兩千多年來,古希臘人創(chuàng)立的幾何學(xué),一直是人們認(rèn)識自然物體形狀的有力工具。經(jīng)典幾何學(xué)所描繪的都是由直線或曲線、平面或曲面、平直體或曲體所構(gòu)成的各種幾何形狀,它們是現(xiàn)實(shí)世界中物體形狀的高度抽象。天文學(xué)家們用這種幾何知識構(gòu)造了多種宇宙理論,建筑師們利用它設(shè)計(jì)出大量宏偉的建筑;以致于近代物理學(xué)的奠基者、偉大的科學(xué)家伽利略極其權(quán)威地?cái)嘌裕捍笞匀坏恼Z言是數(shù)學(xué),“它的標(biāo)志是三角形、圓和其他幾何圖形”。
然而事實(shí)上,傳統(tǒng)幾何學(xué)的功能并不是那么大的,它所描述的只是那些具有光滑性即可微性(可切性),至少是分段分片光滑的規(guī)則形體。這類形體在自然界里只占極少數(shù)。自然界里普遍存在的幾何形體大多數(shù)是不規(guī)則的、不光滑的、不可微的,甚至是不連續(xù)的。如蜿蜒起伏的山脈,曲折凸凹的海岸線,坑坑洼洼的地面,枝干縱橫的樹枝,團(tuán)塊交疊的浮云,孔穴交錯(cuò)的蛋糕……真是奇形怪狀,千姿百態(tài)。這些形狀和經(jīng)典幾何學(xué)所描述的形狀,真是大相徑庭。對于了解自然界的復(fù)雜性來講,歐幾里得幾何學(xué)是一種不充分、不具有普遍性的抽象。1975年冬天的一天,正在思索著現(xiàn)實(shí)世界真實(shí)幾何形象問題的法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特(Mandelbrot,B.B.)隨手翻閱他兒子的字典,注意到了拉丁字“fractus”,這個(gè)來自動詞frangere的形容詞含有破裂之意。他由此創(chuàng)立了“分形”(fractal)這個(gè)概念,并由此創(chuàng)立了“分形幾何理論”,從而把數(shù)學(xué)研究擴(kuò)展到了傳統(tǒng)幾何學(xué)無法涉足的那些“病態(tài)曲線”和“幾何學(xué)怪物”的領(lǐng)域。曼德爾布羅特說:“云朵不是球,山巒不是錐,海岸線不是圓,樹皮不光滑,閃電也不走直線?!狈中螏缀螌W(xué)所映射出的自然事物不是光滑無瑕、平坦規(guī)整的,而是凸凹不平、粗糙叢雜、扭曲斷裂、糾結(jié)環(huán)繞的幾何形體。
自然界的現(xiàn)象通常都發(fā)生在某種特征標(biāo)度上,如特征長度、特征時(shí)間等特征尺度上。科學(xué)家關(guān)于事物特征的描述最基本的莫過于問它有多大,持續(xù)多久。這都是依賴于標(biāo)度(尺度)的一些基本性質(zhì)。每種事物都有其特征尺度,例如天體物理學(xué)家描寫的宇宙結(jié)構(gòu),大約在數(shù)百萬光年的范圍上;生物學(xué)家認(rèn)識的微生物的結(jié)構(gòu)大約有微米的長度;物理學(xué)家研究的夸克,約在10-13厘米的數(shù)量級上。每一個(gè)具體事物,都與特定的尺度相連系。幾厘米長的昆蟲與幾米、十幾米大小的巨獸在形態(tài)、結(jié)構(gòu)上必然極不相同,否則它們就無法生存和繁衍?!冻o·卜居》中說:“夫尺有所短,寸有所長”。這也是說事物都有其自己的特征尺度,要用適宜的尺去測度。用寸來量度細(xì)菌,用尺來量度萬里長城,前者失之過長,后者又嫌太短。所以,標(biāo)度是十分重要的。試圖對自然現(xiàn)象做定量描寫時(shí),就必須從特征尺度入手。一個(gè)好的理論模型,往往要涉及三個(gè)層次:首先是由特征尺度確定的基本層次;更大尺度的環(huán)境就用“平均場”和決定外力的“位勢”等描寫;更小尺度上的相互作用,則以“摩擦系數(shù)”、“擴(kuò)散系數(shù)”等得自于實(shí)驗(yàn)的“常數(shù)”來表征。如果要從理論上對這些系數(shù)做出闡明和推算,那就必須從物質(zhì)運(yùn)動的更深入細(xì)微的層次上進(jìn)行探討。
但是,分形幾何學(xué)卻否定了關(guān)于事物大小和久暫的區(qū)分的絕對標(biāo)度性,指出對于大自然的某些現(xiàn)象,去尋求特征尺度是毫無意義的。曼德爾布羅特研究過電子通訊中的噪音,研究過河水泛濫的數(shù)據(jù),還研究過棉花價(jià)格的漲落。通過這些研究,他開始形成實(shí)際的圖象。在他的關(guān)于現(xiàn)實(shí)的圖象里竟然沒有二分法的位置,無法把微小的變化與宏大的變化分離開來,而是把它們緊緊地聯(lián)系在一起。他所尋找的圖象,無所謂小尺度和大尺度的差異,而是超越一切尺度;它不是左和右的對稱、上和下的對稱,而是大尺度與小尺度之間的對稱。曼德爾布羅特把1900年以來棉花價(jià)格的數(shù)據(jù)通過計(jì)算機(jī)處理,確實(shí)找到了他所追求的驚人的結(jié)果。那些從正態(tài)的誤差分布觀點(diǎn)看來產(chǎn)生偏離的數(shù),從尺度觀點(diǎn)看卻發(fā)現(xiàn)了對稱。每一天的價(jià)格變化曲線與每一個(gè)月的價(jià)格變化曲線完全匹配。雖然其間經(jīng)歷了兩次世界大戰(zhàn)和一次經(jīng)濟(jì)大蕭條,但在60年的周期里,竟然有價(jià)格的變異度不變的基本規(guī)律。在極為無序的大量數(shù)據(jù)的內(nèi)部,竟然存在著如此出人預(yù)料的序,完全具有任意性的數(shù)據(jù)竟然被一條規(guī)律所支配,這個(gè)尺度問題看來具有自己的生命。這使曼德爾布羅特從對實(shí)際現(xiàn)象的研究轉(zhuǎn)向探索尺度現(xiàn)象。
曼德爾布羅特關(guān)于大自然過程里不規(guī)整花樣的研究以及他關(guān)于無窮復(fù)雜形象的探索最終匯流到一個(gè)交結(jié)點(diǎn)上,這就是自然事物的“自相似”這個(gè)特性?!按笞匀辉谒袠?biāo)度上同時(shí)起作用”。自然界的許多事物在其內(nèi)部的各個(gè)層次上都具有自相似的結(jié)構(gòu),在一個(gè)花樣內(nèi)部還有更小的同樣的花樣。自相似物體不具有特征標(biāo)度,它是跨越尺度的對稱性;它在不同測量尺度上看去差不多一樣,是一種“無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)”?!胺中巍本鸵馕吨白韵嗨啤?。一個(gè)幾何圖形,如果它的組成部分與圖形整體之間有某種相似性,就稱為“分形”?!白韵嗨啤钡乃枷朐谌祟愇幕母鱾€(gè)方面都有所反映。中國古代就有“袖里有乾坤,壺中有日月”和“一塵一世界”的說法。曼德爾布羅特曾引頌《格列佛游記》的作者J.斯韋夫特(J.Swift1667~1745)的一首打油詩:“博物學(xué)家看仔細(xì),大蚤身上小蚤棲;更有微蚤叮小蚤,遞相嚙噬無盡期?!钡聡苋巳R布尼茲(G.W.F.VonLeibniz1646~1716)也曾設(shè)想,在一滴水里包含著多姿多彩的世界,其中又有許多滴水,每滴水又各有新的世界。
海岸線就是天然存在的一個(gè)分形。曼德爾布羅特在一篇題為《英國的海岸線有多長》①的文章里做出這樣的結(jié)論:任何海岸線,在某種意義上都是無限長的;在另一種意義上說則決定于你所選用的尺的長度。因?yàn)樵诓煌瑯?biāo)度上描繪的海岸線圖,都顯示出相似的灣、岬分布。每一個(gè)大灣中都有小灣和小岬,那些小灣和小岬中又有更小的灣和岬;把這些灣和岬放大后和實(shí)際的海岸線仍然相似。正如曼德爾布羅特所說:“當(dāng)你初次在一張比例尺為十萬分之一的地圖看到的一個(gè)海灣或半島重新在一張比例尺為一萬分之一的地圖上被觀察時(shí),無數(shù)更小的海灣和更小的半島就變得清晰可見了。在一張比例尺為一千分之一的地圖上,更小更小的海灣和更小更小的半島又出現(xiàn)了?!彼裕闳绻靡幻椎某哐睾0稖y量,可以得出一個(gè)近似的長度,因?yàn)閷?shí)際上你已經(jīng)把小于一米的曲曲彎彎部分忽略掉了。如果改用一厘米的尺去量,一些小的曲折將被計(jì)入,得到的海岸線將會增長。隨著測度標(biāo)尺的變小,海岸線的長度會不斷加長,永遠(yuǎn)不會收斂于一個(gè)極限數(shù)值。其根本原因就在于海岸線是一個(gè)無窮嵌套的自相似結(jié)構(gòu)。
分形不僅在所有的標(biāo)度上都有結(jié)構(gòu),而且在所有標(biāo)度上都有相同的結(jié)構(gòu)。1904年,瑞典數(shù)學(xué)家科赫(Koch,Helge Von 1870~1924)構(gòu)造的“雪花曲線”,嚴(yán)格地顯示了分形這種有趣的特征。設(shè)想給出一個(gè)正三角形,再不斷進(jìn)行如下變換:在每邊正中的1/3邊上再造一個(gè)凸出來的正三角形,使原三角形變成六角形;在這個(gè)六角形的12條邊的每條邊中間的1/3上再凸出一個(gè)正三角形,變成一個(gè)4×12=48邊形;反復(fù)操作這種變換以至無窮(圖11),其邊緣愈來愈增添精細(xì)結(jié)構(gòu),得到一個(gè)由分形曲線(“科赫曲線”)圍成的科赫島,好似一個(gè)雪花??坪涨€是一條連續(xù)的環(huán),絕不自身相交;每次變換都會使“科赫島”的面積稍有增加,但總面積永遠(yuǎn)是有限的,并不比原三角形的面積大很多(小于原三角形的外接圓);但科赫曲線的總和卻是無窮長的。這似乎是一個(gè)矛盾的結(jié)果:島的面積有限,但周長無窮大;或者說一條無限長又絕不自交的曲線包圍成了一個(gè)有限的面積。
數(shù)學(xué)家們還構(gòu)造了許多類似的一維的、二維的和三維的分形結(jié)構(gòu)。如“康托爾灰塵”(圖12);在一條線段上去掉中間的1/3;然后對所余二段各去掉其中間的1/3;反復(fù)操作下去,剩下的即康托爾集合。它是一些點(diǎn)非點(diǎn)、線非線的東西,數(shù)量為無窮多,但總長度為零。另如“塞爾平斯基地毯”(圖13甲)和它的三維類似“孟格爾海綿”(圖13乙)。前者總面積為零而孔線長度無窮大;后者總體積為零而總的表面積無窮大。在當(dāng)時(shí)許多數(shù)學(xué)家的頭腦里,認(rèn)為這些曲線或形狀是“病態(tài)的”,似乎大自然不應(yīng)如此。但曼德爾布羅特卻由這些一層比一層精細(xì)的相似結(jié)構(gòu)中,窺視到了宇宙的秘密。