基礎(chǔ)知識(shí)
1．?dāng)?shù)列的概念
定義1. 按照某一法則，給定了第1個(gè)數(shù)，第2個(gè)數(shù)，………，對(duì)于正整數(shù)有一個(gè)確定的數(shù)，于是得到一列有次序的數(shù)我們稱它為數(shù)列，用符號(hào)表示。數(shù)列中的每項(xiàng)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第項(xiàng)稱為數(shù)列的一般項(xiàng)，又稱為數(shù)列的通項(xiàng)。
定義2.當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為有限個(gè)時(shí)，稱這個(gè)數(shù)列為有限數(shù)列；當(dāng)一個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為無(wú)限時(shí)，則稱這個(gè)數(shù)列為無(wú)限數(shù)列。
定義3.對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)，即，這樣的數(shù)列稱為遞增數(shù)列；如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)，即，這樣的數(shù)列稱為遞減數(shù)列。
定義4.如果數(shù)列的每一項(xiàng)的絕對(duì)值都小于某一個(gè)正數(shù)，即，其中是某一個(gè)正數(shù)，則稱這樣的數(shù)列為有界數(shù)列，否則就稱為是無(wú)界數(shù)列。
定義5.如果在數(shù)列中，項(xiàng)數(shù)與具有如下的函數(shù)關(guān)系：，則稱這個(gè)關(guān)系為數(shù)列的通項(xiàng)公式。
2．等差數(shù)列
定義6.一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公差，常用字母表示。
等差數(shù)列具有以下幾種性質(zhì)：
?。?/span>1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：或；
?。?/span>2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：或；
（3）公差非零的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為的一次函數(shù)；
（4）公差非零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是關(guān)于不含有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；
?。?/span>5）設(shè)是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列；
?。?/span>6）設(shè)，是等差數(shù)列，則（是常數(shù)）也是等差數(shù)列；
?。?/span>7）設(shè)，是等差數(shù)列，且，則也是等差數(shù)列（即等差數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）；
?。?/span>8）若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，；
（9）設(shè)，，，則有；
?。?/span>10）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，記分別表示前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，則，；
?。?/span>11）對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，有，；
?。?/span>12）是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則；
?。?/span>13）其他衍生等差數(shù)列：若已知等差數(shù)列，公差為，前項(xiàng)和為，則
①．為等差數(shù)列，公差為；
②．（即）為等差數(shù)列，公差；
③．（即）為等差數(shù)列，公差為.
3．等比數(shù)列
定義7.一般地，如果有一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于現(xiàn)中一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做公比；公比通常用字母表示（），即。
等比數(shù)列具有以下性質(zhì)：
?。?/span>1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：或；
?。?/span>2）等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式：；
?。?/span>3）等比中項(xiàng)：；
?。?/span>4）無(wú)窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)公式：對(duì)于等比數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)無(wú)限增大時(shí)的極限，叫做這個(gè)無(wú)窮遞縮數(shù)列的各項(xiàng)的和，記為，即；
?。?/span>5）設(shè)是等比數(shù)列，則（是常數(shù)），仍成等比數(shù)列；
?。?/span>6）設(shè)，是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列；
?。?/span>7）設(shè)是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且則也是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分離出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；
?。?/span>8）設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，則是等差數(shù)列；
（9）若，則；特別地，當(dāng)時(shí)，；
?。?/span>10）設(shè)，，，則有；
?。?/span>11）其他衍生等比數(shù)列：若已知等比數(shù)列，公比為，前項(xiàng)和為，則
①．為等比數(shù)列，公比為；
②．（即）為等比數(shù)列，公比為；
典例分析
例1．設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差均為非負(fù)整數(shù)，項(xiàng)數(shù)不小于3，且各項(xiàng)之和為972，則這樣的數(shù)列有_____________個(gè)。
解：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為。由已知有，即。又因?yàn)?/span>，所以只可能取，又因?yàn)?/span>且均為整數(shù)，故；
若，由于為正數(shù)，則，即，故，這時(shí)有或；
若，則，這時(shí)有或。
例2．設(shè)，A是S的三元子集，滿足：A中元素可以組成等差數(shù)列，那么這樣的三元子集有___________個(gè)。
解：若成等差數(shù)列，則，從而首未兩項(xiàng)奇偶相同，且首未兩項(xiàng)一旦確定，那么等差數(shù)列也就隨之確定了。但是值得注意的是，雖然成等差數(shù)列時(shí)，也成等差數(shù)列，但它們所對(duì)應(yīng)的是同一個(gè)集合A={}。
將S按數(shù)的奇偶性分成與兩個(gè)子集。
從中取出兩個(gè)數(shù)作為等差數(shù)列的首未兩項(xiàng)，共有種不同的取法；
從中取出兩個(gè)數(shù)作為等差數(shù)列的首未兩項(xiàng)，共有種不同的取法；
所以共有+種不同的取法。
例3．設(shè)，A為至少含有兩項(xiàng)且公差為正的等差數(shù)列，其項(xiàng)都在S中，且添加S的其它元素于A后均不能構(gòu)成與A有相同公差的等差數(shù)列，求這種A的個(gè)數(shù)（這里只有兩項(xiàng)的數(shù)列也看作是等差數(shù)列）（1991年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試第一題）
分析：可先對(duì)特殊的n（如n=1,2,3）通過(guò)列舉法求出A的個(gè)數(shù)，然后總結(jié)規(guī)律，找出的遞推關(guān)系，從而解決問(wèn)題；也可以就A的公差時(shí)，討論A的個(gè)數(shù)。
解法一：設(shè)元素集中滿足條件的A有個(gè)，則，，……如此下去，可以發(fā)現(xiàn)。
事實(shí)上，比的A增加的公差為的1個(gè)，公差為的1個(gè)，……，公差為為偶數(shù))或為奇數(shù)）的增加1個(gè)，共增加個(gè)。
由的遞推公式可得個(gè)。
解法二：設(shè)A的公差為，則，分為兩種情況討論：
（1）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，公差為的A有個(gè)，當(dāng)時(shí)，公差為d的A有個(gè)，故當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，這種A共有
個(gè)；
?。?/span>2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，公差為的A有個(gè)，當(dāng)時(shí)，公差為d的A有個(gè)，故當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，這種A共有
個(gè)；
綜合（1）（2）得，所求的A共有個(gè)。
例4．將數(shù)列依次按每一項(xiàng)，兩項(xiàng)，三項(xiàng)，四項(xiàng)循環(huán)分成（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27）,（29，31，33），（35，37，39，41），（43）……，則第100個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)之和是__________________。
解：每循環(huán)一次記為一組，則第100個(gè)括號(hào)是第25組的第4個(gè)括號(hào)。而每組中第四個(gè)括號(hào)內(nèi)的各數(shù)之和構(gòu)成以72為首項(xiàng)，以80為公差的等差數(shù)列，故為所求。
例5．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，（），又，試求數(shù)列的首項(xiàng)與公差。（2000年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試第13題）
分析；題中兩個(gè)基本量中的首項(xiàng)和公差是所需求的。利用，，成等比數(shù)列和給定的極限可列出兩個(gè)方程，但需注意極限存在的條件。
解：設(shè)所求的首項(xiàng)為，公差為。因?yàn)?/span>，故；又因?yàn)?/span>成等比數(shù)列，故，即，即，化簡(jiǎn)得：，解得，而，故；
若，則；若，則；
但是存在，可知，于是不合題意，從而只有。于是由
解得，所以，
故數(shù)列的首項(xiàng)與公差分別為和。
例6．若復(fù)數(shù)列的通項(xiàng)公式為
?。?/span>1）將數(shù)列的各項(xiàng)與復(fù)平面上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，問(wèn)從第幾項(xiàng)起，以后所有的各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都落在圓的內(nèi)部；
?。?/span>2）將數(shù)列中的實(shí)數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的順序排成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)及所有項(xiàng)的和。
解：（1）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，。
要使點(diǎn)落在圓的內(nèi)部，
只需，得
即，故從第6項(xiàng)起，以后每一項(xiàng)都落在圓的內(nèi)部。
（2）要使數(shù)列中的項(xiàng)為實(shí)數(shù)，則，得，
因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
所以，且
故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的無(wú)窮遞縮數(shù)列，從而數(shù)列的所有項(xiàng)的和為：。
例7．已知整數(shù)，是1，2，3，……，n的一個(gè)排列，求證：不可能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，也不可能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。（2006年山東省第二屆夏令營(yíng)試題）
證明：若構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，，所以。
而，因?yàn)?/span>，所以
所以。
于是當(dāng)時(shí)，則，于是
所以，矛盾！
當(dāng)時(shí)，則， 又因?yàn)?/span>所以，從而。
所以，所以，從而，矛盾！
從而不可能構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列。
下證不可能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。
若構(gòu)成了一個(gè)等比數(shù)列，考慮最后三項(xiàng)。
有，所以。
而（，，所以；
當(dāng)時(shí)，顯然 ；
當(dāng)時(shí)，顯然 ；
當(dāng)時(shí)，有，知，所以即，所以或4；
當(dāng)時(shí)，只能為1，6，6或2，6，3，但這兩個(gè)都不是等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，，所以故；又因?yàn)?/span>，所以矛盾！
所以也不可能構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。
例8．正整數(shù)序列按以下方式構(gòu)成：為某個(gè)正數(shù)，如果能被5整除，則；如果不能被5整除，，則。證明：數(shù)列{}自某一項(xiàng)起，以后各項(xiàng)都不是5的倍數(shù)。（2006年山東省第二屆夏令營(yíng)試題）
證明：首先證明中一定在存在相鄰的兩項(xiàng)，它們都不是5的倍數(shù)。
（反證）若不然，數(shù)列中任意的兩項(xiàng)都是5的倍數(shù)。
若，則；
若5 ，則，從而；
所以矛盾！（因?yàn)槟硞€(gè)正數(shù)，不可能大于無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)）
從而中一定在相在相鄰的兩項(xiàng)，它們都不是5的倍數(shù)。
設(shè)都不是5的倍數(shù)，則，其中，
有
因?yàn)?/span>，所以，所以只能取，即只能取，這說(shuō)明不是5的倍數(shù)。
即從起以后每一項(xiàng)都不是5的倍數(shù)。
例9．將與105互質(zhì)的所有正整數(shù)從小到大排成數(shù)列，求這個(gè)數(shù)列的第三1000項(xiàng)。
解：設(shè)，，，
則；
；
；
；
；
；
，所以。
在1到105之間與105互質(zhì)的數(shù)有
[
]+[++]
－=105－（35+21+15）+（7+3+5）－1=48
設(shè)將與105互質(zhì)的數(shù)從小到大排列起來(lái)為數(shù)列，則
，，，
這是一個(gè)以48為周期的周數(shù)列，因?yàn)?/span>
所以；
而由于，，，，，，，
，；
所以=。
例10．?dāng)?shù)列的定義如下：，且當(dāng)時(shí)，有
現(xiàn)已知，求正整數(shù).（2006年山東省第二屆夏令營(yíng)試題）
解：由題設(shè)條件知，并由得當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；
由于，知n為偶數(shù)；
所以知為奇數(shù)；所以知為偶數(shù)；
知為奇數(shù)；知為偶數(shù)；
知為奇數(shù)；知為偶數(shù)；
知為偶數(shù)；知為奇數(shù)；
知為偶數(shù)；知為奇數(shù)；
知為偶數(shù)；
所以，所以。
