專題十六 橢圓、雙曲線、拋物線
1．已知雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)與拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于( )．
A. B．4 C．3 D．5
答案： A [易求得拋物線y2＝12x的焦點(diǎn)為(3,0)，故雙曲線－＝1的右焦點(diǎn)為(3,0)，即c＝3，故32＝4＋b2，∴b2＝5，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，∴雙曲線的右焦點(diǎn)到其漸近線的距離為＝.]
2．等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，C與拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝4 ，則C的實(shí)軸長為( )．
A. B．2 C．4 D．8
答案：C [拋物線y2＝16x的準(zhǔn)線方程是x＝－4，所以點(diǎn)A(－4，2)在等軸雙曲線C；x2－y2＝a2(a＞0)上，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得a＝2，所以C的實(shí)軸長為4.]
3．已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn)，以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為( )．[來源:學(xué)|科|網(wǎng)Z|X|X|K]
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案：D [因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝±x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝±b，y2＝b2，y＝±b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4×b×b＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1.]
4．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，且與該拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在x軸上方，若直線l的傾斜角為60°，則△OAF的面積為________．
解析 直線l的方程為y＝(x－1)，即x＝y＋1，代入拋物線方程得y2－y－4＝0，解得yA＝＝2(yB＜0，舍去)，故△OAF的面積為×1×2＝.[來源:Zxxk.Com]
答案
圓錐曲線與方程是高考考查的核心內(nèi)容之一，在高考中一般有1～2個選擇或者填空題，一個解答題．選擇或者填空題有針對性地考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用，主要針對圓錐曲線本身，綜合性較小，試題的難度一般不大；解答題主要是以橢圓為基本依托，考查橢圓方程的求解、考查直線與曲線的位置關(guān)系．
復(fù)習(xí)中，一要熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的基礎(chǔ)知識、基本方法，在抓住通性通法的同時，要訓(xùn)練利用代數(shù)方法解決幾何問題的運(yùn)算技巧．
二要熟悉圓錐曲線的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)掌握直線與圓錐曲線相關(guān)問題的基本求解方法與策略，提高運(yùn)用函數(shù)與方程思想，向量與導(dǎo)數(shù)的方法來解決問題的能力.
必備知識
橢圓＋＝1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(x，y)在橢圓上．
(1)離心率：e＝＝；
(2)過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦叫通徑，其長度為：.
雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)，點(diǎn)P(x，y)在雙曲線上．
(1)離心率：e＝＝；
(2)過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長度為：.
拋物線y2＝2px(p＞0)，點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)在拋物線上．
(1)焦半徑|CF|＝x1＋；
(2)過焦點(diǎn)弦長|CD|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，|CD|＝(其中α為傾斜角)，＋＝；
(3)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(4)以拋物線上的點(diǎn)為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切，以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓，必與準(zhǔn)線相切．
必備方法
1．求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法
(1)定義法
(2)待定系數(shù)法
①頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線，可設(shè)為y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避開對焦點(diǎn)在哪個半軸上的分類討論，此時a不具有p的幾何意義．
②中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓方程可設(shè)為＋＝1(m＞0，n＞0)．
雙曲線方程可設(shè)為－＝1(mn＞0)．
這樣可以避免討論和繁瑣的計(jì)算．
2．求軌跡方程的常用方法
(1)直接法：將幾何關(guān)系直接轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程．
(2)定義法：滿足的條件恰適合某已知曲線的定義，用待定系數(shù)法求方程．
(3)代入法：把所求動點(diǎn)的坐標(biāo)與已知動點(diǎn)的坐標(biāo)建立聯(lián)系．
(4)交軌法：寫出兩條動直線的方程直接消參，求得兩條動直線交點(diǎn)的軌跡．
注意：①建系要符合最優(yōu)化原則；②求軌跡與“求軌跡方程”不同，軌跡通常指的是圖形，而軌跡方程則是代數(shù)表達(dá)式；③化簡是否同解變形，是否滿足題意，驗(yàn)證特殊點(diǎn)是否成立等.
圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本，利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個重要命題點(diǎn)，在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn)．需熟練掌握．
【例1】?已知橢圓＋＝1與雙曲線－y2＝1的公共焦點(diǎn)F1，F2，點(diǎn)P是兩曲線的一個公共點(diǎn)，則cos∠F1PF2的值為( )．
A. B. C. D.
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] 結(jié)合橢圓、雙曲線的定義及余弦定理可求．
B [因點(diǎn)P在橢圓上又在雙曲線上，所以|PF1|＋|PF2|＝2，
|PF1|－|PF2|＝2.
設(shè)|PF1|＞|PF2|，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，
由余弦定理得cos∠F1PF2＝
＝＝.]
涉及橢圓、雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離問題時，要自覺地運(yùn)用橢圓、雙曲線的定義．涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時，常利用定義轉(zhuǎn)化到拋物線的準(zhǔn)線的距離．
【突破訓(xùn)練1】 如圖過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線與點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程是________．
解析
作BM⊥l，AQ⊥l，垂足分別為M、Q.則由拋物線定義得，|AQ|＝|AF|＝3，|BF|＝|BM|.又|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|.由BM∥AQ得，|AC|＝2|AQ|＝6，|CF|＝3.∴|NF|＝|CF|＝.
即p＝.拋物線方程為y2＝3x.
答案 y2＝3x
圓錐曲線的簡單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解，難度中檔．
【例2】以O為中心，F1，F2為兩個焦點(diǎn)的橢圓上存在一點(diǎn)M，滿足||＝2||＝2||，則該橢圓的離心率為( )．
A. B. C. D.
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] 作MN⊥x軸，結(jié)合勾股定理可求c，利用橢圓定義可求a.
C [過M作x軸的垂線，交x軸于N點(diǎn)，則N點(diǎn)坐標(biāo)為，并設(shè)||＝2||＝2||＝2t，根據(jù)勾股定理可知，||2－||2＝||2－||2，得到c＝t，而a＝，則e＝＝，故選C.]
離心率的范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于a，b，c的不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到關(guān)于a，c的不等式，由這個不等式確定e的范圍．
【突破訓(xùn)練2】 設(shè)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0,2)．若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________．
解析 拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為代入拋物線方程得1＝2p×，解得p＝，故點(diǎn)B的坐標(biāo)為，故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為＋＝.
答案
軌跡問題的考查往往與函數(shù)、方程、向量、平面幾何等知識相融合，著重考查分析問題、解決問題的能力，對邏輯思維能力、運(yùn)算能力也有一定的要求．
【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(a，b)(a>b>0)為動點(diǎn)，F1，F2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)．已知△F1PF2為等腰三角形．
(1)求橢圓的離心率e；
(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M是直線PF2上的點(diǎn)，滿足A·B＝－2，求點(diǎn)M的軌跡方程．
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] (1)根據(jù)|PF2|＝|F1F2|建立關(guān)于a與c的方程式．
(2)可解出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)(用c表示)，利用·＝－2可求解．
解 (1)設(shè)F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由題意可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c.
整理得22＋－1＝0，
得＝或＝－1(舍)，所以e＝.
(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得橢圓方程為3x2＋4y2＝12c2，
直線PF2方程為y＝(x－c)．
A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
消去y并整理，得5x2－8cx＝0，解得x1＝0，x2＝c，得方程組的解
不妨設(shè)A，B.
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A＝，
B＝(x，y＋c)．由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是A＝，
B＝(x，x)．由題意知A·B＝－2，即
·x＋·x＝－2，
化簡得18x2－16xy－15＝0.
將y＝代入c＝x－y，得c＝>0，
所以x>0.
因此，點(diǎn)M的軌跡方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
(1)求軌跡方程時，先看軌跡的形狀能否預(yù)知，若能預(yù)先知道軌跡為何種圓錐曲線，則可考慮用定義法求解或用待定系數(shù)法求解．
(2)討論軌跡方程的解與軌跡上的點(diǎn)是否對應(yīng)，要注意字母的取值范圍．
【突破訓(xùn)練3】如圖，動點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(－1,0)、B(2,0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB.設(shè)動點(diǎn)M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程；
(2)設(shè)直線y＝－2x＋m與y軸相交于點(diǎn)P，與軌跡C相交于點(diǎn)Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范圍．
解 (1)設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，顯然有x＞0，且y≠0.
當(dāng)∠MBA＝90°時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，±3)．
當(dāng)∠MBA≠90°時，x≠2，且∠MBA＝2∠MAB，
有tan∠MBA＝，即－＝，
化簡可得3x2－y2－3＝0.
而點(diǎn)(2，±3)在曲線3x2－y2－3＝0上，
綜上可知，軌跡C的方程為3x2－y2－3＝0(x＞1)．
(2)由消去y，可得
x2－4mx＋m2＋3＝0.(*)
由題意，方程(*)有兩根且均在(1，＋∞)內(nèi)．
設(shè)f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，
所以解得m＞1，且m≠2.
設(shè)Q、R的坐標(biāo)分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，
由|PQ|＜|PR|有xR＝2m＋，xQ＝2m－.
所以＝＝＝
＝－1＋.
由m＞1，且m≠2，有1＜－1＋＜7＋4 ，且－1＋≠7.所以的取值范圍是(1,7)∪(7,7＋4 )．
在高考中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是熱點(diǎn)，通常圍繞弦長、面積、定點(diǎn)(定值)，范圍問題來展開，其中設(shè)而不求的思想是處理相交問題的最基本方法，試題難度較大．
【例4】?已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，過右焦點(diǎn)F的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點(diǎn)O到l的距離為.
(1)求a，b的值；
(2)C上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐標(biāo)與l的方程；若不存在，說明理由．
[審題視點(diǎn)]
[聽課記錄]
[審題視點(diǎn)] (1)由直線l的斜率為1過焦點(diǎn)F，原點(diǎn)O到l的距離為可求解；(2)需分直線l的斜率存在或不存在兩種情況討論．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由條件＝＋可得P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合A、B、P在橢圓上列等式消元求解．
解 (1)設(shè)F(c,0)，當(dāng)l的斜率為1時，其方程為x－y－c＝0，O到l的距離為＝，故＝，c＝1.
由e＝＝，得a＝，b＝＝ .
(2)C上存在點(diǎn)P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有＝＋成立．由(1)知C的方程為2x2＋3y2＝6.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(i)當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為y＝k(x－1)．
C上的點(diǎn)P使＝＋成立的充要條件是P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)，且2(x1＋x2)2＋3(y1＋y2)2＝6，
整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4x1x2＋6y1y2＝6，
又A、B在橢圓C上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6，
故2x1x2＋3y1y2＋3＝0.①
將y＝k(x－1)代入2x2＋3y2＝6，并化簡得
(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，
于是x1＋x2＝，x1·x2＝，
y1·y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝.
代入①解得k2＝2，此時x1＋x2＝.
于是y1＋y2＝k(x1＋x2－2)＝－，即P.
因此，當(dāng)k＝－ 時，P，l的方程為x＋y－ ＝0；
當(dāng)k＝時，P，l的方程為x－y－＝0.
(ⅱ)當(dāng)l垂直于x軸時，由＋＝(2,0)知，C上不存在點(diǎn)P使＝＋成立．綜上，C上存在點(diǎn)P使＝＋成立，此時l的方程為x±y－＝0.
本小題主要考查直線、橢圓、分類討論等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理的運(yùn)算能力和解決問題的能力．此題的第(2)問以向量形式引進(jìn)條件，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將“形”、“數(shù)”緊密聯(lián)系在一起，既發(fā)揮了向量的工具性作用，也讓學(xué)生明白根與系數(shù)的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線問題的通性通法．
【突破訓(xùn)練4】 設(shè)橢圓E：＋＝1(a，b＞0)過點(diǎn)M(2，)，N(，1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求橢圓E的方程；
(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點(diǎn)A，B，且⊥？若存在，寫出該圓的方程；若不存在，說明理由．
解 (1)將M，N的坐標(biāo)代入橢圓E的方程得
解得a2＝8，b2＝4.
所以橢圓E的方程為＋＝1.
(2)假設(shè)滿足題意的圓存在，其方程為x2＋y2＝R2，其中0＜R＜2.
設(shè)該圓的任意一條切線AB和橢圓E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，當(dāng)直線AB的斜率存在時，令直線AB的方程為y＝kx＋m，①
將其代入橢圓E的方程并整理得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
由方程根與系數(shù)的關(guān)系得
x1＋x2＝－，x1x2＝.②
因?yàn)椤?，所?i>x1x2＋y1y2＝0.③
將①代入③并整理得(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0.
聯(lián)立②得m2＝(1＋k2)．④
因?yàn)橹本€AB和圓相切，因此R＝.
由④得R＝，所以存在圓x2＋y2＝滿足題意．
當(dāng)切線AB的斜率不存在時，易得x＝x＝，
由橢圓E的方程得y＝y＝，顯然⊥.
綜上所述，存在圓x2＋y2＝滿足題意．
講講離心率的故事
橢圓、雙曲線的離心率是一個重要的基本量，在橢圓中或在雙曲線中都有著極其特殊的應(yīng)用，也是高考常考的問題，通常有兩類：一是求橢圓和雙曲線的離心率的值；二是求橢圓和雙曲線離心率的取值范圍．
一、以離心率為“中介”
【示例1】?(2012·湖北)如圖，雙曲線－＝1(a，b＞0)的兩頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸兩端點(diǎn)為B1，B2，兩焦點(diǎn)為F1，F2.若以A1A2為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2，切點(diǎn)分別為A，B，C，D.則
(1)雙曲線的離心率e＝________；
(2)菱形F1B1F2B2的面積S1與矩形ABCD的面積S2的比值＝________.
解析 (1)由題意可得a ＝bc，∴a4－3a2c2＋c4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，∴e2＝，∴e＝.
(2)設(shè)sinθ＝，cosθ＝，＝＝＝＝e2－＝.
答案 (1) (2)
老師叮嚀：離心率是“溝通”a，b，c的重要中介之一，本題在產(chǎn)生關(guān)于a，b，c的關(guān)系式后，再將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，通過方程產(chǎn)生結(jié)論.
【試一試1】A，B是雙曲線C的兩個頂點(diǎn)，直線l與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，且與實(shí)軸垂直，若·＝0，則雙曲線C的離心率e＝________.
解析 不妨設(shè)雙曲線C的方程－＝1(a＞0，b＞0)，則A(－a,0)，B(a,0)．設(shè)P(x，y)，Q(x，－y)，
所以＝(a－x，－y)，＝(x＋a，－y)，
由·＝0，得a2－x2＋y2＝0.
又－＝1，所以－＝1，
即y2＝0恒成立，所以－＝0.[來源:學(xué)科網(wǎng)]
即a2＝b2，所以2a2＝c2.從而e＝.
答案 [來源:學(xué)科網(wǎng)]
二、離心率的“外交術(shù)”
【示例2】已知c是橢圓＋＝1(a ＞b＞0)的半焦距，則的取值范圍是( )．
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)[來源:學(xué),科,網(wǎng)]
C．(1，) D．(1， ]
解析 由＝＝＋e，又0＜e＜1，設(shè)f(x)＝＋x,0＜x＜1，則f′(x)＝1－＝.令y′＝0，得x＝，則f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝＋＝，f(0)＝1，f(1)＝1.∴1＜f(x)≤，故1＜≤.
答案 D
老師叮嚀：離心率“外交”在于它可以較好地與其他知識交匯，本題中，如何求\f(b＋c,a)的取值范圍？結(jié)合離心率及關(guān)系式a2＝b2＋c2，將待求式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的函數(shù)關(guān)系式，借助函數(shù)的定義域(即e的范圍)產(chǎn)生函數(shù)的值域，從而完成求解.
【試一試2】 (2012·江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線－＝1的離心率為，則m的值為________．
解析 由題意得m＞0，∴a＝，b＝.
∴c＝，由e＝＝，得＝5，解得m＝2.
答案 2
