課程解讀
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：
歸納、掌握三角形中的常見(jiàn)輔助線
二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：
1、全等三角形的常見(jiàn)輔助線的添加方法。
2、掌握全等三角形的輔助線的添加方法并提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。
三、考點(diǎn)分析：
全等三角形是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，是今后學(xué)習(xí)其他知識(shí)的基礎(chǔ)。判斷三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所給條件充足，則可直接根據(jù)相應(yīng)的公理證明，但是如果給出的條件不全，就需要根據(jù)已知的條件結(jié)合相應(yīng)的公理進(jìn)行分析，先推導(dǎo)出所缺的條件然后再證明。一些較難的證明題要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對(duì)集中起來(lái)，再進(jìn)行等量代換，就可以化難為易了。
典型例題
人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。
全等三角形輔助線
找全等三角形的方法：
（1）可以從結(jié)論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個(gè)角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；
（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形全等；
（3）可從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能確定哪兩個(gè)三角形全等；
（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。
三角形中常見(jiàn)輔助線的作法：
①延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；
②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；
③引平行線構(gòu)造全等三角形；
④作連線構(gòu)造等腰三角形。
常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：
（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。
例1：如圖，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。
思路分析：
1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應(yīng)用
2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長(zhǎng)短邊，又因?yàn)橛?/span>BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結(jié)合起來(lái)。
解答過(guò)程：
證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，
∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，
∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。
又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。
在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。
解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的逆命題在添加輔助線中的應(yīng)用不但可以提高解題的能力，而且還加強(qiáng)了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和不同知識(shí)領(lǐng)域的聯(lián)系，為同學(xué)們開(kāi)拓了一個(gè)廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過(guò)程中也蘊(yùn)含著化歸的數(shù)學(xué)思想，它是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。
（2）若遇到三角形的中線，可倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。
例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。
思路分析：
1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)。
2）解題思路：在證明三角形的問(wèn)題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點(diǎn)、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長(zhǎng)AD得全等三角形，從而問(wèn)題得證。
解答過(guò)程：
證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，連接BE。
又因?yàn)?/span>AD是BC邊上的中線，∴BD=DC
又∠BDE=∠CDA
ΔBED≌ΔCAD，
故EB=AC，∠E=∠2，
∵AD是∠BAC的平分線
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠E，
∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。
解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長(zhǎng)此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。
（3）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。
例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B+∠ADC=180°。
思路分析：
1）題意分析：本題考查角平分線定理的應(yīng)用。
2）解題思路：因?yàn)?/span>AC是∠BAD的平分線，所以可過(guò)點(diǎn)C作∠BAD的兩邊的垂線，構(gòu)造直角三角形，通過(guò)證明三角形全等解決問(wèn)題。
解答過(guò)程：
證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF。
在Rt△CBE和Rt△CDF中，
∵CE=CF，CB=CD，
∴Rt△CBE≌Rt△CDF，
∴∠B=∠CDF，
∵∠CDF+∠ADC=180°，
∴∠B+∠ADC=180°。
解題后的思考：
①關(guān)于角平行線的問(wèn)題，常用兩種輔助線；
②見(jiàn)中點(diǎn)即聯(lián)想到中位線。
（4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平行線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”
例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點(diǎn)，F是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連EF交BC于D，若EB=CF。
求證：DE=DF。
思路分析：
1）題意分析： 本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。
2）解題思路：因?yàn)?/span>DE、DF所在的兩個(gè)三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過(guò)添加輔助線進(jìn)行相等線段的等量代換：過(guò)E作EG//CF，構(gòu)造中心對(duì)稱(chēng)型全等三角形，再利用等腰三角形的性質(zhì)，使問(wèn)題得以解決。
解答過(guò)程：
證明：過(guò)E作EG//AC交BC于G，
則∠EGB=∠ACB，
又AB=AC，∴∠B=∠ACB，
∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，
∴EB=EG=CF，
∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，
∴DE=DF。
解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：
例5：△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。
思路分析：
1）題意分析：本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：作平行線。
2）解題思路：本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。形勢(shì)較為復(fù)雜，我們可以通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^(guò)O作BC的平行線。得△ADO≌△AQO。得到OD=OQ，AD=AQ，只要再證出BD=OD就可以了。
解答過(guò)程：
證明：如圖（1），過(guò)O作OD∥BC交AB于D，
∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，
又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，
∴∠ADO=∠AQO，
又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，
∴△ADO≌△AQO，
∴OD=OQ，AD=AQ，
又∵OD∥BP，
∴∠PBO=∠DOB，
又∵∠PBO=∠DBO，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，
∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=OB，
∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。
解題后的思考：
（1）本題也可以在AB上截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)法”。
（2）本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：
①如圖（2），過(guò)O作OD∥BC交AC于D，則△ADO≌△ABO從而得以解決。
④如圖（5），過(guò)P作PD∥BQ交AC于D，則△ABP≌△ADP從而得以解決。
小結(jié)：通過(guò)一題的多種輔助線添加方法，體會(huì)添加輔助線的目的在于構(gòu)造全等三角形。而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來(lái)實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的，體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變換的觀點(diǎn)可以看到，不論是作平行線還是倍長(zhǎng)中線，實(shí)質(zhì)都是對(duì)三角形作了一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形。
（5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目。
例6：如圖甲，AD∥BC，點(diǎn)E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
求證：CD=AD+BC。
思路分析：
1）題意分析： 本題考查全等三角形常見(jiàn)輔助線的知識(shí)：截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法。
2）解題思路：結(jié)論是CD=AD+BC，可考慮用“截長(zhǎng)補(bǔ)短法”中的“截長(zhǎng)”，即在CD上截取CF=CB，只要再證DF=DA即可，這就轉(zhuǎn)化為證明兩線段相等的問(wèn)題，從而達(dá)到簡(jiǎn)化問(wèn)題的目的。
解答過(guò)程：
證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙
∴△FCE≌△BCE（SAS），
∴∠2=∠1。
又∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠3=∠4。
在△FDE與△ADE中，
∴△FDE≌△ADE（ASA），
∴DF=DA，
∵CD=DF+CF，
∴CD=AD+BC。
解題后的思考：遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法：
截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；
補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。
1）對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個(gè)三角形中證明。
2）在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證明不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明。
小結(jié)：三角形
圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。
角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。
線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。
線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。
三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。
預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)
下一講我們就要進(jìn)入八下的學(xué)習(xí)了，八下的第一章是分式。
請(qǐng)同學(xué)們預(yù)習(xí)課本，并思考以下問(wèn)題。
1、分式的概念是什么？
2、分式的乘除法的運(yùn)算法則是什么？
同步練習(xí)
（答題時(shí)間：90分鐘）
這幾道題一定要認(rèn)真思考啊，都是要添加輔助線的，開(kāi)動(dòng)腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！
1、已知，如圖1，在四邊形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。
求證：∠BAD+∠BCD=180°。
2、已知，如圖2，∠1=∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于點(diǎn)D，AB+BC=2BD。
求證：∠BAP+∠BCP=180°。
3、已知，如圖3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB=AC+CD。
試題答案
1、分析：因?yàn)槠浇堑扔?/span>180°，因而應(yīng)考慮把兩個(gè)不在一起的角通過(guò)全等轉(zhuǎn)化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造直角三角形，可通過(guò)“截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法”來(lái)實(shí)現(xiàn)。
證明：過(guò)點(diǎn)D作DE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作DF⊥BC于點(diǎn)F，如圖1-2
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠DAE=∠DCF。
又∠BAD+∠DAE=180°，
∴∠BAD+∠DCF=180°，
即∠BAD+∠BCD=180°
2、分析：與1相類(lèi)似，證兩個(gè)角的和是180°，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補(bǔ)角，即證明∠BCP=∠EAP，因而此題適用“補(bǔ)短”進(jìn)行全等三角形的構(gòu)造。
證明：過(guò)點(diǎn)P作PE垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，如圖2-2
∴Rt△APE≌Rt△CPD(SAS)，
∴∠PAE=∠PCD
又∵∠BAP+∠PAE=180°。
∴∠BAP+∠BCP=180°
3、分析：從結(jié)論分析，“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”都可實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，即延長(zhǎng)AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。
證明：方法一（補(bǔ)短法）
延長(zhǎng)AC到E，使DC=CE，則∠CDE＝∠CED，如圖3-2
∴△AFD≌△ACD（SAS），
∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。
又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FDB＝∠B，
∴FD=FB。
∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD。
4、證明：（方法一）
將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，
在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE； ①
在△BDM中，MB+MD>BD； ②
在△CEN中，CN+NE>CE； ③
由①+②+③得：
AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE
∴AB+AC>BD+DE+EC
（方法二：圖4-2）
延長(zhǎng)BD交AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF、△GFC和△GDE中有：
AB+AF>BD+DG+GF ①
GF+FC>GE+CE ②
DG+GE>DE ③
由①+②+③得：
AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE
∴AB+AC>BD+DE+EC。
5、分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去
∴△ACD≌△EBD（SAS）
∴BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）
∴AB+AC>2AD。
6、分析：欲證AC=BF，只需證AC、BF所在兩個(gè)三角形全等，顯然圖中沒(méi)有含有AC、BF的兩個(gè)全等三角形，而根據(jù)題目條件去構(gòu)造兩個(gè)含有AC、BF的全等三角形也并不容易。這時(shí)我們想到在同一個(gè)三角形中等角對(duì)等邊，能夠把這兩條線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，只要說(shuō)明轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形以后的這兩條線段，所對(duì)的角相等即可。
思路一、以三角形ADC為基礎(chǔ)三角形，轉(zhuǎn)移線段AC，使AC、BF在三角形BFH中
方法一：延長(zhǎng)AD到H，使得DH=AD，連結(jié)BH，證明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。
通過(guò)證明∠H=∠BFH，得到BF=BH。
∴ AC=BH， ∠H=∠HAC
∵ EA=EF
∴ ∠HAE=∠AFE
又∵ ∠BFH=∠AFE
∴BH=BF
∴BF=AC
方法二：過(guò)B點(diǎn)作BH平行AC，與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，證明△ADC和△HDB全等即可。
小結(jié)：對(duì)于含有中點(diǎn)的問(wèn)題，通過(guò)“倍長(zhǎng)中線” 可以得到兩個(gè)全等三角形。而過(guò)一點(diǎn)作已知直線的平行線，可以起到轉(zhuǎn)移角的作用，也起到了構(gòu)造全等三角形的作用。
思路二、以三角形BFD為基礎(chǔ)三角形。轉(zhuǎn)移線段BF，使AC、BF在兩個(gè)全等三角形中
方法三：延長(zhǎng)FD至H，使得DH=FD，連接HC。證明△CDH和△BDF全等即可。
∴ △BFD≌△CHD(SAS)
∴ ∠H=∠BFH
∵ AE=FE
∴ ∠HAC=∠AFE
又∵ ∠AFE=∠BFH
∴ ∠H=∠HAC
∴ CH=CA
∴ BF=AC
方法四：過(guò)C點(diǎn)作CH平行BF，與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，證明△CDH和△BDF全等即可。 專(zhuān)題——構(gòu)造全等三角形解題
一、教學(xué)內(nèi)容：
專(zhuān)題——構(gòu)造全等三角形解題
1. 構(gòu)造全等三角形證明角相等及線段的垂直、相等及和差等關(guān)系．
2. 構(gòu)造全等三角形解決實(shí)際問(wèn)題．
二、知識(shí)要點(diǎn)：
全等三角形是初中幾何的重要內(nèi)容之一，在幾何證明題中有著極其廣泛的應(yīng)用．然而在許多情況下，給定的題設(shè)條件及圖形并不具有明顯的全等條件，這就需要我們認(rèn)真分析、仔細(xì)觀察，根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘潛在因素，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線，巧構(gòu)全等三角形．借助全等三角形的有關(guān)性質(zhì)，就會(huì)迅速找到證題途徑，直觀易懂，簡(jiǎn)捷明快．
三、考點(diǎn)分析：
三角形是最常見(jiàn)的幾何圖形之一，是后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)，是歷年中考命題的熱點(diǎn)，三角形全等的條件是三角形的一大重點(diǎn)．中考考查仍然是要求能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決比較簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題以及聯(lián)系比較緊密的知識(shí)考查雙基．從題型設(shè)計(jì)上看，由傳統(tǒng)的以填空題、選擇題為主轉(zhuǎn)向綜合應(yīng)用和自主探究的閱讀、探索等新穎題型、答案不唯一，具有開(kāi)放性和創(chuàng)新性．考查數(shù)學(xué)的分類(lèi)思想、方程思想以及轉(zhuǎn)化思想．
【典型例題】
題型一：證明線段的垂直
例1. 如圖所示，AD為△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于F，且有BF＝AC，FD＝CD，求證：BE⊥AC．
∵∠1＋∠2＝90°，
∴∠1＋∠C＝90°，
∴∠BEC＝180°－90°＝90°，
∴BE⊥AC．
評(píng)析：證明直角三角形全等時(shí)，可根據(jù)條件靈活選擇方法．
題型二：證明線段的相等
例2. 如圖所示，已知AB＝AD，AE＝AC，∠1＝∠2，求證：DE＝BC．
分析：要想證得∠B＝∠C，可觀察∠B與∠C所在的△ABE與△DCE是否全等，由已知難以證其全等．再觀察條件可以把∠B與∠C放在△ABD與△DCA中（需連結(jié)AD），可以利用三角形全等的條件SSS證明．
證明：連結(jié)AD．
【方法總結(jié)】
三角形全等說(shuō)理中，如果已知中沒(méi)有直接給出全等的三個(gè)所需條件，這時(shí)就需要根據(jù)已知條件去推導(dǎo)出所需條件，常遇下列幾種情況：
1. 利用平行線的性質(zhì)推導(dǎo)角的相等關(guān)系；
2. 利用垂直關(guān)系推導(dǎo)角的相等；
3. 利用邊和角的和差推導(dǎo)邊和角的相等；
4. 利用三角形內(nèi)角和的有關(guān)結(jié)論推導(dǎo)角的相等；
5. 運(yùn)用公共角、對(duì)頂角、公共邊等題目中隱含條件推導(dǎo)邊和角相等．
【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）
1. （2007年宜賓）如圖，將△BOD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°后得到△AOC，再過(guò)點(diǎn)O任意畫(huà)一條與AC、BD都相交的直線MN，交點(diǎn)分別為M和N．試問(wèn)：線段OM＝ON成立嗎？若成立，請(qǐng)進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
**6. 已知，如圖所示，等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B的平分線交AC于D，過(guò)C作BD的垂線交BD的延長(zhǎng)線于E．求證：BD＝2CE．
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