域和頻域都是非周期的,有限長(zhǎng)的序列,但實(shí)質(zhì)上DFT是從DFS引申出來(lái)的,它們的本質(zhì)是一致的,因此DTS的周期性決定DFT具有隱含的周期性?？梢詮囊韵氯齻€(gè)不同的角度去理解這種隱含的周期性

(1)    從序列DFT與序列FT之間的關(guān)系考慮X(k)是對(duì)頻譜X(e^jω)在[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣，當(dāng)不限定k的取值范圍在[0,N-1]時(shí)，那么k的取值就在[0,2π]以外，從而形成了對(duì)頻譜X(e^jω)的等間隔采樣。由于X(e^jω)是周期的，這種采樣就必然形成一個(gè)周期序列

(2)    從DFT與DFS之間的關(guān)系考慮。X(k)= ∑n={0,N-1}x(n) W_Nexp^nk，當(dāng)不限定N時(shí)，具有周期性

(3)    從W_N來(lái)考慮，當(dāng)不限定N時(shí)，具有周期性

用DFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析

在工程實(shí)際中經(jīng)常遇到的模擬信號(hào)x_n(t),其頻譜函數(shù)X_n(jΩ)也是連續(xù)函數(shù)，為了利用DFT對(duì)x_n(t)進(jìn)行譜分析，對(duì)x_n(t)進(jìn)行時(shí)域采樣得到x(n)= x_n(nT),再對(duì)x(n)進(jìn)行DFT，得到X(k)則是x(n)的傅里葉變換X(e^jω)在頻率區(qū)間[0,2π]上的N點(diǎn)等間隔采樣，這里x(n)和X(k)都是有限長(zhǎng)序列

然而，傅里葉變換理論證明，時(shí)間有限長(zhǎng)的信號(hào)其頻譜是無(wú)限寬的，反之，弱信號(hào)的頻譜有限款的則其持續(xù)時(shí)間將為無(wú)限長(zhǎng)，因此，按采樣定理采樣時(shí)，采樣序列應(yīng)為無(wú)限長(zhǎng)，這不滿足DFT的條件。實(shí)際中，對(duì)于頻譜很寬的信號(hào)，為防止時(shí)域采樣后產(chǎn)生‘頻譜混疊’，一般用前置濾波器濾除幅度較小的高頻成分，使信號(hào)的貸款小于折疊頻率；同樣對(duì)于持續(xù)時(shí)間很長(zhǎng)的信號(hào)，采樣點(diǎn)數(shù)太多也會(huì)導(dǎo)致存儲(chǔ)和計(jì)算困難，一般也是截取有限點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。上述可以看出，用DFT對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行譜分析，只能是近似的，其近似程度取決于信號(hào)帶寬、采樣頻率和截取長(zhǎng)度

模擬信號(hào)x_n(t)的傅里葉變換對(duì)為

X(jΩ)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jΩt dt

x（t）=1/2π{-∞,+∞} X(JΩ)*e^jΩt dt

用DFT方法計(jì)算這對(duì)變換對(duì)的方法如下：

1對(duì)x_n(t)以T為間隔進(jìn)行采樣，即x_n(t)|_t=nT= x_a(nT)= x(n),由于

t→nT,dt→T, {-∞,+∞}→∑n={-∞,+∞}

因此得到

X(jΩ)≈∑n={-∞,+∞}x(nT)*exp^-jΩnT*T

x（nT）≈1/2π{0, Ω_s} X(JΩ)*e^jΩnT Dω

2將序列x(n)= x_n(t)截?cái)喑砂?/span>N個(gè)抽樣點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列

X(jΩ)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jΩnT*T

由于時(shí)域抽樣，抽樣頻率為f_s=1/T,則頻域產(chǎn)生以f_s為周期的周期延拓，如果頻域是帶限信號(hào)，則有可能不產(chǎn)生頻譜混疊，成為連續(xù)周期頻譜序列，頻譜的周期為fs=1/T

3為了數(shù)值計(jì)算，頻域上也要抽樣，即在頻域的一個(gè)周期中取N個(gè)樣點(diǎn)，fs=NF₀,每個(gè)樣點(diǎn)間隔為F₀，頻域抽樣使頻域的積分式變成求和式，而在時(shí)域就得到原來(lái)已經(jīng)截?cái)嗟碾x散時(shí)間序列的周期延拓，時(shí)間周期為T₀=1/F₀。因此有

Ω→kΩ₀，dΩ→Ω₀，{-∞,+∞} dΩ→∑n={-∞,+∞}Ω₀

T₀=1/F₀=N/fs=NT

Ω₀=2ΠF0

Ω₀T=Ω₀/fs=2π/N

X(jkΩ0)≈T∑n={0,N-1}x(nT)*exp^-jkΩ0nT

應(yīng)用中需要注意的若干問(wèn)題

1時(shí)域和頻域混疊

根據(jù)采樣定理，只有當(dāng)采樣頻率大于信號(hào)最高頻率的兩倍時(shí)，才能避免頻域混疊。實(shí)際信號(hào)的持續(xù)時(shí)間是有限的，因而從理論上來(lái)說(shuō)，其頻譜寬度是無(wú)限的，無(wú)論多大的采樣頻率也不能滿足采樣定理。但是超過(guò)一定范圍的高頻分量對(duì)信號(hào)已沒(méi)有多大的影響，因而在工程上總是對(duì)信號(hào)先進(jìn)性低通濾波

另一方面，DFT得到的頻率函數(shù)也是離散的，其頻域抽樣間隔為F0，即頻率分辨力。為了對(duì)全部信號(hào)進(jìn)行采樣，必須是抽樣點(diǎn)數(shù)N滿足條件

N=T0/T=fs/F0

從以上兩個(gè)公式來(lái)看，信號(hào)最高頻率分量fc和頻率分辨力F0有矛盾。若要fc增加，則抽樣間隔T就要減小，而FS就要增加，若在抽樣點(diǎn)數(shù)N不變的情況下，必然是F0增加，分辨力下降。唯一有效的方法是增加記錄長(zhǎng)度內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N，在fc和F0給定的條件下，N必須滿足

N>2fc/F0

2截?cái)嘈?yīng)

在實(shí)際中遇到的序列x(n)，其長(zhǎng)度往往是有限長(zhǎng)，甚至是無(wú)限長(zhǎng)，用DFT對(duì)其進(jìn)行譜分析時(shí)，必須將其截?cái)酁殚L(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列

Y(n)=x(n).R_N(n)

根據(jù)頻率卷積定理

Y(e^jω)=1/2Πx(e^jω)*H(e^jω)

|ω|<2π/N叫做主瓣，其余部分叫做旁瓣

頻譜泄露

原序列x(n)的頻譜是離散譜線，經(jīng)截?cái)嗪笫姑扛V線都帶上一個(gè)辛格譜，就好像使譜線向兩邊眼神，通常將這種是遇上的截?cái)鄬?dǎo)致頻譜展寬成為泄露，泄露使得頻譜變得模糊，分辨率降低

譜間干擾

因截?cái)嗍怪髯V線兩邊形成許多旁瓣，引起不同分量間的干擾，成為譜間干擾，這不僅影響頻譜分辨率，嚴(yán)重時(shí)強(qiáng)信號(hào)的旁瓣可能湮滅弱信號(hào)的主譜線。

截?cái)嘈?yīng)是無(wú)法完全消除的，只能根據(jù)要求折中選擇有關(guān)參量。

柵欄效應(yīng)

N點(diǎn)DFT是在頻率區(qū)間[0,2π]上對(duì)信號(hào)的頻譜進(jìn)行N點(diǎn)等間隔采樣，得到的是若干個(gè)離散點(diǎn)X(k)，且它們之限制為基頻F0的整數(shù)倍，這部好像在柵欄的一邊通過(guò)縫隙看另一邊的景象，只能在離散點(diǎn)的地方看到真實(shí)的景象，其余部分頻譜成分被遮攔，所以稱為柵欄效應(yīng)。

減小柵欄效應(yīng)，可以在時(shí)域數(shù)據(jù)末端增加一些零值點(diǎn)，是一個(gè)周期內(nèi)的點(diǎn)數(shù)增加

信號(hào)長(zhǎng)度的選擇

在時(shí)域內(nèi)對(duì)信號(hào)長(zhǎng)度的選擇會(huì)影響DFT運(yùn)算的正確性。實(shí)際的信號(hào)往往是隨機(jī)的，沒(méi)有確定的周期，因此在實(shí)際中，應(yīng)經(jīng)可能估計(jì)出幾個(gè)典型的、帶有一定周期性的信號(hào)區(qū)域進(jìn)行頻譜分析，然后在取其平均值，從而得到合理的結(jié)果

MATLAB驗(yàn)證N點(diǎn)DFT的物理意義

已知x(n)=R₄(n),X(e^jω)=FT[x(n)],繪制相應(yīng)的幅頻和相頻曲線，并計(jì)算N=8,N=16時(shí)的DFT

程序清單如下：

N1=8;N2=16;

n=0:N1-1;k1=0:N1-1;k2=0:N2-1;

w=2*pi*(0:2047)/2048;

Xw=(1-exp(-j*4*w))./(1-exp(-j*w));

xn=[(n>=0)&(n<4)];

X1k=fft(xn,N1);

X2k=fft(xn,N2);

subplot(3,2,1);plot(w/pi,abs(Xw));xlabel(‘w/π’)

subplot(3,2,2);plot(w/pi,angle(Xw));axis([0,2,-pi,pi]);line([0,2],[0,0]);

xlabel(‘w/π’)

subplot(3,2,3);stem(k1,abs(X1k),’.’);

xlabel(‘k(w=2πk/N1)’);ylabel(‘|X1(k)|’);hold on

plot(N1/2*w/pi,abs(Xw))

subplot(3,2,4);stem(k1,angle(X1k));

axis([0,N1,-pi,pi]);line([0,N1],[0,0]);

xlabel(‘k(w=2πk/N1)’);ylabel(‘Arg|X1(k)|’);hold on

plot(N1/2*w/pi,angle(Xw))

subplot(3,2,5);stem(k2,abs(X2k));

axis([0,N1,-pi,pi]);line([0,N1],[0,0]);

xlabel(‘k(w=2πk/N2)’);ylabel(‘|X2(k)|’);hold on

plot(N2/2*w/pi,abs(Xw))

subplot(3,2,6);stem(k2,angle(X2k),’.’);

xlabel(‘k(w=2πk/N2)’);ylabel(‘|X2(k)|’);hold on

plot(N2/2*w/pi,angle(Xw))