原文: https://betterexplained.com/articles/surprising-uses-of-the-pythagorean-theorem/
譯文: http://jakwings.is-programmer.com/posts/29536.html
勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理, a2 + b2 = c2）是非常有名的：如果一個(gè)公式可以像辛普森那樣，那么它必然會(huì)出名。
但是我們通常認(rèn)為這個(gè)公式只是應(yīng)用在三角形與幾何學(xué)中而已。但是再想想。只要涉及到平方數(shù)，那么畢達(dá)哥拉斯定理就可以應(yīng)用在任何形狀以及任何方程式中去。
請(qǐng)你繼續(xù)讀下去，看看這個(gè)已經(jīng)有2500年歷史的定理是如何幫助我們理解計(jì)算機(jī)科學(xué)，物理，甚至是Web 2.0所體現(xiàn)的社交價(jià)值。
我喜歡在一個(gè)古老的話(huà)題中有新的發(fā)現(xiàn)，并且可以挖掘出更深刻的東西。舉例來(lái)說(shuō)，直到我寫(xiě)完這個(gè)章節(jié)之前我發(fā)現(xiàn)其實(shí)自己一直沒(méi)有深刻的理解面積這個(gè)概念。沒(méi)錯(cuò)，我們可以快速的列舉出大量的公式，但是我們真的理解面積的性質(zhì)嗎？
我們可以通過(guò)計(jì)算任意線(xiàn)段的平方來(lái)得到任意圖形的面積
在正方形中，平方項(xiàng)就是正方形的一條邊，而正方形的面積就是邊的平方（邊為5，那么面積就是25）。在圓中，這個(gè)線(xiàn)段指的是它的半徑，而它的面積就是πr2（半徑是5，那么面積就是25π）。相當(dāng)容易。
我們可以任意選取線(xiàn)段，然后從中計(jì)算出面積：在每一種線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的面積公式中都有一個(gè)相應(yīng)的面積系數(shù)：
面積＝系數(shù)×(線(xiàn)段)2
舉例來(lái)說(shuō)，正方形中的對(duì)角線(xiàn)（“d”）。通常意義上的邊等于 d/√2 ，所以面積就是 d2/2。在這個(gè)例子中如果我們選擇使用對(duì)角線(xiàn)的平方計(jì)算面積，那么相應(yīng)的面積常數(shù)就是 '1/2 ”。
現(xiàn)在，使用整個(gè)周長(zhǎng)（“p”）作為線(xiàn)段，通常意義上的邊長(zhǎng)等于p/4，所以面積就是 p2 /16。使用 p2 計(jì)算面積時(shí)所對(duì)應(yīng)的面積系數(shù)就是1/16。
這是肯定的。因?yàn)樵谀氵x取的任意一條線(xiàn)段（比如說(shuō)正方形的周長(zhǎng)，正好是邊長(zhǎng)的四倍）總可以通過(guò)一定的關(guān)系與通常意義上計(jì)算面積的線(xiàn)段相聯(lián)系起來(lái)（比如說(shuō)正方形的邊長(zhǎng)）。因此我們可以通過(guò)“傳統(tǒng)線(xiàn)段”與“新式線(xiàn)段”的轉(zhuǎn)換來(lái)計(jì)算面積，我們?cè)鯓舆x擇線(xiàn)段并不影響計(jì)算——只是相乘的面積系數(shù)會(huì)有所不同而已。
部分可以使用。一個(gè)給定的圖形面積公式只適用于相似的圖形，而這里類(lèi)似指的是它們只是統(tǒng)一形狀的不同縮放而已。這里舉一些例子：
是的，所有的三角形都可以通過(guò)面積＝(1/2)·底·高來(lái)計(jì)算它的面積。但是底與高的關(guān)系依賴(lài)于三角形的形狀，所以它們的面積系數(shù)也會(huì)有差異。
為什么我們需要相似性來(lái)保證它們可以使用相同的面積公式呢？直覺(jué)告訴我們，我們等比例縮放一個(gè)圖形時(shí)，絕對(duì)大小會(huì)改變，但是比例卻不會(huì)發(fā)生改變。一個(gè)正方形，無(wú)論它怎么縮放，都有周長(zhǎng)＝4·邊長(zhǎng)。
因?yàn)槊娣e系數(shù)的選擇基于圖形的比例，所以任何擁有相同比例的圖形都可以通過(guò)同一公式來(lái)計(jì)算面積。。這有些像所有人的臂展都近似等于身高。不管他是NBA球員還是一個(gè)孩子，他們都可以使用相同的公式因?yàn)樗麄兌际窍嚓P(guān)的。（這種直覺(jué)化的論證可能并不會(huì)讓數(shù)學(xué)家滿(mǎn)意——但是在這個(gè)例子中，有什么問(wèn)題可以去問(wèn)問(wèn)歐幾里德）。
我希望這些更高級(jí)的概念能夠說(shuō)得通：
但是有人會(huì)問(wèn)：為什么相似的圖形擁有一樣的面積系數(shù)呢？以下是我的理解：
成比例的圖形擁有相同的比例。為什么呢？當(dāng)我們移動(dòng)一個(gè)物體，顯然它的大小會(huì)發(fā)生改變（比如說(shuō)一個(gè)停止標(biāo)志靠近或走遠(yuǎn)），但是它的比例不會(huì)發(fā)生變化。一個(gè)物體有可能知道它正在被遠(yuǎn)處的人觀察，因而去改變自己的邊長(zhǎng)與面積的比例嗎？
考慮兩個(gè)相似的圖形。把大的移動(dòng)到遠(yuǎn)處，直到看起來(lái)它的大小與小的圖形相等?，F(xiàn)在它們看起來(lái)一樣了，因此它們擁有相同的比例關(guān)系（比如說(shuō)周長(zhǎng)與面積）?，F(xiàn)在拉動(dòng)大的圖形。它看起來(lái)更大了，但是在移動(dòng)的過(guò)程中，它的比例關(guān)系并沒(méi)有發(fā)生變化——它們就跟小圖形的比例關(guān)系一樣。
這是一位讀者（Per Vognsen）更加正規(guī)的證明：
你只需要證明對(duì)于一類(lèi)相似圖形，L2 /A是一個(gè)常數(shù)即可。在一類(lèi)相似圖形中任意選取兩個(gè)圖形，它們的面積分別是A與A' ，長(zhǎng)度分別是L與L' 。令F是把一個(gè)圖形映射到其他圖形上的縮放系數(shù)。然后我們就得到A ＝ F2 * A'，L ＝ F * L' 。把長(zhǎng)度平方即可得到 L2＝ F2 * L'2 。面積方程除以該等式，F(xiàn)2便可以被消掉，同時(shí)得到A/L2 = A/L'2。所以便可知面積與長(zhǎng)度平方的比例確實(shí)為一常數(shù)。
我想我們都承認(rèn)畢達(dá)哥拉斯定理是成立的。但是許多證明都是一種機(jī)械化的理解：重新調(diào)整圖形，瞧，這就證明了這個(gè)定理。但是這樣很清楚嗎，直觀地看，那就是一定是 a2+ b2＝c2 而不是 2a2 + b2＝ c2 嗎？不是的，讓我們來(lái)直觀地看看。
我們要用到一個(gè)至關(guān)重要的概念：任意直角三角形都可以分解成兩個(gè)相似的直角三角形。
很酷，是吧？通過(guò)一個(gè)點(diǎn)畫(huà)一條垂線(xiàn)就可以把一個(gè)直角三角形分成兩個(gè)小直角三角形。幾何愛(ài)好者們，試著自己證明一下這個(gè)命題：利用相似性中的角-角-角來(lái)證明。
這個(gè)示意圖把一些事解釋的很清楚：
面積（大）＝面積（中）+面積（?。?/p>
這能說(shuō)得通，對(duì)吧？小三角形是從大三角形中切出來(lái)的，所以面積就是把較小三角形的面積相加起來(lái)。而更讓人意外的是：因?yàn)檫@些三角形都相似，所以它們的面積公式也都相同。
讓我們把最長(zhǎng)的邊稱(chēng)為c（5），較小的邊稱(chēng)為b（4），而最小的邊長(zhǎng)則稱(chēng)為c（3）。這種三角形的的面積公式就是：
面積＝F×斜邊
這里的F是面積系數(shù)（在這里是6/25或0.24；具體是那個(gè)數(shù)值并不重要）。現(xiàn)在讓我們利用以下方程式做運(yùn)算：
面積（大）＝面積（中）+面積（?。?/p>
F· c2＝ F· b2 + F·a2
兩邊同除以F，便可以得到：
c2＝ b2 + a2
這就是那個(gè)最著名的定理！你知道它是真的，但是你現(xiàn)在知道它為什么是真的：
這可能需要花點(diǎn)時(shí)間來(lái)想清楚，但是我希望結(jié)果對(duì)你來(lái)說(shuō)是顯而易見(jiàn)的。為什么小三角形相加沒(méi)有得到一個(gè)更大的三角形呢？
實(shí)際上，畢達(dá)哥拉斯定理成立是基于歐幾里德幾何的假設(shè)，比如它在球體上便不再成立，但是我們會(huì)在以后再討論這個(gè)問(wèn)題。
我們?cè)谑疽鈭D中利用了三角形，最簡(jiǎn)單的一種二維圖形。但是線(xiàn)段可以是任意一種圖形的線(xiàn)段。一圓形為例：
當(dāng)我們把它們相加時(shí)會(huì)發(fā)生什么呢？
你猜到了吧：半徑為5的圓＝半徑為4的圓+半徑為3的圓。
相當(dāng)神奇，是吧？我們可以把畢達(dá)哥拉斯定理乘以面積系數(shù)（比如說(shuō)這個(gè)例子中的π），然后就得出了任意一種圖形的關(guān)系。
記住，線(xiàn)段可以是圖形的任意部分。我們可以選用圓的半徑，直徑，或者是圓周——盡管有著不同的面積系數(shù)，但是3-4-5 的關(guān)系始終成立。
所以，無(wú)論是披薩還是尼克松的面具你都可以相加，畢達(dá)哥拉斯定理幫助你把相似圖形的面積聯(lián)系起來(lái)。接下里就是一些你未曾在學(xué)校中學(xué)到的東西。
畢達(dá)哥拉斯定理可以應(yīng)用在任何有平方項(xiàng)的方程式中。
分割直角三角形意味著你可以把任意一個(gè)數(shù)（c2）分解為兩個(gè)較小數(shù)字的和（a2 + b2）。在現(xiàn)實(shí)生活中，邊長(zhǎng)的“長(zhǎng)度”可以是距離，能量，工作，時(shí)間，甚至是在社交網(wǎng)絡(luò)中的人們。
▌社交網(wǎng)絡(luò)
麥卡福定理（Metcalfe's Law）（如果你相信的話(huà)）說(shuō)網(wǎng)絡(luò)的價(jià)值與 n2（關(guān)系的數(shù)量）有關(guān)。如下所示
50M的網(wǎng)絡(luò)＝ 40M的網(wǎng)絡(luò)+ 30M的網(wǎng)絡(luò)
相當(dāng)驚人——第二項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)與第三項(xiàng)網(wǎng)絡(luò)共有 70M 的人，但是它們并不是簡(jiǎn)單的相加。一個(gè)有五千萬(wàn)人的網(wǎng)絡(luò)跟它們加起來(lái)的價(jià)值相當(dāng)。
▌?dòng)?jì)算機(jī)科學(xué)
一些程序如果有n個(gè)輸入，那么就要花費(fèi) n2 的時(shí)間（比如說(shuō)冒泡排序法）。耗費(fèi)時(shí)間表示如下：
50個(gè)輸入＝ 40個(gè)輸入+ 30個(gè)輸入
相當(dāng)有意思?？偣?0個(gè)元素的兩組輸入跟一組50個(gè)元素輸入所花費(fèi)的時(shí)間相同。（是的，可能會(huì)有一些總開(kāi)銷(xiāo)或是啟動(dòng)開(kāi)銷(xiāo)有所不同，但在這里暫且不予以考慮）
根據(jù)這個(gè)關(guān)系，把元素進(jìn)行分成子組進(jìn)行運(yùn)算就有意義了。事實(shí)上，一種較優(yōu)的排序法——快速排序法中就用到了這一關(guān)系。畢達(dá)哥拉斯定理幫助我們理解了對(duì)50個(gè)元素進(jìn)行排序跟對(duì)30個(gè)以及40個(gè)兩組不同的元素進(jìn)行排序，所消耗的時(shí)間是一樣。
▌表面積
球面的表面積是 4πr2。所以就有：
半徑為50的球面積＝ 半徑為40的球面積+ 半徑為30的球面積
我們并不經(jīng)常用到球面積，但是船身有著一樣的關(guān)系（船身就像是畸形化的球面，對(duì)吧？）。假設(shè)船只的形狀都相似，給50英尺的游艇噴漆所用的顏料正好可以給40英尺與30英尺的游艇噴漆。嘔耶！
▌物理
如果你還記得在物理課上學(xué)過(guò)的，一個(gè)質(zhì)量為m，速度為v的物體的動(dòng)能等于mv2 /2。因此有
500邁的能量＝400邁的能量+ 300邁的能量
加速一個(gè)子彈到500邁的能量，可以把兩個(gè)同樣的子彈分別加速到400邁與300邁。
經(jīng)歷了整個(gè)學(xué)校生涯我們一直認(rèn)為畢達(dá)哥拉斯定理只與三角形和幾何有關(guān)。但其實(shí)不是。
當(dāng)你看到一個(gè)直角三角形時(shí)，你意識(shí)到它的邊長(zhǎng)可以代表任何圖形的任意一個(gè)部分，或者是代表任何有平方項(xiàng)的方程中的一個(gè)變量。我發(fā)現(xiàn)這非常驚人。
這個(gè)定理還有許多有意思的地方，比如說(shuō)測(cè)量任意長(zhǎng)度。好好發(fā)掘吧。(完)
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