很多著名的數(shù)學(xué)問題，長(zhǎng)期得不到解決，最后被某位大神解決了，他給出的答案或許并沒有人們想象的那么復(fù)雜。人們之所以長(zhǎng)期找不到答案，并不是因?yàn)檫@個(gè)問題難度是空前的，只是思維太過平凡，沒有去除那些干擾的因素從而看到問題的本質(zhì)。
歐拉雖然出生在瑞士巴塞爾，也是在巴塞爾城完成了學(xué)業(yè)。但是后來他學(xué)成之后就再也沒有回到瑞士了，俄國(guó)和德國(guó)是他職業(yè)生涯最重要的兩站，歐拉的成果都寫進(jìn)了這兩個(gè)國(guó)家的科學(xué)史里。雖然如此，歐拉畢生都沒有更改過國(guó)籍，始終是瑞士籍。
哥尼斯堡大教堂
1727年，歐拉應(yīng)圣彼得堡科學(xué)院的邀請(qǐng)到俄國(guó)，并在這里工作了14年，留下了大量的研究成果。1735年，在俄國(guó)收到一封德國(guó)大學(xué)生寫的信，是想求教一道難題，這個(gè)問題在數(shù)學(xué)史上有個(gè)專有的名字——“哥尼斯堡七橋問題”。
這個(gè)問題是這樣子的：在哥尼斯堡城的一個(gè)公園里，有七座橋?qū)⑵绽赘駹柡又袃蓚€(gè)島及島與河岸連接起來。問是否可能從這四塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到起點(diǎn)？
七橋位置分布
我們來簡(jiǎn)單分析一下這個(gè)問題，有7座橋，在每座橋只經(jīng)過一次的情況下走完所有的陸地。猛一看，這個(gè)有點(diǎn)像是排列組合的問題，于是乎，我們可以遍歷所有情況，然后分析這些路徑不就解決問題了。說的有道理，于是就有7!種可能，也就是5040種，如果你真的遍歷了這5040種路徑，恭喜你，你得到了正確的答案。答案是不存在這樣一種走法。
這個(gè)問題是困擾著哥尼斯堡的很多人，我相信肯定有人已經(jīng)做過這樣的暴力計(jì)算。人們一直對(duì)這個(gè)問題糾纏不清，應(yīng)該是想從另外一方面得到解答，在那個(gè)根本不知道計(jì)算機(jī)是啥玩意的年代，沒人愿意接受這樣的粗暴解答。人們應(yīng)該是在尋找一個(gè)判別依據(jù)，可以簡(jiǎn)單地對(duì)所有類似的問題進(jìn)行分析，不限于橋的數(shù)量。還好哥尼斯堡這個(gè)公園里只有7座橋，還能接受，要是17座橋呢？沒有計(jì)算機(jī)的年代，那還不得把人算死。
歐拉被這個(gè)問題吸引住了，1736年，時(shí)年29歲。歐拉特地到德國(guó)拜訪了這個(gè)七橋現(xiàn)場(chǎng)?；氐蕉韲?guó)之后，歐拉對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了深入的研究，并在當(dāng)年給出了七橋問題圓滿的解答。
歐拉大神
下面，我們來欣賞一下歐拉的證明思路。
七橋問題簡(jiǎn)化 1
歐拉將這個(gè)問題抽象化，認(rèn)為“每座橋只能走一次”對(duì)應(yīng)著線段只能一筆畫出，不可在原有基礎(chǔ)再次描述；認(rèn)為“四塊分隔開的陸地”對(duì)應(yīng)著就是平面上的四個(gè)分開的點(diǎn)；認(rèn)為“七座橋”也就對(duì)應(yīng)著平面上的七個(gè)分隔的線段。
七橋問題簡(jiǎn)化 2
經(jīng)過這么一類比，歐拉就將這個(gè)看似很多種考慮因素的問題一下子簡(jiǎn)化成一個(gè)“圖形一筆畫”的問題，事實(shí)上，兩個(gè)問題完全等價(jià)。可以說，歐拉這么一處理，原先那些幾千種的可能路徑計(jì)算變得毫無意義，問題如此顯而易見了。歐拉慧眼如炬，一下洞穿本質(zhì)！
于是“七橋問題”就變成了下面這個(gè)圖形能否一筆畫的可能性了。這樣的簡(jiǎn)化過后，歐拉得解決了“七橋問題”。說到證明，大家可能都會(huì)有點(diǎn)恐懼，腦海里都是在徘徊著公式，邏輯推理，動(dòng)不動(dòng)幾十上百頁(yè)，看著就讓人心煩意亂。其實(shí)數(shù)學(xué)上還有些很精彩但是卻趣味橫生的證明，比如歐拉對(duì)于“七橋問題不可能性的證明”。
我們假設(shè)存在一種走法滿足要求，于是我們從A點(diǎn)出發(fā)，遍歷了所有橋，最終回到B點(diǎn)的路徑，這里的A點(diǎn)叫起點(diǎn)，B叫終點(diǎn)，A,B兩點(diǎn)不同。我們把走法中間經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)都叫做中間節(jié)點(diǎn)。因?yàn)檫@里是一筆畫出來，所以每個(gè)中間點(diǎn)都必須有進(jìn)有出，于是，只有當(dāng)所有的中間節(jié)點(diǎn)都是偶數(shù)才會(huì)有解。如果進(jìn)入這個(gè)點(diǎn)的次數(shù)和離開這個(gè)點(diǎn)的次數(shù)不同，那么就說明總有一條路徑進(jìn)入這個(gè)點(diǎn)就沒有離開過，或者總有一條路徑?jīng)]有進(jìn)入這個(gè)點(diǎn)就離開了，前者其實(shí)就是終點(diǎn)，后者就是起點(diǎn)，這是不符合行走規(guī)則的。所以，任何一個(gè)中間節(jié)點(diǎn)的路徑必定是偶數(shù)個(gè)，不會(huì)是奇數(shù)個(gè)。于是我們得出來起點(diǎn)終點(diǎn)不同的一筆畫條件：
中間節(jié)點(diǎn)經(jīng)過的路徑數(shù)必須是偶數(shù)個(gè)，起點(diǎn)和終點(diǎn)必須是奇數(shù)個(gè)。
那假如起點(diǎn)就是終點(diǎn)呢？就相當(dāng)于我們環(huán)繞著七橋逛了一圈之后，又回到了起點(diǎn)。這里的分析跟上面類似，中間點(diǎn)路徑仍然要是偶數(shù)個(gè)，但是由于這里的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，所以，經(jīng)過起點(diǎn)的路徑離開起點(diǎn)之后，最后又要再回到起點(diǎn)，于是，起點(diǎn)（終點(diǎn)）的路徑的個(gè)數(shù)也必須是偶數(shù)個(gè)了。
于是，綜上兩種情況，可以一筆畫的圖形就必須滿足：
圖形里經(jīng)過奇數(shù)條路徑的點(diǎn)要么是2個(gè)（起點(diǎn)終點(diǎn)不同），要么就是0個(gè)（起點(diǎn)終點(diǎn)相同），除此之外別的所有的點(diǎn)的路徑數(shù)都是偶數(shù)。
當(dāng)然了這個(gè)圖形必須是封閉的，否則就會(huì)有去無回！
很明顯，“七橋問題中”4個(gè)點(diǎn)都是奇數(shù)個(gè)路徑，不符合一筆畫的條件，所以無解。想起小學(xué)時(shí)候，有個(gè)同學(xué)問我，能不能一筆寫出一個(gè)“田”字，那個(gè)時(shí)候試了很久都沒有答案，經(jīng)過歐拉的分析，答案自是一目了然。
田 的一筆寫法
這個(gè)證明簡(jiǎn)單吧，我想任何人只要對(duì)照著那張簡(jiǎn)化圖形都可以明白歐拉的思路了，也沒有人去懷疑這個(gè)證明的邏輯性，因?yàn)檫@樣的推理邏輯實(shí)在自然，沒有一點(diǎn)點(diǎn)繞彎的地方，甚至是沒有任何技巧可言。就好比你問別人昨晚吃的什么，他平淡無奇地跟你說了一般的感覺！
原來有些著名問題的證明也如此接地氣啊。有些人看明白了這個(gè)證明，心想，歐拉也不過如此啊，這個(gè)證明我也可以提出來啊，反正又沒有什么高深的數(shù)學(xué)理論。事實(shí)上歐拉在這個(gè)問題的天才之處不在于后面關(guān)于幾個(gè)規(guī)則的類比，而是前面將“七橋問題”改造成一個(gè)我們可以很容易分析的一筆畫問題。從而避開了那些可能要算幾千種的土辦法。能夠洞察天機(jī)，往往就已經(jīng)將這個(gè)問題解決了大半，后面的解答過程就是水到渠成的事情了。
圣彼得堡大學(xué)
1736年，歐拉向圣彼得堡科學(xué)院遞交了《哥尼斯堡的七座橋》的論文，給世人做了一個(gè)完美的解答。同時(shí)這篇論文也宣告了兩門數(shù)學(xué)分支學(xué)科的誕生，拓?fù)鋵W(xué)和圖論。前面歐拉將問題抽象成一筆畫圖形的思想正是拓?fù)鋵W(xué)里的等價(jià)變換，雖然外形改變了，但是我們需要的那個(gè)性質(zhì)還是存在的。大家非常熟悉的“龐加萊猜想”正是拓?fù)鋵W(xué)的根本性問題。關(guān)于圖論，我又想起一個(gè)著名的問題，很多學(xué)編程的同學(xué)在學(xué)習(xí)遞歸算法的時(shí)候相信都曾被這個(gè)經(jīng)典的問題虐過吧，我也是。這就是“八皇后問題”。
八皇后問題的一個(gè)解
說的是在國(guó)際象棋8×8的棋盤上放置8個(gè)皇后，使得所有的皇后不在同列，不在同行，也不在對(duì)角線上，問這樣的擺法總共有多少種？高斯認(rèn)為有76種解法，后來有人在棋類雜志上陸陸續(xù)續(xù)發(fā)表了40種解法，直到后來有人用圖論的理論求解出八皇后問題一共有92個(gè)解。中學(xué)時(shí)代學(xué)習(xí)這個(gè)算法時(shí)，我就好奇圖論到底是個(gè)什么玩意的學(xué)科，怎么就可以一下子確定出幾十年都沒有定論的八皇后問題呢？現(xiàn)在總算是有一點(diǎn)點(diǎn)了解了。
歷史上的哥尼斯堡城曾經(jīng)幾易其主，到現(xiàn)在也并非是個(gè)安寧之地。但是這個(gè)小地方卻因?yàn)檫@個(gè)問題流傳在數(shù)學(xué)史上，很多人是因?yàn)橐粋€(gè)故事而記住一座城市，而哥尼斯堡卻是一個(gè)問題和一位偉大的數(shù)學(xué)巨人聞名于世。
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