本題改編自2014年白云區(qū)八年級上數(shù)學(xué)期末試卷
如圖，⊙O為△ABC的外接圓，∠BOC＝160°，AB＝AC，BE平分∠ABC，且分別交AC和⊙O于點D，E．
（1）求∠ADB的度數(shù)；
（2）求證：BC＝AD＋BD．
【原題】
2014年白云區(qū)八年級上數(shù)學(xué)期末試卷
原題圖
已知等腰△ABC，AB=AC，∠A=100°，
BD平分∠ABC并交AC于點D，
求證：BC=AD+BD
改編方法：
將△ABC置于圓中即可
【解法集錦】
方法一
輔助線：截取CH=AD
根據(jù)BD是角平分線，利用面積法易得AD/CD=AB/BC
等量代換得，CH/CD=AC/BC
證明△CDH∽△CBA
最終得到BD=BM
方法二
常規(guī)方法，截取BG=AB，作DH=AD
方法三
方法類似上圖，都是證明等腰三角形
方法四
本法比較巧妙，構(gòu)造輔助線，得△BGH≌△BAD
方法五
角平分線往兩邊作垂線
方法六
角平分線構(gòu)造平行線，得等腰三角形
方法七
證明△CDG≌△CDH
方法八
此法亦甚妙，延長BD，使得DF=AD，
證明∠F=30°，利用它所對的直角邊BG等于斜邊BF的一半，
再證明BG=BH=1/2BC，即可得到結(jié)論
方法九
方法比較常規(guī)
方法十
此法比較難想，延長BD，使得BH=BC，
再分別延長BA和CH交于點G，
醫(yī)德A，D，H，G四點共圓，
然后利用∠AGD=∠HGD，得所對的弦相等
方法十一
利用DB、DC為△ACG的角平分線，
得點D為內(nèi)心，即DG平分∠BGC，
再證明△ADG≌△FDG
此法亦甚妙，唯一利用了改編后的圖形“圓”，
延長AC和BO交于點F，易得∠F=30°，
取⊙O上一點G，使得BG=BO，
得△BOG為等邊三角形，再證明△BGC≌△AOF
【總結(jié)】
本題的關(guān)鍵是利用角平分線進(jìn)行構(gòu)造輔助線，大部分使用全等的知識，當(dāng)然也可以加入面積法與相似。
本題甚至可以不需要使用輔助線，利用高中三角函數(shù)和差化積的公式進(jìn)行求解，當(dāng)然，由于屬于高中的知識，在此不進(jìn)行拓展。
