邏輯究竟是什么以及邏輯應(yīng)當(dāng)是什么？
郝兆寬
作者簡(jiǎn)介：郝兆寬，復(fù)旦大學(xué)哲學(xué)學(xué)院教授
人大復(fù)印：《邏輯》2016 年 03 期
原發(fā)期刊：《哲學(xué)分析》2016 年第 20162 期 第 46-65 頁(yè)
關(guān)鍵詞：邏輯觀/ 形式/ 哥德爾/ 弗雷格/ 概念論/ 休謨?cè)瓌t/
摘要：對(duì)于邏輯是什么，有兩種相互沖突的立場(chǎng)：當(dāng)代哲學(xué)中流行的看法是邏輯是純形式的，邏輯命題沒(méi)有事實(shí)內(nèi)容；而在弗雷格和哥德爾那里，邏輯是有關(guān)客觀概念世界的科學(xué)。這兩種觀點(diǎn)都需要哲學(xué)立場(chǎng)的支撐，前者需要經(jīng)驗(yàn)論或物理主義的立場(chǎng)，后者則預(yù)設(shè)了實(shí)在論或柏拉圖主義。所以，流行的觀點(diǎn)并不是哲學(xué)中立的，因此也不是更自然的或不可避免的。相反，弗雷格為數(shù)學(xué)奠定邏輯基礎(chǔ)的努力，哥德爾成就邏輯學(xué)的偉大成果以及當(dāng)代邏輯學(xué)家對(duì)連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題的研究都表明，實(shí)在論的立場(chǎng)總是能更好地解釋邏輯學(xué)研究的實(shí)踐。因此，我們有理由相信：把邏輯視為純形式的觀點(diǎn)，雖然看似自然而然，但在某種程度上是哲學(xué)史和邏輯史上的一個(gè)誤解。
為什么黑格爾的邏輯叫邏輯，而弗雷格的邏輯也叫邏輯？這是一個(gè)比它表面看起來(lái)更根本的問(wèn)題。當(dāng)然我們可以完全表面地去理解它，即認(rèn)為黑格爾誤用甚至濫用了“邏輯”這個(gè)詞，也可以說(shuō)自黑格爾以后，特別是從弗雷格開始，邏輯有了完全不同于黑格爾的，同時(shí)也完全固定的含義。但這樣的理解和答案顯然不能令人滿意，因?yàn)槲覀兛梢赃M(jìn)一步追問(wèn)，到底是什么原因讓黑格爾濫用“邏輯學(xué)”這個(gè)名詞，而不是，例如“生理學(xué)”這個(gè)名詞呢？同時(shí)我們還要問(wèn)，既然黑格爾對(duì)“邏輯”一詞的使用流傳廣泛，后來(lái)那個(gè)具有完全不同含義的邏輯為什么堅(jiān)持使用這個(gè)容易引起誤解的名詞？
有一個(gè)不怎么表面的解釋是：黑格爾的邏輯與從弗雷格開始的形式邏輯既有相似之處，又有不同。它們首先都是以純粹的思維形式為研究對(duì)象，但在黑格爾的邏輯中，概念是在一個(gè)辯證運(yùn)動(dòng)的體系中，而在形式邏輯中它們卻是靜止的。另外一個(gè)重要的不同是，黑格爾的體系允許矛盾的對(duì)立統(tǒng)一，但對(duì)形式邏輯來(lái)說(shuō)，矛盾就是災(zāi)難。
我們不妨從后一點(diǎn)開始討論。這里似乎混淆了“體系中包含矛盾”和“體系中可以討論矛盾”這兩個(gè)完全不同的概念。黑格爾邏輯的確重視矛盾的對(duì)立統(tǒng)一這類“辯證”的現(xiàn)象，事實(shí)上從巴門尼德開始，西方哲學(xué)家一直對(duì)這類現(xiàn)象頗有興趣。但是，不管是黑格爾還是任何一位哲學(xué)家，不論他們多么重視甚至偏愛這類辯證矛盾，他們用來(lái)談?wù)撨@些“矛盾”的系統(tǒng)本身應(yīng)該不能包含矛盾，否則，他們的理論就有可能完全不能被理解。這是一條絕對(duì)的要求，是形式邏輯的要求。所以，無(wú)論康德或黑格爾多么輕視形式邏輯，他們從主觀上必須至少遵循形式邏輯的這一要求，雖然他們談?wù)摰膯?wèn)題顯得辯證而深?yuàn)W。
這樣的話，說(shuō)黑格爾的體系允許矛盾而形式邏輯不能就是一個(gè)誤解。事實(shí)是，形式邏輯只關(guān)心有關(guān)概念的最一般規(guī)則，而黑格爾邏輯則是在這些一般規(guī)則的要求下，討論概念間那些包括對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系在內(nèi)的更為豐富的性質(zhì)和關(guān)系。也就是說(shuō)，黑格爾的邏輯學(xué)在內(nèi)容上超出了形式邏輯，但并沒(méi)有破壞形式邏輯的規(guī)則。從黑格爾的邏輯來(lái)看，形式邏輯不是錯(cuò)的，而是不夠。
關(guān)于概念的運(yùn)動(dòng)，是另一個(gè)誤解的地方，因?yàn)楦拍畹倪\(yùn)動(dòng)本身至多是一個(gè)隱喻的說(shuō)法。運(yùn)動(dòng)至少需要在時(shí)間中進(jìn)行①，而概念顯然是在時(shí)空之外的存在。如果這里的運(yùn)動(dòng)指的是邏輯上的演繹，那形式邏輯本身也已經(jīng)包含這種運(yùn)動(dòng)了。
概括地說(shuō)，辯證矛盾、概念運(yùn)動(dòng)都不足以從根本上區(qū)分形式邏輯和黑格爾的邏輯。唯一能確定的是，黑格爾的邏輯從內(nèi)容上超出了，至少是不滿足于形式邏輯的那些基本原則。
用純粹思維形式來(lái)將弗雷格邏輯和黑格爾邏輯聯(lián)系起來(lái)的說(shuō)法也是模糊和不確定的。一方面，正是從弗雷格開始，邏輯不再被認(rèn)為是有關(guān)思維形式的科學(xué)。鮑亨斯基就曾說(shuō)，邏輯學(xué)與思維的關(guān)系一點(diǎn)不比數(shù)學(xué)與思維的關(guān)系更近。事實(shí)上，弗雷格邏輯的核心內(nèi)容是關(guān)于謂詞的一些最一般原則，而謂詞正是在亞里士多德那里表現(xiàn)為“依憑自身之是”的東西。另一方面，黑格爾的思維，至少在邏輯學(xué)中，是與存在相同一的東西。如果黑格爾斷言自己的邏輯學(xué)是關(guān)于思維的純粹形式的，那也同樣可以說(shuō)，他的邏輯學(xué)是關(guān)于存在的純粹形式的。而事實(shí)上，黑格爾的邏輯學(xué)正是從一個(gè)純粹抽象的存在概念開始的，他的邏輯學(xué)第一部分就是存在論。所以，把與心理學(xué)有關(guān)的人類思維與黑格爾的思維做似是而非的聯(lián)系，未免太過(guò)于想當(dāng)然了。
除了思維，“形式”這個(gè)概念也非常值得討論。無(wú)論是亞里士多德還是弗雷格，都沒(méi)有使用“形式邏輯”這個(gè)概念。是數(shù)學(xué)家希爾伯特重點(diǎn)地討論了形式系統(tǒng)的概念，他用形式表示盡可能地抽象掉具體的內(nèi)容，以達(dá)到更高的抽象性。例如在謂詞邏輯里，我們只討論某一概念(謂詞)與另一概念(謂詞)之間最一般的關(guān)系，而不涉及到底是哪個(gè)概念。從中得到的這些基本原則，對(duì)于任何具體的概念也是成立的。
但是，有一個(gè)概念是不能被當(dāng)作“某個(gè)概念”而進(jìn)行一般處理的，這就是“存在”概念。在弗雷格的系統(tǒng)中，“存在”被處理為一個(gè)量詞，正如蒯因正確指出的，“存在”就是量詞的取值范圍。在弗雷格邏輯中，對(duì)結(jié)構(gòu)或模型的要求就是一個(gè)“非空的論域”，實(shí)際上就是一個(gè)沒(méi)有任何規(guī)定性的存在。這跟黑格爾把一個(gè)無(wú)任何規(guī)定性的存在作為邏輯學(xué)的開端如出一轍。
所以，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，不管是在黑格爾邏輯還是弗雷格邏輯中，“形式”一詞的意義更接近柏拉圖的“相”，即具有最高抽象程度的概念，也就是亞里士多德的范疇。邏輯的對(duì)象就是處理最一般概念的最一般性質(zhì)和關(guān)系。
這種關(guān)于邏輯的觀念與“眾所周知”的“邏輯是純形式，不關(guān)涉任何內(nèi)容”的觀點(diǎn)截然相反，自然有可能被指為一種離經(jīng)叛道的立場(chǎng)。然而，本文的主要目的正是想指出，現(xiàn)代邏輯的創(chuàng)立者和奠基人——弗雷格和哥德爾——從未把邏輯視為純形式的科學(xué)，而是將其理解為有關(guān)一個(gè)客觀存在著的概念世界的一般科學(xué)。從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，當(dāng)代關(guān)于邏輯的通行理解才真的是離經(jīng)叛道得很遠(yuǎn)了。事實(shí)上，這一點(diǎn)很早就被注意并被討論過(guò)了?？上У氖菦](méi)有人能超出流行的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)真看待這個(gè)事實(shí)。
在《弗雷格的邏輯觀念》(Frege's Conception of Logic)一文中，戈德法布(Warren Goldfarb)指出，現(xiàn)代邏輯的創(chuàng)始人弗雷格有著與“我們”完全不同的邏輯觀念，他不認(rèn)為邏輯是“模式化的”(schematic)。在《弗雷格、康德與邏輯主義的邏輯》(Frege，Kant，and the Logic in Logicism)一文中，麥克法蘭(John MacFarlane)則指出弗雷格的邏輯觀念與康德的普遍邏輯也不相同，他不認(rèn)為邏輯是純形式的。事實(shí)上，布羅斯(George Boolos)也在此之前注意到這點(diǎn)②，而戈德法布更是提醒我們，早在20世紀(jì)60年代開始，德雷本(Burton Dreben)、埃爾諾特(Jean van Heijenoort)都已經(jīng)注意到弗雷格擁有“獨(dú)特的”邏輯概念這一點(diǎn)。③考慮到弗雷格是現(xiàn)代邏輯的創(chuàng)立者，這種不同應(yīng)該不是一個(gè)平凡的事情。戈德法布正確地指出，弗雷格的邏輯觀念是他哲學(xué)立場(chǎng)的必然結(jié)果，也提醒我們從這兩種觀念的比較中反思我們今天的邏輯概念是如何得到的，但他堅(jiān)信模式化的邏輯觀是最為自然，甚至不可避免的。因此，弗雷格邏輯觀念的不同只有歷史的意義。④而麥克法蘭則力圖說(shuō)明，純形式不是康德邏輯觀念的本質(zhì)要求，而是“邏輯是普遍的”這一點(diǎn)在康德哲學(xué)框架內(nèi)的一個(gè)推論。因此，弗雷格可以只接受邏輯的普遍性，而(通過(guò)拒絕康德的一些哲學(xué)假設(shè))不接受邏輯是形式的，所以弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》中對(duì)康德的批評(píng)值得對(duì)手認(rèn)真對(duì)待，不能簡(jiǎn)單地以康德的邏輯與弗雷格的邏輯指的不是同一個(gè)概念而逃避。但是，為了達(dá)到這個(gè)目的，麥克法蘭要求弗雷格接受“邏輯是思想的普遍規(guī)則”，即，它是一個(gè)規(guī)范性的學(xué)科。⑤
在《論分析性》中，我們(通過(guò)分析性概念)也注意到了類似的事實(shí)，只是更傾向于指出形式的分析性(邏輯)概念是基于經(jīng)驗(yàn)論傳統(tǒng)的哲學(xué)立場(chǎng)，而不是一個(gè)中立的框架。⑥本文則打算在以上工作的基礎(chǔ)上首先重申這一點(diǎn)，即，兩種不同的邏輯觀念都是基于各自的哲學(xué)立場(chǎng)而形成的，模式化的邏輯觀念比起弗雷格的并非是“自然”或不可避免的。其次，哥德爾的邏輯觀念是對(duì)弗雷格的繼承和發(fā)展，因此弗雷格的邏輯概念不是一個(gè)個(gè)案。相反，由于他們兩人從根本上決定著現(xiàn)代邏輯的產(chǎn)生和成熟發(fā)展，我們至少不應(yīng)該想當(dāng)然地將其視為無(wú)足輕重的。最后，我們還力圖說(shuō)明，事實(shí)上兩種立場(chǎng)都在當(dāng)代邏輯學(xué)研究的前沿產(chǎn)生著影響，當(dāng)代邏輯學(xué)家們?cè)诟ダ赘瘛绲聽柕倪壿嬘^下取得了引人矚目的成就，因此，這種有關(guān)邏輯是什么的分歧不僅僅是一個(gè)歷史事件。
一、邏輯是純形式的嗎？
邏輯學(xué)是一門關(guān)于“形式”的學(xué)科，這一點(diǎn)似乎毫無(wú)疑問(wèn)。但“形式的”指的是什么卻頗有爭(zhēng)議。例如，有一種普遍的誤解認(rèn)為形式就意味著符號(hào)化，但顯然人類的任何語(yǔ)言都是一種符號(hào)。
現(xiàn)代最為通常的觀點(diǎn)認(rèn)為，邏輯之所以是形式的，是因?yàn)樗恼Z(yǔ)言是由純粹的符號(hào)構(gòu)成的，在未經(jīng)解釋以前，它的詞項(xiàng)不實(shí)際地指稱任何對(duì)象，因此它的語(yǔ)句也沒(méi)有真假。例如以下語(yǔ)句：
在任何兩個(gè)自然數(shù)之間總存在另一個(gè)自然數(shù)。
(1)
這是一個(gè)有明確意義的句子，而且是假的。我們可以使用邏輯的語(yǔ)言將其概括為：
而這個(gè)形式的邏輯語(yǔ)句則只是一個(gè)純粹的(根據(jù)一定句法規(guī)則形成的)符號(hào)串。我們必須確定、以及＜的意義后才能使其成為一個(gè)具有真值的語(yǔ)句。例如，我們?nèi)绻麑ⅰ⒗斫鉃椤皩?duì)所有的自然數(shù)”和“存在一個(gè)自然數(shù)”⑦，而把＜理解為自然數(shù)上的小于關(guān)系，則這個(gè)形式語(yǔ)句就表達(dá)了語(yǔ)句(1)，而且在這個(gè)解釋下是假的。而如果將、理解為“對(duì)所有的有理數(shù)”和“存在一個(gè)有理數(shù)”，而把＜理解為有理數(shù)上的小于關(guān)系，則這個(gè)形式語(yǔ)句就表達(dá)了語(yǔ)句(3)，
在任何兩個(gè)有理數(shù)之間總存在另一個(gè)有理數(shù)。
(3)
而且在這個(gè)解釋下(3)是真的。
在這一點(diǎn)上，最著名的是希爾伯特對(duì)“形式幾何”的解釋：“你總是可以用桌子、椅子和啤酒杯來(lái)代替點(diǎn)、線和面?！雹?/font>
有人指出，這個(gè)意義上的形式化并不足以把邏輯與其他學(xué)科區(qū)分開來(lái)⑨，因?yàn)閹缀螌W(xué)、力學(xué)，甚至經(jīng)濟(jì)學(xué)都可以在這個(gè)意義上被形式化。我們從某一具體科學(xué)出發(fā)，總結(jié)出它的那些基本原理，然后用上述形式化的方法將這些原理概括到一個(gè)形式的公理系統(tǒng)中。此后我們可以忘掉最初的那些直觀，而斷言所有滿足這個(gè)形式公理系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，不管是由點(diǎn)、線、面還是由桌子、椅子、啤酒杯構(gòu)成的，都可以稱為“幾何”對(duì)象。因此，這種形式只不過(guò)是一種形式化方法，它可以應(yīng)用到邏輯，也可以應(yīng)用到數(shù)學(xué)，甚至任何科學(xué)中去。
但是，邏輯在這種形式化中顯然有著最為獨(dú)特的地位，事實(shí)上，把邏輯視為“形式”的那些立場(chǎng)正是通過(guò)這種形式化被刻畫的。從任何一個(gè)具體科學(xué)得到的形式公理系統(tǒng)只能在某些解釋下為真，在另一些解釋下為假，例如以上語(yǔ)句(2)。再比如，可以構(gòu)造一個(gè)結(jié)構(gòu)使得由歐氏幾何得到的形式系統(tǒng)中的平行公理為假，這就是非歐幾何。但是有些語(yǔ)句，例如
則在任何解釋下都為真！這類語(yǔ)句就是通常所說(shuō)的邏輯語(yǔ)句。更為重要的是，在任何一個(gè)形式的公理系統(tǒng)中，當(dāng)我們從一些命題通過(guò)推理得到另一些命題時(shí)，必須保證它們具有被稱為“邏輯后承”的關(guān)系，按照塔斯基，這個(gè)關(guān)系定義為：
語(yǔ)句A邏輯蘊(yùn)涵語(yǔ)句B當(dāng)且僅當(dāng)沒(méi)有一個(gè)解釋使得A為真而B為假。
在任何解釋下都真的這類語(yǔ)句以及語(yǔ)句間的這類關(guān)系被稱為“邏輯形式”，它們被認(rèn)為是邏輯學(xué)的主題，邏輯在這個(gè)意義上是形式的。⑩
這種觀點(diǎn)在當(dāng)代哲學(xué)中毫無(wú)疑問(wèn)占據(jù)著主導(dǎo)地位，而且相當(dāng)廣泛，為眾多具有不同哲學(xué)立場(chǎng)的哲學(xué)家所共有，例如，經(jīng)驗(yàn)論者卡爾納普：
一個(gè)理論，一個(gè)規(guī)則，一個(gè)定義，或者類似的東西被稱為形式的，如果在其中既不涉及符號(hào)(如單詞)的意義，也不涉及表達(dá)式(如句子)的含義，而僅僅單純涉及構(gòu)成表達(dá)式的符號(hào)的種類和順序。(11)
實(shí)在論者塔斯基：
……在構(gòu)造一個(gè)演繹理論時(shí)，我們忽略公理的意義而只考慮它們的形式。正是由于這個(gè)原因，人們?cè)谔岬竭@些現(xiàn)象時(shí)，他們說(shuō)的就是演繹科學(xué)和這些科學(xué)中的所有推理的純形式特征。(12)
戈德法布：
邏輯處理邏輯形式，后者將語(yǔ)句的主題內(nèi)容模式化掉。因此邏輯與任何特殊的主題都沒(méi)有關(guān)系，因?yàn)樗幚淼氖沁@些“空洞的”形式，而不是特殊的內(nèi)容。(13)
另一種關(guān)于形式的解說(shuō)源自康德，他把普遍的邏輯理解為有關(guān)思維的形式規(guī)則的科學(xué)：
邏輯學(xué)的界限已經(jīng)有完全精確的規(guī)定，它是一門僅僅詳盡地闡明和嚴(yán)格地證明一切思維的形式規(guī)則的科學(xué)。(14)
這一規(guī)定性使得邏輯學(xué)必須抽掉一切認(rèn)識(shí)內(nèi)容，只有這樣才能成為純形式的?！?邏輯)抽掉知識(shí)的一切對(duì)象和差別，因而在其中知性除了和自身及其形式之外，不要和任何別的東西打交道。(BIX)
普遍的邏輯抽掉了知識(shí)的一切內(nèi)容，也就是說(shuō)，抽掉知識(shí)與客體的一切關(guān)系，僅僅在知識(shí)的相互關(guān)系中考察邏輯形式，即一般的思維形式。(A55/B79)
這樣規(guī)定的邏輯只能“作為入門而構(gòu)成各門科學(xué)的初階”，可以當(dāng)作評(píng)判知識(shí)的前期手段，但不能真正能通過(guò)邏輯學(xué)獲取知識(shí)：
這雖然是一切真理的必要條件，因而是消極的條件，但更遠(yuǎn)的地方這種邏輯就達(dá)不到了，它沒(méi)有什么測(cè)試手段可以揭示那并非形式上的而是內(nèi)容上的錯(cuò)誤。……但由于單是知識(shí)的形式不論它與邏輯的規(guī)律多么一致，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足以因此就斷定知識(shí)的質(zhì)料上(客觀上)的真理性，所以沒(méi)有人敢于單憑邏輯就對(duì)對(duì)象作出判斷，或是以任何方式對(duì)此有所主張……(A59-60/B84-85)
這兩種有關(guān)形式的理解本質(zhì)上非常接近?！芭懦R(shí)的一切對(duì)象和差別”不正是說(shuō)邏輯語(yǔ)言的那些符號(hào)在未經(jīng)解釋以前不指稱任何對(duì)象，并且那些被稱為邏輯形式的命題在任何解釋下(或者說(shuō)對(duì)任何對(duì)象)都真嗎？不過(guò)它們之間也有明顯的差別?？档聫?qiáng)調(diào)邏輯是關(guān)于“思維的形式規(guī)則”的科學(xué)，而前一種既不肯定邏輯是有關(guān)思維的，也不確定邏輯是關(guān)于規(guī)則的科學(xué)。這種聯(lián)系和區(qū)別反映了兩個(gè)不同時(shí)代對(duì)邏輯的不同理解。20世紀(jì)的分析哲學(xué)傳統(tǒng)一方面繼承了康德認(rèn)為邏輯必須在排除知識(shí)的一切對(duì)象的意義上是形式的，另一方面受弗雷格的影響，將心理的因素排除在邏輯之外(15)，從而拒絕把邏輯視為思維的規(guī)則。但他們似乎走得并不很遠(yuǎn)，在脫離思維以后，邏輯似乎又成為與語(yǔ)言的句法類似的某種東西。
一個(gè)非常重要、也非常有趣，同時(shí)又尚未引起足夠注意的事實(shí)是，現(xiàn)代邏輯的奠基人弗雷格有著與上述兩種觀念完全不同的邏輯概念。首先，他不認(rèn)為邏輯是未經(jīng)解釋的符號(hào)體系。在弗雷格看來(lái)，邏輯中根本不需要“解釋”一詞，因?yàn)檫壿嫷恼Z(yǔ)句也都是表達(dá)思想的，而如果這種表達(dá)是準(zhǔn)確的，則不容許任何不同的解釋。(16)
其次，對(duì)于弗雷格來(lái)說(shuō)，邏輯是一門科學(xué)，是一組真語(yǔ)句的集合，就像任何其他科學(xué)一樣。它與其他科學(xué)的唯一區(qū)別就在于它是最為“普遍的科學(xué)”。物理學(xué)是關(guān)于物理對(duì)象的，這些對(duì)象我們可以感覺到；幾何學(xué)是關(guān)于幾何圖形的，這些對(duì)象我們可以直觀到。而邏輯學(xué)的真理則普遍適用于任何“可思想的對(duì)象”，包括那些不能感覺、不能直觀，甚至不能想象的對(duì)象。我們可以設(shè)想一個(gè)揪著自己的頭發(fā)把自己從沼澤中拔出來(lái)的人，但在無(wú)論多么大膽、多么新奇的想象中，其中的對(duì)象和人物都還是遵循了幾何學(xué)的公理。所以幾何學(xué)真理比物理學(xué)真理更為普遍。但是，至少在思想中，我們可以思考多維的甚至無(wú)窮維的空間(雖然對(duì)這些可能沒(méi)有任何的直觀)，可以思考曲面上的幾何學(xué)。但對(duì)于算術(shù)真理(按照弗雷格的邏輯主義，因此也是邏輯真理)，我們不能在任何情況下假設(shè)它們是假的，因?yàn)槟菢拥脑挘伎季鸵呀?jīng)是不可能的了：
我們此處僅僅試圖否定其中的任何一個(gè)，就完全陷入了混亂，思考似乎根本不再可能。算術(shù)的基礎(chǔ)似乎比任何經(jīng)驗(yàn)科學(xué)都來(lái)得深刻，甚至比幾何學(xué)還要深。算術(shù)真理統(tǒng)治著那些可計(jì)數(shù)的東西。這是最為廣泛的領(lǐng)域，因?yàn)樗粌H包括現(xiàn)實(shí)的，也不僅包括可直觀的，還包括任何可思想的東西。(17)
表面上看，弗雷格對(duì)邏輯真理普遍性的這種強(qiáng)調(diào)會(huì)導(dǎo)致他不得不接受前述邏輯是形式的立場(chǎng)。一個(gè)對(duì)任何對(duì)象都成立的真理，不就是那個(gè)在任何解釋下都真的形式語(yǔ)句嗎？難道不是越是普遍的也越是空洞的，而最為普遍的命題最終會(huì)抽掉知識(shí)的任何對(duì)象嗎？也許正是由于這個(gè)原因，邏輯是形式的這一觀念才如此深入人心。因?yàn)樗腥硕疾粫?huì)否認(rèn)邏輯學(xué)是最為普遍的科學(xué)，可如果普遍性蘊(yùn)含著邏輯必須脫離任何對(duì)象，那邏輯似乎就必然是形式的。
但正如麥克法蘭所論證的，也是我們所支持的，這種蘊(yùn)涵必須預(yù)設(shè)某些哲學(xué)立場(chǎng)才能成立。對(duì)于康德來(lái)說(shuō)普遍性是邏輯的根本特征，而這個(gè)特征加上康德哲學(xué)的一些根本預(yù)設(shè)，必然使康德把邏輯看作脫離任何對(duì)象的純形式。麥克法蘭的論證本身十分精致，但主要的依據(jù)是以上引文中所表述的，普遍邏輯必須抽掉思想與感性之間的任何聯(lián)系，以及任何對(duì)象都只能通過(guò)感性直觀被給予我們：
我們一切知性概念的客觀運(yùn)用的條件僅僅是對(duì)象借以被給予我們的那種感性直觀的方式，并且如果我們抽掉這種方式，則那些知性概念就完全不具有與某個(gè)客體的任何關(guān)系了。(A286/B342)
這兩者一起，使康德必須接受普遍的邏輯(不因某一特殊對(duì)象而改變)必然也是形式的(即無(wú)認(rèn)識(shí)內(nèi)容的)。(18)
雖然麥克法蘭沒(méi)有提到，但這個(gè)論證顯然也適用于經(jīng)驗(yàn)主義者，而且論證過(guò)程也會(huì)更為簡(jiǎn)單。
假設(shè)經(jīng)驗(yàn)論者也接受“邏輯是普遍的”這個(gè)論題，那他一定會(huì)接受：
如果S是一個(gè)邏輯語(yǔ)句，則S的真不取決于任何一個(gè)具體的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)。(5)
否則S就不會(huì)是普遍的。同時(shí)，對(duì)于經(jīng)驗(yàn)論者來(lái)說(shuō)，一個(gè)語(yǔ)句有語(yǔ)義內(nèi)容，當(dāng)且僅當(dāng)它描述了經(jīng)驗(yàn)世界。(6)
語(yǔ)句S描述經(jīng)驗(yàn)世界當(dāng)且僅當(dāng)S陳述了一個(gè)具體的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)(或它的反面)。(7)
因此S的真也取決于它所陳述的那個(gè)具體的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)。將以上斷言聯(lián)合起來(lái)就必然會(huì)得到：一個(gè)邏輯語(yǔ)句沒(méi)有任何語(yǔ)義內(nèi)容，因此是純形式的。
事實(shí)上，對(duì)于經(jīng)驗(yàn)論者，包括當(dāng)代的物理主義者，主要的擔(dān)心是對(duì)那些非時(shí)空對(duì)象的本體論承諾，從而不愿意接受我們會(huì)有任何關(guān)于非物理對(duì)象的客觀知識(shí)。在這個(gè)最高原則下(19)，他們當(dāng)然只能把邏輯處理為純形式的，并把數(shù)學(xué)處理為與邏輯一樣，也是形式(句法)的。(20)
麥克法蘭的這個(gè)發(fā)現(xiàn)極為重要，它從哲學(xué)上令人信服地說(shuō)明，當(dāng)前對(duì)邏輯的主流觀念，并非如人們相信的那樣，是一個(gè)與立場(chǎng)無(wú)涉的中立框架，是邏輯這門科學(xué)本性使然的客觀結(jié)果。(21)相反，它是以某種流行的哲學(xué)為基礎(chǔ)的。借用哥德爾的術(shù)語(yǔ)，這種關(guān)于邏輯的純形式觀念是整個(gè)哲學(xué)“左轉(zhuǎn)”，即越來(lái)越屈服于物理主義的結(jié)果。(22)
同時(shí)，這一論證正好說(shuō)明當(dāng)代分析傳統(tǒng)的邏輯觀念為何更接近康德而不是被稱為“分析哲學(xué)之父”的弗雷格。因?yàn)楦ダ赘癫皇且粋€(gè)經(jīng)驗(yàn)論者，更不是現(xiàn)代意義上的物理主義者，他明確拒絕了一切對(duì)象必須通過(guò)感性被給予的觀點(diǎn)：“我還必須反對(duì)康德以下斷言的普遍性：離開感性，我們不能有任何概念被給予。零和一就不是能通過(guò)感性被給予的對(duì)象?！?23)
因此也就不必像經(jīng)驗(yàn)論者那樣，在強(qiáng)調(diào)邏輯的普遍性的同時(shí)必須接受邏輯是純形式的。在這里我們還希望強(qiáng)調(diào)一個(gè)眾所周知的事實(shí)，即弗雷格反復(fù)強(qiáng)調(diào)自然數(shù)是“獨(dú)立而非現(xiàn)實(shí)的”“自我持存的對(duì)象”。(24)所以，如果S是一個(gè)算術(shù)語(yǔ)句，按照邏輯主義的觀點(diǎn)，S也是邏輯語(yǔ)句，因此是普遍的。同時(shí)，S是關(guān)于自然數(shù)的，陳述了關(guān)于自然數(shù)世界的事實(shí)，所以它不是空洞的純形式。
再次，對(duì)于弗雷格來(lái)說(shuō)，作為一門具有實(shí)質(zhì)性內(nèi)容的科學(xué)，邏輯學(xué)是描述性的，而不是規(guī)范性的，更不是思想的形式。在他看來(lái)，邏輯之所以看起來(lái)“規(guī)定”了我們?nèi)绾嗡伎嫉脑瓌t，是因?yàn)槲覀兊乃枷胧顷P(guān)于實(shí)在的，如果一門科學(xué)確定地描述了現(xiàn)實(shí)的客觀規(guī)律，那我們的思想就不可避免地要遵循這些規(guī)律。在這個(gè)意義上，任何描述性的科學(xué)，不管是物理學(xué)還是幾何學(xué)，都規(guī)范著我們的思想，只是程度不同而已。如果我們思考物理對(duì)象，那就必須遵循已知的物理學(xué)規(guī)律，離開這些規(guī)律，例如設(shè)想一個(gè)人左腳踩著右腳向上爬，或者向山上流的水，那被思想的就不再是物理對(duì)象，物理規(guī)律也就不再左右你的思想。如果更進(jìn)一步，還可設(shè)想一個(gè)三角形，它的內(nèi)角之和不是180°，只要把這個(gè)三角形從平面放到一個(gè)球面上，此時(shí)你所思考的，已經(jīng)不是歐氏幾何的對(duì)象，歐氏幾何的規(guī)律也不再對(duì)你有效。當(dāng)然，此時(shí)你還是必須遵循非歐幾何的那些定律。
將這個(gè)過(guò)程進(jìn)行下去，我們能否設(shè)想一個(gè)不等于自身的對(duì)象呢？或者一個(gè)不能用數(shù)去數(shù)的東西呢？弗雷格認(rèn)為這是不可能的，因?yàn)檫@與一些最為基本的規(guī)律相違背，這些規(guī)律是所有“能被思考的”對(duì)象都必須遵守的，這就是邏輯規(guī)律。
所以，作為一門描述性的科學(xué)，邏輯對(duì)思想的影響并不是因?yàn)樗c思維有著什么特殊的關(guān)系。如果一定要認(rèn)為邏輯是有關(guān)思維規(guī)則的科學(xué)，那同樣可以說(shuō)物理學(xué)、幾何學(xué)也是如此。真正讓邏輯顯得特殊的是它的普遍性，我們可以思考非物理的對(duì)象，甚至思考非歐幾何的對(duì)象，但不能思考非邏輯的，即不能思想的對(duì)象。
麥克法蘭注意到了弗雷格對(duì)邏輯規(guī)律這兩種解讀的不同態(tài)度：是作為描述性的普遍邏輯規(guī)律決定了它們對(duì)思想也是規(guī)范性的，但是似乎又認(rèn)為這兩種解讀可以分離開來(lái)，成為平行的兩個(gè)向度。但是我們非常懷疑弗雷格會(huì)接受這樣的解讀，因?yàn)樗冀K強(qiáng)調(diào)，真是一回事，對(duì)真的把握是另一回事。麥克法蘭需要謹(jǐn)慎處理的另一個(gè)問(wèn)題是，弗雷格的思想很可能與康德所說(shuō)的思想不是同一個(gè)概念。(25)
總結(jié)起來(lái)，在當(dāng)代思想中有兩種邏輯的觀念有著廣泛影響，一種認(rèn)為邏輯是形式的，與對(duì)象和事實(shí)無(wú)涉，邏輯命題對(duì)現(xiàn)實(shí)世界無(wú)所言說(shuō)。一種認(rèn)為邏輯是普遍的，但有自己的對(duì)象和內(nèi)容，對(duì)實(shí)在有所言說(shuō)，而且那些邏輯命題是所有可思想的對(duì)象都必須遵守的。
我們還論證說(shuō)，這兩種邏輯觀念的背后是兩種哲學(xué)立場(chǎng)的分歧，這就是當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)中的物理主義和實(shí)在論立場(chǎng)。有一點(diǎn)微妙的是，在物理主義哲學(xué)前提下，邏輯的普遍性意味著它是形式的，而物理主義哲學(xué)又是我們時(shí)代的主流思想，所以這兩種邏輯觀念的區(qū)分不是很引人注目。但它還是沒(méi)有逃過(guò)那些敏銳的思想者的視線。
二、哥德爾的邏輯觀
“哥德爾的邏輯構(gòu)想，是弗雷格所設(shè)想的邏輯觀念的自然的發(fā)展?！?26)如果這是對(duì)的，那至少說(shuō)明，弗雷格的邏輯觀念，雖然與主流哲學(xué)的把邏輯視為純形式的相矛盾，但并不是一個(gè)孤立的立場(chǎng)。相反，由于哥德爾與弗雷格一樣，致力于為數(shù)學(xué)奠定一個(gè)牢靠的基礎(chǔ)，這種立場(chǎng)在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中的影響非但不像其在分析哲學(xué)中的那樣逐漸消退，反而是日益地得到加強(qiáng)。
為了證明這個(gè)論題，我們希望說(shuō)明：(1)與弗雷格一樣，哥德爾認(rèn)為邏輯學(xué)是一門描述性的科學(xué)，它有自身的研究對(duì)象，這些對(duì)象是客觀世界的一部分，而且不是屬于物理，或者說(shuō)感官可以知覺的那一部分。(2)邏輯和數(shù)學(xué)命題的本性仍然是分析的，無(wú)須借助康德意義上的直觀而認(rèn)識(shí)它們。(3)哥德爾是弗雷格意義上的一位邏輯主義者，即，他也同意數(shù)學(xué)可以建立在上述意義的邏輯之上。
這最后一點(diǎn)并不是必需的，因?yàn)檫@不是弗雷格邏輯觀念的必然結(jié)論。但這個(gè)額外的收獲卻與當(dāng)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究密切相關(guān)。正如我們稍后將會(huì)看到的，弗雷格邏輯主義的所謂“失敗”被深深地誤解了，而且由于不能超出這種誤解，當(dāng)代的新弗雷格主義者不可能是“真正的”弗雷格主義者。即使我們真的能證明休謨?cè)瓌t的邏輯命題的地位，也不能完成弗雷格將全部數(shù)學(xué)置于邏輯之上的宏大目標(biāo)。
在已發(fā)表的著作中，哥德爾對(duì)邏輯觀念的論述不多，且比較零散，最為明確的一次是在1944年的《羅素的數(shù)理邏輯》中：
數(shù)理邏輯無(wú)非是形式邏輯的精確的與完全的表述，它有著相當(dāng)不同的兩種面貌。一方面，它是數(shù)學(xué)的一個(gè)部門，處理類、關(guān)系、符號(hào)的組合等等，而不是數(shù)、函數(shù)、幾何圖形等等。另一方面，它是先于其他科學(xué)的一門科學(xué)，包含著所有科學(xué)底部的那些思想和原則。(27)
除此之外，王浩記錄了他在1975年的一段更為清楚的表述：
邏輯是關(guān)于形式的東西的理論。它包括集合論和概念論。初等(或謂詞)邏輯、非初等邏輯和集合論之間的區(qū)別主要是主觀的區(qū)別。主觀的區(qū)別依賴于心靈特殊的情形。形式的東西與心靈無(wú)關(guān)。因此，什么是邏輯是一個(gè)客觀的問(wèn)題。客觀的邏輯蘊(yùn)涵是范疇性的。初等邏輯是有窮心靈的邏輯。你若是有無(wú)窮的心靈，你便有了集合論。比如，一萬(wàn)個(gè)元素的有窮論域上的集合論就是初等邏輯的一部分。請(qǐng)比較我的羅素篇。(28)
我們首先要面臨一個(gè)瑣碎而惱人的問(wèn)題，即哥德爾也使用“形式的”一詞。好在王浩對(duì)此做了明確的斷言：“對(duì)哥德爾而言，邏輯處理形式的——意思是普遍可應(yīng)用的——概念。從這個(gè)角度看，數(shù)、集合和概念都是形式的概念。”(29)形容詞“形式的”修飾概念，那才是邏輯的對(duì)象，而且形式的只不過(guò)是普遍的另一種表述而已。這正與弗雷格所說(shuō)的相一致。
這兩段論述有所差別，反映了哥德爾思想在30年中的變化。但我們也有理由相信，它們所表達(dá)的基本立場(chǎng)是一致的。
首先可以確定的是，對(duì)哥德爾來(lái)說(shuō)集合論是邏輯的一部分。1944年的表述中，第二方面所指的顯然是謂詞邏輯(30)，因?yàn)樗S后提到，正是在這個(gè)方面，先是萊布尼茨設(shè)想，然后由弗雷格實(shí)現(xiàn)了?？墒?，要想說(shuō)明第一個(gè)方面指的是(至少包括)集合論，我們必須首先搞清“類”與概念以及集合的關(guān)系。
根據(jù)王浩的報(bào)告，哥德爾對(duì)類的理解經(jīng)歷了一個(gè)深刻的變化。在1944年的表述中，哥德爾把類理解為與概念同樣基本的東西：“類和概念也可以被設(shè)想為實(shí)在的對(duì)象，就是說(shuō)，類可以被設(shè)想為‘事物之復(fù)多’或由多數(shù)事物組成的結(jié)構(gòu)，而概念可以被設(shè)想為獨(dú)立于我們的定義和構(gòu)造而存在的事物的性質(zhì)和關(guān)系?！边@樣一個(gè)類的概念是包含集合在內(nèi)的，每個(gè)集合都是一個(gè)類，但有些類，例如“所有集合”構(gòu)成的類，不是集合，否則就會(huì)出現(xiàn)羅素悖論那樣的矛盾。這樣，“處理類、關(guān)系、符號(hào)的組合等等”的數(shù)學(xué)部門就至少包含集合論在內(nèi)。從另一個(gè)方面也可以證實(shí)這種看法，哥德爾在構(gòu)造他的L來(lái)證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的一致性時(shí)，使用了NBG系統(tǒng)而不是通常的ZF，而在NBG中，初始的對(duì)象有兩種——類與集合。這當(dāng)然有技術(shù)上的考慮[如索洛維(Solovay)和庫(kù)能(Kunen)所指出的]，但同樣也可能有哲學(xué)上的原因，如帕森斯所說(shuō)的：“這一觀點(diǎn)(即集合的性質(zhì)對(duì)于集合論來(lái)說(shuō)是初始的)可能反映在哥德爾(在其證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)一致性的論文中)選用帶有類變?cè)目蚣苓@一點(diǎn)上?！?31)
第二個(gè)需要解釋的問(wèn)題是，謂詞邏輯顯然可以用“純形式”的觀點(diǎn)加以解釋，而集合論則顯然不能，是什么樣的內(nèi)在聯(lián)系使這兩者包含于同一門學(xué)科中？1975年的表述給出了這樣的暗示：它們之間的區(qū)別僅僅是“主觀的”，是由于心靈的能力不同而造成的。在哥德爾看來(lái)，經(jīng)驗(yàn)主義者把邏輯的作用限制于推理，限制于從一些命題過(guò)渡到另一些命題，而不是去陳述命題。因此，在這種限制下，可以用“直接關(guān)涉有窮心靈的推理的形式顯明性來(lái)定義邏輯”，這的確可以涵蓋謂詞邏輯的部分，而且他自己的謂詞邏輯的完全性定理肯定了形式推理對(duì)經(jīng)驗(yàn)主義的這種邏輯觀念的充分性。
但哥德爾同時(shí)指出，如果邏輯僅僅是推理規(guī)則而不是描述命題，那量詞的引入就不是必須的：“我們引進(jìn)量詞是因?yàn)檎Z(yǔ)言是關(guān)于什么東西的——我們把命題看成是談?wù)搶?duì)象的。我們?nèi)舨徽務(wù)搶?duì)象，量詞就不是必要的，但我們無(wú)法想象這點(diǎn)?！倍硪环矫妫皩?duì)于無(wú)窮的心靈來(lái)說(shuō)，集合論公理也是推理規(guī)則”(32)?？蛇@是什么意思呢？
首先，初等邏輯和數(shù)學(xué)是集合論的某種“限制”。如上引文所說(shuō)的，把集合論限制在一個(gè)有窮的論域上，它就是一階謂詞邏輯的一部分；限制在一個(gè)可數(shù)的論域上，它就相當(dāng)于一階算術(shù)理論。另一方面，集合論也可以被看作是有窮推理規(guī)則的推廣：
如果一個(gè)人不考慮有窮和無(wú)窮在這方面的區(qū)別，那么就存在一種更簡(jiǎn)單的同時(shí)也是更深刻的對(duì)集合論(由此也是對(duì)數(shù)學(xué)的)的解釋。即，在個(gè)體數(shù)量有窮的情況下，羅素的綱要，即關(guān)于類的命題可以被解釋為關(guān)于它們的元素的命題，就成為顯而易見地真的了?！?dāng)然，通過(guò)對(duì)這種過(guò)程的迭代，我們可以得到類的類，等等，這樣得到的邏輯系統(tǒng)就像簡(jiǎn)單類型論，只是這種情況下類型的混合會(huì)是可能的了。這樣，公理化集合論就成為這種模式在無(wú)窮個(gè)體或集合構(gòu)造過(guò)程的無(wú)窮迭代情況下的推廣。(33)
1944年的表述中沒(méi)有直接提到“概念”作為邏輯的對(duì)象，更沒(méi)有明確把概念論作為邏輯的一個(gè)部分。但我們有理由相信，1944年表述中的類既包括集合(以上論述已經(jīng)明確了這一點(diǎn))，也間接涉及了概念。綜合1975年表述和王浩的解讀，我們猜想大致的圖景是這樣的：首先，類是概念的“適域”，每個(gè)概念對(duì)應(yīng)著一個(gè)類，如果這個(gè)類恰好是集合，則它就是這個(gè)概念的外延。羅素悖論告訴我們，并非每個(gè)概念都有外延。其次，哥德爾對(duì)類的理解經(jīng)歷了一個(gè)重大變化。在他的早期，作為概念的適域的類和概念本身是一樣實(shí)在的客觀實(shí)體。但是最遲在1975年，哥德爾開始認(rèn)為那些不是集合的類(真類)是不真實(shí)的對(duì)象，它自身什么也不是。它不過(guò)是一種派生的、混雜的便利手段，是為了便利地談?wù)摳拍畹哪承┓矫娑M(jìn)的，它不能被當(dāng)作單個(gè)的對(duì)象。
在整個(gè)1944年的表述中，哥德爾幾乎總是把類和概念并舉，并提出“建立一種關(guān)于作為客觀存在實(shí)體的類和概念的一致理論”的設(shè)想，甚至認(rèn)為“這是數(shù)理邏輯的現(xiàn)實(shí)發(fā)展所采取的道路，也是羅素自己在其工作更有建設(shè)性的部分所不得不進(jìn)入的道路”。這說(shuō)明，在早期，哥德爾把關(guān)于類的理論與概念論視為平行的理論，前者涵蓋了集合論，對(duì)應(yīng)于概念論中那些其適域是集合的部分。
但是，后期的哥德爾不再相信“內(nèi)涵的”和“外延的”東西是完全對(duì)應(yīng)的，可以類比的。類是從外延的角度對(duì)概念的理解。但是，一方面，不同的概念可以有相同的適域，即對(duì)應(yīng)同一個(gè)類，例如分?jǐn)?shù)這個(gè)概念和有理數(shù)這個(gè)概念。另一方面，我們并不總是清楚某個(gè)類對(duì)應(yīng)的那個(gè)概念的內(nèi)涵，例如，V。所以，如果類不能唯一地確定概念，也不能幫助澄清概念的內(nèi)涵，那類的理論就不再與概念論平行。又因?yàn)閺耐庋由现v類是不一致的(羅素悖論)，所以離開概念論的類不能成為真正的對(duì)象。內(nèi)涵和外延的不對(duì)稱，成為哥德爾放棄把類視為真實(shí)對(duì)象的根本原因。
集合論取代類的理論，代表了從外延角度對(duì)概念的理解，但它從根本上不再是與概念論平行的理論。一方面，與類一樣，同一集合可能對(duì)應(yīng)著不同的概念，所以類似于外延公理的東西在概念論中可能不成立；另一方面，哥德爾甚至設(shè)想，可能有這樣的集合，它不對(duì)應(yīng)任何的概念。雖然他認(rèn)為，一個(gè)完備的集合論和一個(gè)完備的概念論合在一起能夠證明每個(gè)集合都對(duì)應(yīng)著一個(gè)概念，但這并不是一個(gè)顯然的事實(shí)。
這一切導(dǎo)致了建立一個(gè)概念論的必要性，也成為哥德爾所認(rèn)為的邏輯學(xué)的一個(gè)核心任務(wù)，這是哥德爾晚年思想的一個(gè)重要方面?？上У氖牵m然集合論遠(yuǎn)非完備，但至少有了一個(gè)合理的公理系統(tǒng)，而且這個(gè)系統(tǒng)對(duì)建立絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)也是足夠的。與之相比，哥德爾對(duì)概念論的設(shè)想還只是一個(gè)模糊的雛形，甚至連一條明確的公理都不能確定。不過(guò)哥德爾也多次暗示，這樣的概念理論一旦建立，會(huì)給我們帶來(lái)豐富的成果。例如，司寇侖發(fā)現(xiàn)，每個(gè)自然數(shù)理論都存在一個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)模型，如果我們只有外延的手段，這是一個(gè)麻煩。但如果能有一個(gè)像樣的概念論，問(wèn)題就不存在了，我們總還是只有一個(gè)自然數(shù)的概念。
無(wú)論如何，以上有關(guān)哥德爾邏輯觀念的討論足以說(shuō)明(1)，即，與弗雷格一樣，哥德爾不認(rèn)為邏輯是純粹的形式，集合論包含在邏輯之中。
那么，這樣的邏輯對(duì)于哥德爾來(lái)說(shuō)是否還是分析的呢？關(guān)于哥德爾的分析性概念，我們?cè)谖墨I(xiàn)中有較為詳細(xì)的論述，在此不打算展開。(34)關(guān)鍵的一點(diǎn)是，哥德爾始終把“概念”視為脫離語(yǔ)言而獨(dú)立存在的事物。經(jīng)驗(yàn)主義所理解的那種因語(yǔ)詞而真的分析性，哥德爾建議稱之為“重言的”，而因概念的意義為真的命題才真正是分析的。他承認(rèn)，羅素和懷特?！稊?shù)學(xué)原理》中的系統(tǒng)(因?yàn)榘思险?不是重言的，但的確在他的意義上是分析的。(35)由此不難得出結(jié)論說(shuō)，無(wú)論是邏輯中的集合論還是概念論，都是分析的。
最后一個(gè)問(wèn)題是，哥德爾是否會(huì)支持弗雷格的邏輯主義。在斷言邏輯包括集合論和概念論的同時(shí)，哥德爾又把數(shù)學(xué)與集合論聯(lián)系起來(lái)，認(rèn)為集合論為普通數(shù)學(xué)提供了基礎(chǔ)，而概念論是“超出”集合的東西：
長(zhǎng)久以來(lái)，邏輯和數(shù)學(xué)被混為一談。一旦我們?cè)诩吓c概念之間做出鮮明的區(qū)分并利用這種區(qū)分，我們就造就了幾項(xiàng)進(jìn)展。依照集合的迭代概念，我們有了普通數(shù)學(xué)的一個(gè)合理可信的基礎(chǔ)。為了總體上把握邏輯，超越集合就成為可理解的，并且事實(shí)上必要的一步。(36)
他有時(shí)甚至斷言集合論就等同于數(shù)學(xué)。所以，哥德爾是把數(shù)學(xué)作為邏輯的一部分來(lái)看待的。從這個(gè)意義上說(shuō)，哥德爾自然是一個(gè)邏輯主義者。而且在他看來(lái)，由于集合論是普通數(shù)學(xué)的一個(gè)合理可信的基礎(chǔ)，邏輯主義已經(jīng)取得了成功。讓弗雷格感到沮喪的羅素悖論從未對(duì)哥德爾造成困擾。一方面，他認(rèn)為這個(gè)悖論根本不是集合概念或數(shù)學(xué)內(nèi)在的矛盾，而是我們主觀上的模糊認(rèn)識(shí)造成的。另一方面，由于公理化集合論的出現(xiàn)，這個(gè)矛盾已經(jīng)以一種令人滿意的方式解決了。
這就引出了一個(gè)非常有趣的問(wèn)題，弗雷格為何不能接受對(duì)羅素悖論的解決而竟然放棄他花費(fèi)巨大心血的邏輯主義綱領(lǐng)？
為了拯救邏輯主義，至少有兩種策略可供選擇。一種是所謂的新邏輯主義(或新弗雷格主義)綱領(lǐng)，即放棄引起矛盾的基本原則五，把休謨?cè)瓌t作為初始的公理。所謂休謨?cè)瓌t指的是：
兩個(gè)概念是等數(shù)的當(dāng)且僅當(dāng)落入這兩個(gè)概念之下的對(duì)象之間有一一對(duì)應(yīng)。(8)
弗雷格在《算術(shù)基礎(chǔ)》(63節(jié))中提出這個(gè)原則后，又認(rèn)為它對(duì)于定義自然數(shù)是不夠的，主要的理由是所謂的凱撒問(wèn)題，即單憑這個(gè)原則我們不能確定“2=凱撒”是假的。為此，他(在《算術(shù)的基本原則》中)又引入了所謂的基本原則五(37)：
兩個(gè)概念的外延相等當(dāng)且僅當(dāng)落入這兩個(gè)概念之下的對(duì)象是相同的。(9)
但是，基本原則五要求：
每個(gè)概念都有一個(gè)集合作為它的外延。(10)
正是這一點(diǎn)導(dǎo)致了羅素悖論。所以，自然的想法是不使用引起悖論的基本原則五，只使用休謨?cè)瓌t來(lái)發(fā)展弗雷格的邏輯主義計(jì)劃。事實(shí)上，新邏輯主義在這一點(diǎn)上取得了很大的進(jìn)展。賴特(Wright)證明，僅從休謨?cè)瓌t即可導(dǎo)出二階皮亞諾算術(shù)的全部公理，而布羅斯則證明休謨?cè)瓌t很可能是一致的：如果數(shù)學(xué)分析是一致的，那么休謨?cè)瓌t也是一致的。有了這兩個(gè)結(jié)果，似乎邏輯主義可以建立在休謨?cè)瓌t之上，剩下的問(wèn)題只是確定休謨?cè)瓌t是一個(gè)邏輯公理。
但弗雷格本人似乎從未打算把休謨?cè)瓌t作為初始的邏輯公理來(lái)對(duì)待，否則他就不會(huì)再費(fèi)力去求助于基本原則五，更不會(huì)在羅素證明基本原則五是矛盾的以后，寧可放棄自己的邏輯主義計(jì)劃也不再重新考慮將休謨?cè)瓌t作為初始原理的可能性。麥克法蘭對(duì)此的解釋是：在弗雷格看來(lái)，休謨?cè)瓌t雖然不一定是矛盾的，但也不一定是一致的。它僅僅在如下意義上比基本原則五強(qiáng)：它尚未被證明是矛盾的。所以弗雷格懷疑的是休謨?cè)瓌t的真理性，而不是它作為邏輯命題的地位。
麥克法蘭這樣解釋的目的是為他對(duì)弗雷格的邏輯觀念的解讀作辯護(hù)，避免把弗雷格拒絕休謨?cè)瓌t作為初始邏輯公理這一點(diǎn)當(dāng)作反對(duì)他的理由，因?yàn)?，休謨?cè)瓌t顯然是一個(gè)“普遍的”命題，而麥克法蘭堅(jiān)持認(rèn)為弗雷格把普遍性作為邏輯的基本標(biāo)準(zhǔn)。
休謨?cè)瓌t當(dāng)然是弗雷格意義上的邏輯命題，在這一點(diǎn)上麥克法蘭是對(duì)的。但是如果弗雷格僅僅是因?yàn)閼岩尚葜冊(cè)瓌t的真理性而拒絕把它作為初始的原則，那就很難解釋他為何一開始就不考慮用休謨?cè)瓌t完成《算術(shù)基礎(chǔ)》的任務(wù)，而一定要以基本原則五作為初始原則。因?yàn)椋葜冊(cè)瓌t可由基本原則五(加上其他基本原則)推出，而那時(shí)(羅素悖論發(fā)現(xiàn)之前)弗雷格顯然相信基本原則五是真的。
我們認(rèn)為，唯一合理的解釋是，休謨?cè)瓌t對(duì)弗雷格來(lái)說(shuō)顯然是不夠的，不是不夠推出算術(shù)的那些基本原則，而是不夠?yàn)檎麄€(gè)數(shù)學(xué)奠定邏輯的基礎(chǔ)。為了后者，弗雷格需要一個(gè)更強(qiáng)的邏輯觀念，正如戈德法布正確指出的，他要求每個(gè)概念都有一個(gè)“清晰的外延”，因?yàn)?/font>
對(duì)于弗雷格來(lái)說(shuō)，所有量詞變?cè)加胁患酉拗频淖冇颉＜俣ㄟ@一點(diǎn)，同時(shí)假定“”是邏輯定律，立刻會(huì)得到弗雷格所要求的(每個(gè)概念都有一個(gè)清晰的外延)。如果有一個(gè)概念，那它的一個(gè)表達(dá)式能夠例示這個(gè)定律中的量詞；因此我們能邏輯地得出，對(duì)每一個(gè)對(duì)象，此概念對(duì)它或者成立或者不成立。這就是弗雷格“清晰邊界”所指的。(38)
所以，基本原則五也許對(duì)于建立算術(shù)的基礎(chǔ)不是必要的，但對(duì)于弗雷格的邏輯觀念來(lái)說(shuō)卻是必須的。從這個(gè)意義上說(shuō)，新弗雷格主義不太可能會(huì)讓弗雷格滿意。
另一個(gè)拯救邏輯主義困境的方法是公理化集合論，在策梅洛(Zermelo)等人的公理化集合論中，羅素悖論因?yàn)橄拗屏?10)(使用分離公理代替)而被排除，而且這種限制并沒(méi)有影響從這些基本原則定義出全部數(shù)學(xué)概念。所以集合論可以恰當(dāng)?shù)乇灰暈槿繑?shù)學(xué)的一個(gè)合理基礎(chǔ)。而且，弗雷格應(yīng)該是可以接受集合論是邏輯的，因?yàn)樗瞧毡榈脑瓌t，是所有“可思想的”對(duì)象的普遍規(guī)律。但是，與新邏輯主義的策略一樣，公理化集合論仍然不能滿足每個(gè)概念都有一個(gè)“清晰外延”的要求，所以仍然不能如弗雷格設(shè)想的那樣，從外延的角度實(shí)現(xiàn)一個(gè)令人滿意的概念理論。
從哥德爾的角度來(lái)看，弗雷格的錯(cuò)誤在于沒(méi)有區(qū)分“內(nèi)涵的”和“外延的”，他的目標(biāo)是有關(guān)概念的理論，但希望并堅(jiān)信采取外延的方法可以實(shí)現(xiàn)這樣一個(gè)令人滿意的結(jié)果。羅素悖論的發(fā)現(xiàn)無(wú)非是證明：概念不可能完全用外延的方法來(lái)刻畫。這種混淆在哥德爾之前是非常普遍的，所以王浩稱，當(dāng)哥德爾反復(fù)提醒他注意羅素悖論的兩種不同表達(dá)方式——用集合和用概念——之間的重要區(qū)別時(shí)，感到十分驚訝。
但是，弗雷格的這個(gè)“錯(cuò)誤”卻反映了他與哥德爾之間更大的一致：從本質(zhì)上講邏輯是處理概念的，單純的外延手段(集合論)即使能夠建立起全部的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也不應(yīng)該是邏輯的全部。而目前的情況是，我們離建立起全部數(shù)學(xué)基礎(chǔ)還有很遠(yuǎn)的路要走。
至此，我們?cè)诒竟?jié)中確立了如下事實(shí)：雖然弗雷格的邏輯觀念幾乎被主流哲學(xué)所遮蔽，但絕非是一種孤立的立場(chǎng)。哥德爾有關(guān)邏輯的觀點(diǎn)是這種立場(chǎng)的深化和在一定意義上的哲學(xué)上的完成。以上事實(shí)(如果我們的理解，而不是通行的立場(chǎng)，是正確的話)，使我們對(duì)現(xiàn)代邏輯史的一些重要問(wèn)題有了合理的解釋，例如對(duì)邏輯主義的評(píng)價(jià)及其“失敗”和“失敗原因”的誤解；弗雷格對(duì)休謨?cè)瓌t作為初始真理的拒絕，等等。而在這之前，這些問(wèn)題幾乎總是處于混沌之中。
三、連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題——一個(gè)案例
作為方法論自然主義者，我們不認(rèn)為純粹的觀念的爭(zhēng)論有很大意義，除非這種爭(zhēng)論在邏輯和數(shù)學(xué)研究的實(shí)踐中真的發(fā)揮著作用。所以我們打算在最后一節(jié)將有關(guān)邏輯觀念的爭(zhēng)論與當(dāng)前邏輯(集合論)研究中的一些最新的重要成果聯(lián)系起來(lái)，以說(shuō)明我們有關(guān)邏輯觀念的討論并非只是哲學(xué)家的自我陶醉的游戲。事實(shí)上，正是接觸到這些引人注目的數(shù)學(xué)結(jié)果以后，我們才對(duì)當(dāng)前流行的邏輯觀念產(chǎn)生了疑問(wèn)，并從弗雷格和哥德爾那里找到了看似合理的答案。
如前所述，在集合論領(lǐng)域，我們已經(jīng)有了一個(gè)相對(duì)令人滿意的公理系統(tǒng)ZFC。通常的數(shù)學(xué)都可以在它之中發(fā)展出來(lái)。但有一個(gè)問(wèn)題卻是ZFC無(wú)能為力的，這個(gè)問(wèn)題就是“康托的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)(CH)是不是真的？”(39)因?yàn)楦绲聽柡涂贫鞣謩e在1938年和1963年證明：CH不是ZFC的定理，CH的否定也不是ZFC的定理。這意味著我們無(wú)法在這個(gè)“相對(duì)令人滿意的”公理系統(tǒng)ZFC中回答上述問(wèn)題！這種現(xiàn)象在集合論中被稱為“獨(dú)立性”現(xiàn)象，一個(gè)命題獨(dú)立于ZFC當(dāng)且僅當(dāng)它和它的否定都不是ZFC的定理。(40)
面對(duì)這個(gè)現(xiàn)實(shí)，本文討論的兩種邏輯觀念在此處也有著截然不同的立場(chǎng)，這也形成了當(dāng)代集合論研究的兩大流派。
形式主義者把ZFC視為一個(gè)形式系統(tǒng)，一個(gè)集合論語(yǔ)句S是真的當(dāng)且僅當(dāng)它是ZFC的定理，或者等價(jià)地說(shuō)，當(dāng)且僅當(dāng)它在ZFC的所有模型中都真。(41)這就是說(shuō)，所有滿足ZFC的東西都可以稱為集合。因此，從命題的角度看，形式主義把真等同于形式系統(tǒng)的證明。從集合概念的角度看，形式主義認(rèn)為所有ZFC的模型都可被視為一個(gè)集合宇宙，它們的地位是同等的，并沒(méi)有哪一個(gè)更特殊，更接近真實(shí)。站在這一立場(chǎng)上，連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題就是一個(gè)無(wú)意義的問(wèn)題，因?yàn)镃H及其否定既然都不是ZFC的定理，那它也就沒(méi)有真值，既不是真的，也不是假的。例如，科恩就說(shuō)：
……(選擇形式主義的立場(chǎng))這是一個(gè)有重大影響的選擇。其中最重要的影響就是承認(rèn)CH本身是無(wú)意義的，而CH也許是我們對(duì)不可數(shù)集合所能提出的第一個(gè)重要問(wèn)題。(42)
哥德爾主義者則會(huì)把ZFC看作是對(duì)那個(gè)客觀的集合宇宙V的一個(gè)并不完備的描述。由于ZFC的公理都是直觀上明顯的，所以每個(gè)ZFC的定理都是有關(guān)集合宇宙的一個(gè)真命題。但反過(guò)來(lái)卻不成立，不是每個(gè)有關(guān)集合的真語(yǔ)句都是ZFC的定理，CH即是一個(gè)典型的例子。作為一個(gè)清晰明白的集合論語(yǔ)句，CH在V中一定有一個(gè)真值，或者它為真或者它的否定為真。ZFC不能證明這一點(diǎn)不是說(shuō)明CH是無(wú)意義的，而是說(shuō)明我們對(duì)集合概念的那些總結(jié)在ZFC中的認(rèn)識(shí)還太模糊，而集合論研究的一個(gè)根本任務(wù)就是尋求新的公理以加強(qiáng)ZFC，從而確定像CH這樣的命題的真值。
……基于此處采取的立場(chǎng)，從已接受的集合論公理出發(fā)，一個(gè)有關(guān)康托猜想的不可判定性的證明(與一個(gè)對(duì)π的超超性的證明完全不同)決不是問(wèn)題的解決。……集合論概念和定理描述了一個(gè)完全確定的實(shí)在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的對(duì)它的不可判定性，只能意味著這些公理沒(méi)有完備地描述那個(gè)實(shí)在。這一信念絕非空想，因?yàn)橛锌赡苤赋鲆恍┓较颍谄渲心艿玫綄?duì)一些問(wèn)題的判定，而這些問(wèn)題對(duì)于通常的公理是不可判定的。(43)
在具體的研究中，形式主義者更看重通過(guò)力迫法所獲得的那些獨(dú)立性結(jié)果。這種方法是科恩在證明自己的定理時(shí)發(fā)明的，而且?guī)缀趿⒖叹捅憩F(xiàn)出強(qiáng)大的力量。例如，按照這種方法，我們從ZFC(甚至可以在其中加入更強(qiáng)有力的假設(shè)，如存在一個(gè)大基數(shù))的一個(gè)模型A出發(fā)，總能構(gòu)造出A的兩個(gè)[脫殊(generic)]擴(kuò)張模型M和N，ZFC的公理在M、N中都還是真的，但連續(xù)統(tǒng)假設(shè)在M中為真而在N中為假，也就是說(shuō)模型A上總存在著這樣的分叉模型。眾多的獨(dú)立性結(jié)果使得集合的世界看起來(lái)很無(wú)序，而且站在形式主義的立場(chǎng)上看，每個(gè)獨(dú)立性命題都是一個(gè)人類對(duì)其毫無(wú)所知的命題。[當(dāng)然，除了知道我們對(duì)其無(wú)知這一點(diǎn)。希拉(Shealah)曾說(shuō)，證明人類的無(wú)知也是一種榮耀。(44)]
哥德爾主義者也贊嘆力迫法的神妙，一個(gè)命題是獨(dú)立的，這也是有關(guān)集合概念的一個(gè)事實(shí)。只是在他看來(lái)，這個(gè)事實(shí)是在提醒我們對(duì)集合概念的理解是多么貧乏，我們多么需要豐富我們對(duì)這個(gè)客觀世界的知識(shí)，多么需要尋找新的公理來(lái)確定這些獨(dú)立命題的真值。
有一個(gè)確立像CH這種獨(dú)立命題真值的策略，它基于以下觀察：存在這樣的模型M，“一個(gè)語(yǔ)句在M中為真”這個(gè)事實(shí)對(duì)力迫法是“免疫的”。具體說(shuō)，假設(shè)還是從模型A出發(fā)，如果“語(yǔ)句S在M中為真”這句話本身在A中為真，則“語(yǔ)句S在M中為真”這句話在A的所有脫殊擴(kuò)張中都真。實(shí)際上，一階算術(shù)結(jié)構(gòu)就是這樣的模型：
重要的是，不論科恩的擴(kuò)張方法還是哥德爾的限制方法都不能影響算術(shù)命題在算術(shù)結(jié)構(gòu)中的真，因此對(duì)存在一個(gè)真正的數(shù)論模型的直觀尚未受到挑戰(zhàn)。(45)
我們把這種性質(zhì)稱為“脫殊不變性”。伍丁(Hugh Woodin)發(fā)現(xiàn)，如果假設(shè)適當(dāng)?shù)拇蠡鶖?shù)，二階算術(shù)的結(jié)構(gòu)也是脫殊不變的，因此在這樣的假設(shè)下，我們不能改變一個(gè)命題在二階算術(shù)結(jié)構(gòu)中的真。
由于CH是一個(gè)三階算術(shù)的命題，所以按照這個(gè)策略，只要再進(jìn)一步，找到使得三階算術(shù)結(jié)構(gòu)也是脫殊不變的那些假設(shè)，我們就能固定CH在三階算術(shù)結(jié)構(gòu)中的真值，從而“解決”連續(xù)統(tǒng)問(wèn)題。(46)
這個(gè)研究策略被稱為“局部”策略，因?yàn)榧词惯M(jìn)展到三階算術(shù)，也只是觸及集合宇宙的一個(gè)很低的層階；即使固定了CH的真值，對(duì)于整個(gè)集合宇宙的認(rèn)識(shí)也還是處于茫然之中。
另外一個(gè)策略是“全局”的，它看起來(lái)更為激動(dòng)人心，也更接近哥德爾對(duì)作為邏輯一部分的集合論的理解。這個(gè)策略始于所謂的內(nèi)模型計(jì)劃。
假設(shè)V是真實(shí)的集合宇宙，我們目前對(duì)它的認(rèn)識(shí)模糊不清。所以集合論學(xué)家的一個(gè)主要任務(wù)是考察：V到底是一個(gè)什么樣的結(jié)構(gòu)。哥德爾在1938年的證明中，提出了一個(gè)集合論模型L，L的結(jié)構(gòu)十分清晰，而且包括CH在內(nèi)的那些獨(dú)立性命題在L中都有一個(gè)確定的答案。因此我們就有理由猜想，L是否就是我們尋找的那個(gè)客觀的集合論宇宙呢？如果是，即如果V=L，則我們就達(dá)到了對(duì)集合概念的清晰認(rèn)識(shí)。但L有一個(gè)致命的弱點(diǎn)使其不可能成為V的候選：它不能容納大基數(shù)。
所謂內(nèi)模型計(jì)劃就是：構(gòu)造類似于L的模型，同時(shí)能夠容納大基數(shù)。這可以說(shuō)是當(dāng)代集合論最為艱深的部分，每次向一個(gè)更大的基數(shù)的邁進(jìn)都是一個(gè)艱難的旅程。但是伍丁最近的一個(gè)非常出人意料的發(fā)現(xiàn)，使得內(nèi)模型計(jì)劃來(lái)到了一個(gè)關(guān)鍵的時(shí)刻。在[16]中，伍丁證明，如果存在一個(gè)類似于L的模型M，它能容納一個(gè)超緊基數(shù)，那就存在一個(gè)模型U：(1)U可以容納已知的所有大基數(shù)；(2)U非常接近集合論宇宙V。伍丁自己將這個(gè)模型U稱為終極L。
如果集合論宇宙真的就是這個(gè)終極L，那么，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)就是真的。而且，所有通過(guò)力迫證明其為獨(dú)立的那些命題都能夠在大基數(shù)假設(shè)下獲得一個(gè)確定的真值。這就意味著我們“終結(jié)了(力迫的)獨(dú)立性時(shí)代”。
必須承認(rèn)，由于尚未獲得容納一個(gè)超緊基數(shù)的內(nèi)模型，所以終極L的設(shè)想還遠(yuǎn)未達(dá)到實(shí)現(xiàn)的程度。實(shí)際上，有很多邏輯學(xué)家甚至懷疑超緊基數(shù)的一致性，懷疑我們最終能找到它的內(nèi)模型。
但是，這些困難和問(wèn)題不是我們關(guān)心的要點(diǎn)。無(wú)論終極L的設(shè)想最終能否成功，它都至少表明：哥德爾的觀念，即作為邏輯學(xué)一部分的集合論不是一門純形式的科學(xué)，而是對(duì)某個(gè)客觀實(shí)在的描述，在實(shí)際的邏輯研究中確實(shí)發(fā)揮著作用。如果沒(méi)有這個(gè)信念，這些重要的結(jié)果就不可能獲得，因?yàn)樵谛问街髁x的邏輯觀念下這些問(wèn)題根本不會(huì)被提出，更不用說(shuō)去尋求它們的解答了。
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