編輯本段分形幾何的由來

　　客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變。不少復(fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。　　客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y(cè)量。用尺來測(cè)量萬里長城，嫌太短；用尺來測(cè)量大腸桿菌，又嫌太長。從而產(chǎn)生了特征長度。還有的事物沒有特征尺度，就必須同時(shí)考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這叫做“無標(biāo)度性”的問題。　　如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運(yùn)動(dòng)。流體宏觀運(yùn)動(dòng)的能量，經(jīng)過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運(yùn)動(dòng)，同時(shí)涉及大量不同尺度上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要借助“無標(biāo)度性”解決問題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。

編輯本段分形幾何學(xué)的產(chǎn)生

　　在二十世紀(jì)七十年代，法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個(gè)問題這依賴于測(cè)量時(shí)所使用的尺度。　　如果用公里作測(cè)量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會(huì)被忽略；改用米來做單位，測(cè)得的總長度會(huì)增加，但是一些厘米量級(jí)以下的就不能反映出來。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個(gè)方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個(gè)突出的點(diǎn)，用直線把它們連起來，得到海岸線長度的一種下界。使用比這更長的尺度是沒有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒有意義的。在這兩個(gè)自然限度之間，存在著可以變化許多個(gè)數(shù)量級(jí)的“無標(biāo)度”區(qū)，長度不是海岸線的定量特征，就要用分維。　　數(shù)學(xué)家寇赫從一個(gè)正方形的“島”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無限曲線，其長度也不斷增加，并趨向于無窮大。以后可以看到，分維才是“寇赫島”海岸線的確切特征量，即海岸線的分維均介于1到2之間。　　這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質(zhì)中的流體運(yùn)動(dòng)和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對(duì)象。這些促使數(shù)學(xué)家進(jìn)一步的研究，從而產(chǎn)生了分形幾何學(xué)。　　電子計(jì)算機(jī)圖形顯示協(xié)助了人們推開分形幾何的大門。這座具有無窮層次結(jié)構(gòu)的宏偉建筑，每一個(gè)角落里都存在無限嵌套的迷宮和回廊，促使數(shù)學(xué)家和科學(xué)家深入研究。　　法國數(shù)學(xué)家曼德爾勃羅特這位計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)兼通的人物，對(duì)分形幾何產(chǎn)生了重大的推動(dòng)作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書，特別是《分形——形、機(jī)遇和維數(shù)》以及《自然界中的分形幾何學(xué)》，開創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支——分形幾何學(xué)。

編輯本段分形幾何的內(nèi)容

分形幾何學(xué)的基本思想

　　分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變。

維數(shù)

　　維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量，它是幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，對(duì)于更抽象或更復(fù)雜的對(duì)象，只要每個(gè)局部可以和歐氏空間對(duì)應(yīng)，也容易確定維數(shù)。但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。

分形理論

　　分形理論認(rèn)為維數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。

分維

　　維數(shù)和測(cè)量有著密切的關(guān)系，下面我們舉例說明一下分維的概念。　　當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用 0維的點(diǎn)來量它，其結(jié)果為無窮大，因?yàn)橹本€中包含無窮多個(gè)點(diǎn)；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是 0，因?yàn)橹本€中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會(huì)得到有限值哪？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會(huì)得到有限值，而這里直線的維數(shù)為 1(大于0、小于2)。　　對(duì)于我們上面提到的“寇赫島”曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是 0(此曲線中不包含平面)，那么只有找一個(gè)與“寇赫島”曲線維數(shù)相同的尺子量它才會(huì)得到有限值，而這個(gè)維數(shù)顯然大于 1、小于 2，那么只能是小數(shù)了，所以存在分維。經(jīng)過計(jì)算“寇赫島”曲線的維數(shù)是1.2618……。

編輯本段分形幾何學(xué)的應(yīng)用

　　分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會(huì)看見它不間斷地作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)(布朗運(yùn)動(dòng))，這是花粉在大量液體分子的無規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無導(dǎo)數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是 2，大大高于它的拓?fù)渚S數(shù) 1。　　在某些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近成績(jī)的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。　　自然界中更大的尺度上也存在分形對(duì)象。一枝粗干可以分出不規(guī)則的枝杈，每個(gè)枝杈繼續(xù)分為細(xì)杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學(xué)去測(cè)量。　　有人研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從 1公里到1000公里的無標(biāo)度區(qū)。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時(shí)，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個(gè)數(shù)量級(jí)的無標(biāo)度區(qū)，這已經(jīng)足夠了。分形存在于這中間區(qū)域。　　近幾年在流體力學(xué)不穩(wěn)定性、光學(xué)雙穩(wěn)定器件、化學(xué)震蕩反映等試驗(yàn)中，都實(shí)際測(cè)得了混沌吸引子，并從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中計(jì)算出它們的分維。學(xué)會(huì)從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)算分維是最近的一大進(jìn)展。分形幾何學(xué)在物理學(xué)、生物學(xué)上的應(yīng)用也正在成為有充實(shí)內(nèi)容的研究領(lǐng)域。

編輯本段分形幾何學(xué)的意義

　　上世紀(jì)80年代初開始的“分形熱”經(jīng)久不息。分形作為一種新的概念和方法，正在許多領(lǐng)域開展應(yīng)用探索。美國物理學(xué)大師約翰·惠勒說過：今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學(xué)上的文化人。由此可見分形的重要性。 中國著名學(xué)者周海中教授認(rèn)為：分形幾何不僅展示了數(shù)學(xué)之美，也揭示了世界的本質(zhì)，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)，對(duì)它的研究也極大地拓展了人類的認(rèn)知疆域。　　分形幾何學(xué)作為當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科，它的出現(xiàn)，使人們重新審視這個(gè)世界：世界是非線性的，分形無處不在。分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義。

分形幾何學(xué)的概述